广东省部分联考2025届高三下学期开学收心考试数学试题（含解析）

广东省部分联考2025届高三下学期开学收心考试数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.过点作直线与圆相交于，两点，为坐标原点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6.已知正四棱锥的底面边长为，若半径为的球与该正四棱锥的各面均相切，则正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本标准差为骑自行车平均用时，样本方差为假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法正确的是( )参考数值：随机变量服从正态分布，则，，
A. X~N(30,6)
B. Y~N(34,)
C. 若某天只有38可用,则李明上学应该选择坐公交车
D. 若某天只有34可用,则李明上学应该选择坐公交车
8.若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记数列的前项和为，且，则( )
A.
B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列的前项和为
D. 数列的前项的和为
10.若，，，则下列关于函数的结论正确的是( )
A. 最小正周期为
B. 其图象的对称轴方程为，
C. 值域为
D. 在区间上单调递减
11.如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则( )
A. 关于直线对称
B. 的弦长的最大值为
C. 直线被截得的弦长的最大值为
D. 的面积大于
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率为 ．
13.若函数满足，则在上的最大值为 ．
14.已知数列满足，，记事件“”的概率为，其中，则 ，当时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若中的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角
若，，求的面积．
16.本小题分
已知函数．
求的单调区间
当时，证明：当时，恒成立．
17.本小题分
如图，在四棱台中，，，，，．
证明：平面平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
为了备战奥运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试已知甲连续跳水次，每次测试都是独立的，甲每次选择难度较小的动作与难度较大的动作的概率均为每次跳水测试时，若选择动作，取得成功的概率为，取得成功记分，否则记分若选择动作，取得成功的概率为，取得成功记分，否则记分总得分记为分．
若，求分数的概率分布列与数学期望．
若测试得分达到分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为分的概率为，如．
求．
问是否存在，使得为等比数列，其中，若有，求出若没有，请说明理由．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．
在平面直角坐标系中，写出将点分别绕原点按逆时针方向旋转，得到的点，的坐标
在平面直角坐标系中，求曲线绕原点沿逆时针方向旋转后得到的曲线的方程
已知由得到的曲线与轴正半轴的交点为，直线与曲线的两支交于，两点在第一象限，与轴交于点，设直线，的倾斜角分别为，，证明：为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为，，
所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】因为，即，
所以，
则
所以复数的虚部为．
故选C
3.【答案】
【解析】向量，，
若，则，即，解得或，
所以是的充分不必要条件，
故选：．
4.【答案】
【解析】由，得，
，，．
．
故，解得．
故选D．
5.【答案】
【解析】因为圆 的圆心为 ，半径 ，
当直线的斜率不存在时，由直线过点可得直线的方程为，此时直线与圆不相交，不符合题意．
当直线的斜率存在时，设其方程为，即 ，
可知 面积 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时圆心 到直线的距离为 ，
由点到直线的距离公式得 ，解得 ．
故选C．
6.【答案】
【解析】因为球与该正四棱锥的各面均相切，
所以该球的球心在的高线上，且与侧面切于点，
过点作于点，连接，点在上，
因为底面边长为，所以，
设球的球心为，
又因为球的半径为，所以，
由内切球的性质可知，，
则，
所以，，
则．
故选：．
7.【答案】
【解析】由题意可设X~N(,)，Y~N(,)，
所以=30,=6;=34,=2，故A，B错误；
因为P(X38)=P(X30)+P(30< X38)< P(X30)+P(30< X42)
=P(X)+P(< X+2)
=0.5+P(-2< X+2)
=0.5+0.47725=0.97725，
P(Y38)=P(Y34)+P(34< Y38)
=P(Y)+P(< Y+2)
=0.5+P(-2< Y+2 )
=0.5+0.47725=0.97725，
即 P(X38)< P(Y38)，应选择骑自行车，故C错误；
P(Y34)=0.5，
P(X34)=P(X30)+P(30< X34)=0.5+P(30< X34)>0.5，
P(X34)>P(Y34)，应该选择坐公交车，故D正确.
故选：D.
8.【答案】
【解析】依题意，设切点坐标为，
由，求导得，
则函数的图象在点处的切线方程为，
由切线过点，得，
令，
依题意，直线与函数的图象有个公共点，
，
当或时，，当时，，
则函数在，上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，
当时，恒有，
又，，，
所以当时，直线与函数的图象有个公共点，
所以实数的取值范围是．
故选：．
9.【答案】
【解析】因为数列的前项和为，且，
所以，故A正确；
当时，，且，所以，
，则数列 是公差为 的等差数列，故B错误；
，
前项和为，故C正确；
，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】
对于，因为，都是最小正周期为的函数，
所以的最小正周期为，故A错误；
一个周期内的图象如图所示，
对于，由图可知，为函数图象的对称轴方程，
又的周期为，
所以函数的对称轴方程为，，故B正确；
对于，由图可知选项C正确；
对于，当时，，
故在区间上单调递减，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】由，
，的反函数为，
两者关于对称，故A正确；
，
令，，
所以在上单调递减，上单调递增，
注意到，，，
在内有一个零点，另一个零点为，
，，
，故B错误；
与曲线对称轴垂直，如图，
只需考察曲线上到距离的最大值即可，
找出过与曲线相切且与平行的点即可，
令，令，此时，
到的距离，
直线被截得弦长最大值为，故C正确；
，，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】离心率，
，
又，
，
由余弦定理得，，
即，
，
，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】，，
，，，
，
当时，令，
，
该二次函数在区间上单调递减，
当时，取得最大值，
即．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】由题意，得 ，所以 ，
则事件“ ”的概率为 ，即 ，
对数列 的前项列举如下：
则事件“ ”的概率为 ，即 ，
设 ，则 ，
所以 ，
要使 ，则 中必有 个， 个 ，
所以事件“ ”的概率为 ．
故答案为：；．
15.【答案】解：因为，
所以由正弦定理可得，
因为，则，
所以，
则，
所以，则，
因为，则，
所以，故B；
因为，则，
所以由正弦定理，
可得，
整理可得，
因为，则，所以，
因为，则，
所以．
16.【答案】解：定义域为，，
当时，，故在上单调递减，
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
证明：当时，，
令，下证即可，
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证．
17.【答案】解：证明：在中，，，，
由余弦定理得
，
故AB，
因为四棱台，
所以，交于一点，即，共面，
又，即，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，又，即，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
由知：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
由，得，
由，得，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，，
令，得，，
故平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则
．
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.【答案】解：进行一次试验：
获得分的概率为，
获得分的概率为，
获得分的概率为，
进行两次试验：
的可能取值为，，，，，
，，，
，，
所以分数的概率分布列为：
数学期望；
，
据题意有，，其中，
设
，
比较系数得，解得，
所以是公比为的等比数列，其中，，．
19.【答案】解：
设将点绕原点按逆时针方向旋转后得到的点为，
设，，
则，，，
所以，
，
即任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，
所以对于，绕原点按逆时针方向旋转得到，绕原点按逆时针方向旋转得到；
设曲线上任意一点绕原点沿逆时针方向旋转后所得点的坐标为，
由知，，
得，所以，
故所求曲线方程为；
证明：若直线的斜率存在，
可设直线的方程为，，，
由，得，
由，得，解得，
所以，，
当时，取，，，
所以直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，
可得，解得或，
所以，，
所以，所以，可得，
当时，设直线，的斜率分别为，，
，，
所以
，
，
所以，
因为点在第一象限，所以，
所以，所以，
若直线的斜率不存在，则，，
可得，，
所以，
同理可得．
综上，为定值．

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