贵州省遵义市赤水市第一中学2024?2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

贵州省遵义市赤水市第一中学2024 2025学年高二下学期开学考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B． C． D．
3．经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．空间直角坐标系中，平行四边形的三点坐标分别为，，，则D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点，，点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点．则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
10．以下四个命题，其中是真命题的有（ ）．
A．命题“”的否定是“”
B．若，则
C．函数且的图象过定点
D．若某扇形的周长为6cm，面积为2，圆心角为，则
11．已知函数若方程有四个不等实根.下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则 ．
13．求圆上的动点到直线距离的最大值 ．
14．圆台的上、下底面半径分别是10和20，体积是，则圆台的母线长为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
，，…，，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）从评分在的受访职工中，随机抽取人，求此人的评分都在的概率．
16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．
(1)求角A的大小；
(2)求周长的范围．
17．在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
18．已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积．
19．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于，两点，点，求证：．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题意，所以．
故选：A．
2．【答案】D
【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：
命题的否定为：.
故选：D
3．【答案】B
【详解】由于直线AB的倾斜角为，则该直线AB的斜率为，
又因为，，所以，解得．
故选:B．
4．【答案】C
【详解】抛物线的焦点为，
则，且，解得，
故该抛物线的准线方程为.
故选：C.
5．【答案】B
【分析】利用在平行四边形中有，计算即可.
【详解】结合题意：设D的坐标为，
因为，，，
所以,，
因为在平行四边形中有，
所以，解得，所以D的坐标为.
故选：B.
6．【答案】C
【分析】
设，利用点差法求解即可．
【详解】
设，代入椭圆的方程可得，，
两式相减可得，
由，，
代入上式可得＝0，化为，
又，，联立解得，
所以椭圆的方程为．
故选C．
7．【答案】A
【分析】设于，则由已知条件可求出，，再利用椭圆的定义可求出，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率.
【详解】如图，设于，
则由题意得，，
∴，，
由椭圆定义可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
可得.
故选：A
8．【答案】A
【详解】如图，以A为坐标原点，为轴所在直线，建立空间直角坐标系，
则，
因为点分别为的中点．则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离为.
故选：A.
9．【答案】BCD
【详解】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；
B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；
C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由全称命题的否定，可知选项A正确；
对于B，若，则，根据的单调性，可知，故B不正确；
对于C，当时，，故其过定点，故C正确；
对于D，设扇形的半径为，弧长为，则有，
又，故D正确.
故选：ACD
11．【答案】ABD
【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据函数得到，化简得到A正确，根据图像知B正确，利用均值不等式得到C错误，计算得到D正确，得到答案.
【详解】当时，，，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，即，，A正确；
，B正确；
，，，即，
即，展开得到，
解得，由于，等号不成立，故C错误；
，故，，D正确.
故选：ABD
12．【答案】
【详解】因为向量，，
所以，
又因为，所以
则．
故答案为：.
13．【答案】
【详解】圆可化为，其圆心为，半径为1，
圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最大值为.
故答案为：.
14．【答案】20
【详解】如图，圆台的上、下底面半径分别是10和20，所以，
设圆台上底面面积为，下底面面积为,高为，母线长为，
所以，，
根据圆台的体积公式，
解得，在中，由勾股定理有：，
解得.则圆台的母线长为20.
故答案为：20.
15．【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据频率直方图中各组的频率之和为1，列方程求参数a即可.
（2）由分层抽样确定名职工中、的人数，列出从中随机抽取人的可能组合，及其中人的评分都在的组合，即可求概率.
【详解】
（1）由题意，，解得.
（2）由（1）知：名职工中、分别有2人、3人，
若为职工A、B，为职工1、2、3，
∴随机抽取人的可能组合、、、、、、、、、共10种，其中人的评分都在有，即1种，
∴人的评分都在的概率为
16．【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可的解；
（2）利用正弦定理求得边，再利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质即可得出答案.
(1)
解：由余弦定理，即，
所以，因为，所以．
(2)
由正弦定理：，则，，
由（1），故
因为，则，
所以，即周长范围是．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：底面中，已知，，，
由余弦定理得，
所以，
又平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面．
（2）由（1）可知、、三直线两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
所以，
设平面与平面的法向量分别为，
则有，
取，则，，
所以，
设平面的法向量分别为，
则有，
取，则，，
所以，
设平面与平面的夹角为，则．
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，可得，
所以曲线的方程为．
（2）依题意，直线的方程为，即，
联立，消去，得，
易知，设，则，
所以，
而到直线的距离为，
所以的面积为.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，，
所以，解得，则椭圆的方程为；
（2）由（1）知，若直线的斜率为，
此时直线的方程为，显然成立；
若直线的斜率不为，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，由韦达定理得，，
易知，，
所以
．
故．