６. 已知数列{ａｎ}是等差数列 其前 ｎ 项和为 Ｓｎ 若 ａ３＋ａ１０>０ Ｓ１１<０ 则数列{Ｓｎ}中最
２０２５ 届云南三校高考备考实用性联考卷 (七) 小的项是
Ａ. Ｓ
数 学 ４
Ｂ. Ｓ５ Ｃ. Ｓ６ Ｄ. Ｓ７
２
７. ｘ ｙ
２
已知点 Ｐ 为椭圆 ＋ ＝ １ 上任意一点 直线 ｌ: (ｍ＋２) ｘ＋(ｍ＋１) ｙ－２ｍ－４ ＝ ０ 与☉Ｍ:
１６ １２
注意事项: ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋３＝ ０ 交于 Ａ Ｂ Ｐ→两点 则 Ａ Ｐ→Ｂ的取值范围是
１ 答题前 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、 准考证号、 考场号、 座位号在答 Ａ. [２ ３４] Ｂ. [３ ３５] Ｃ. [２ ３６] Ｄ. [４ ３６]
题卡上填写清楚. ８. 在边长为 ６的菱形 ＡＢＣＤ 中 ∠ＢＡＤ ＝ ６０° Ｅ 为 ＢＤ 中点 将△ＡＢＤ 绕直线 ＢＤ 翻折
２ 每小题选出答案后 用 ２Ｂ 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动 到△Ａ′ＢＤ 使得四面体 Ａ′ＢＣＤ 外接球的表面积为 １６π 则此时直线 Ａ′Ｅ 与平面 ＢＣＤ
用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 所成角的正弦值为
３ 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 １５０ 分 考试用时 １２０ 分钟.
Ａ. ２ ２ Ｂ. ４ Ｃ. ６ Ｄ. ２ ５
３ ５ ３ ５
一、 单项选择题 (本大题共 ８ 小题 每小题 ５ 分 共 ４０ 分. 在每小题给出的四个选项 二、 多项选择题 (本大题共 ３ 小题 每小题 ６ 分 共 １８ 分 在每小题给出的四个选项
中 只有一项是符合题目要求的) 中 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 ６ 分 部分选对的得部分分 有选错的得
１. “ａ>ｂ” 是 “ａ２>ｂ２” 的 ( ) 条件. ０ 分)
Ａ. 充分不必要 Ｂ. 必要不充分 ９. 已知在一次数学测验中 某校 １０００ 名学生的成绩服从正态分布 Ｎ(１００ １００) 其中
Ｃ. Ｄ. ９０ 分为及格线 １２０ 分为优秀线 则对于该校学生成绩 下列说法正确的有 (参考数充要 既不充分也不必要
据: ①Ｐ(μ－σ<Ｘ≤μ＋σ)＝ ０ ６８２７ ②Ｐ(μ－２σ<Ｘ≤μ＋２σ)＝ ０ ９５４５ ③Ｐ(μ－３σ<Ｘ≤
２. 设复数 ｚ 满足 ｚ＝ １ ＋２ｉ 则 ｚ ＝
１＋ｉ μ＋３σ)＝ ０ ９９７３.)
Ａ. 平均分为 １００
Ａ. １０ Ｂ. ２ Ｂ. 及格率超过 ８６％
２
Ｃ. 得分在(７０ １３０]内的人数约为 ９９７
Ｃ. ５ Ｄ. ５ Ｄ. 得分低于 ８０ 的人数和优秀的人数大致相等
２
＝ ＝ １０. 设锐角△ＡＢＣ 的内角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边分别是 ａ ｂ ｃ 若 ａ
＝ ３ 且(２ｂ－ｃ) ｃｏｓＡ ＝
３. 已知集合 Ａ {１ ２ ３ ４ ５} 且 Ａ∩Ｂ Ａ 则集合 Ｂ 可以是
ａｃｏｓＣ 则下列结论正确的是
Ａ. {２ ３ ４} Ｂ. {ｘ ｘ２>１}
π
Ｃ. {ｘ ３ｘ>１} Ｄ. {ｘ ｌｏｇ２(ｘ－１)<３} Ａ. Ａ＝ Ｂ. △ＡＢＣ 的外接圆的半径是 ２３
４. 函数 ｆ(ｘ)＝ ｃｏｓｘ－ｓｉｎ２ｘ 在区间(０ ３π)上的零点个数为
Ａ. ４ Ｂ. ５ Ｃ. △ＡＢＣ
３ ３
的面积的最大值是 Ｄ. ２ｂ－ｃ 的取值范围是(－ ３ ２ ３ )
４
Ｃ. ６ Ｄ. ７ １１. 已知曲线 Ｃ: (ｘ－ｙ) ２＋λ(ｙ－１) ２ ＝ ５ λ∈Ｒ 则下列选项正确的是
２ Ａ. λ∈Ｒ 曲线 Ｃ 均不为圆
５. 已知函数 ｆ(ｘ)＝ １ ｘ－ ÷ ＋ｌｎ(ｅｘ＋ａ)是偶函数 则 ａ＝
è ４ Ｂ. λ∈Ｒ 曲线 Ｃ 都关于点(１ １)中心对称
Ａ. １ Ｂ. １ Ｃ. 当 λ
＝ １ 时 ｘ∈ [１－ ５ １＋ ５ ]
４ ２
＝ － ＋
Ｃ. ０ Ｄ. １ Ｄ. 当 λ １ 时
ｘ １
直线 ｙ＝ 是曲线 Ｃ 的一条渐近线
２
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三、 填空题 (本大题共 ３ 小题 每小题 ５ 分 共 １５ 分) １６. (本小题满分 １５ 分)
→ → → →
１２. 已知向量→ａ ｂ满足→ａ ＝(６ ８) →ａ ｂ ＝ ８ →ａ－ｂ ＝ １０ 则 ｂ ＝ . 已知函数 ｆ(ｘ)＝ ｘ
２＋ｘ－１ ｇ(ｘ)＝ ｌｎｘ.
π ４ １７π ７π ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎ２ｘ (１) 求证: ｆ(ｘ)在(０ －１)处的切线与 ｇ(ｘ)只有一个公共点 １３. 已知 ｃｏｓ ＋ｘ÷ ＝ <ｘ< 则 ＝
è ４ ５ １２ ４ １－
.
ｔａｎｘ ｆ ｘ－ １ ５ ＋
１４. 甲、 乙、 丙、 丁、 戊五人完成 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 五项任务所获得的效益如下表: (２) ｈ(ｘ)＝ è ２
÷
４ ｇ(ｘ)设 请在以下三个函数: ①ｈ(ｘ)＋ｇ(ｘ) ② ③ｈ(ｘ)
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ ｘ ｈ(ｘ)ｇ(ｘ)中选择一个函数 使得该函数有最大值 并求出最大值.
甲 １１ １３ １０ １３ １１
乙 ２５ ２６ ２４ ２３ ２３
丙 １０ １４ １５ １３ １１ １７. (本小题满分 １５ 分)
丁 ７ ９ １１ ９ １１ 如图 在四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ 中 ＰＡ⊥平面 ＡＢＣＤ ＡＣ⊥ＡＤ ＡＢ⊥ＢＣ ∠ＢＣＡ ＝ π ＡＰ
３
戊 １４ １６ １５ １６ １２
＝ＡＣ＝ＡＤ＝ ４ Ｅ → →为 ＣＤ 的中点 Ｍ 在 ＡＢ 上 且ＡＭ＝ ２ ＭＢ.
现每项任务选派一人完成 其中甲不承担 Ｃ 任务 丁不承担 Ａ 任务的指派方法数有 (１) 求证: ＥＭ∥ＡＤ
种 效益之和的最大值是 . (第一空 ２ 分 第二空 ３ 分)
、 ( ７７ . (２) 求平面 ＰＡＣ 与平面 ＰＢＣ 夹角的余弦值 四 解答题 共 分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤)
１５. (本小题满分 １３ 分) (３) 求点 Ｄ 到平面 ＰＢＣ 的距离.
随着科技的进步 近年来 我国新能源汽车产业迅速发展 ２００６ 年 在国家节能减
排的宏观政策指导下 科技部在 “十一五” 启动了 “８６３” 计划新能源汽车重大项 １８. (本小题满分 １７ 分)
目. 自 ２０１１ 年起 国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展 也逐步得到消费者的
已知圆 Ｆ : (ｘ＋４) ２＋ｙ２ ＝ １ 和圆 Ｆ : (ｘ－４) ２＋ｙ２ ＝ ２５ 动圆 Ｑ 与圆 Ｆ 、 圆 Ｆ 都外切
认可. 各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力 １ ２ １ ２
或都内切 记点 Ｑ 的轨迹为曲线 Ｅ.
在广告投放方面的花费也是逐年攀升. 小张同学对某品牌新能源汽车近 ８ 年出售的 (１) 求曲线 Ｅ 的方程
数量及广告费投入情况进行了统计 具体数据见下表: (２) 过点 Ｐ(４ １)作直线 ｌ１ 使其被曲线 Ｅ 截得的弦恰被点 Ｐ 平分 求直线 ｌ１ 的
年份代码 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 方程
年销售量 /十万辆 ３ ４ ５ ６ ７ ９ １０ １２ (３) 记曲线 Ｅ 的左、 右顶点为 Ａ１ Ａ２ 过点(－３ ０)的直线与曲线 Ｅ 的左支交于 Ｃ
广告费投入 /亿元 ３ ６ ４ １ ４ ４ ５ ２ ６ ２ ７ ５ ７ ９ ９ １ Ｄ 两点 点 Ｃ 在第二象限 直线 ＣＡ１ 与 ＤＡ２ 交于点 Ｇ 证明点 Ｇ 在定直线上.
(１) 求广告费投入 ｙ (亿元) 与年销售量 ｘ (十万辆) 之间的线性回归方程 (精确
到 ０ ０１)
(２) 、 １９. (本小题满分 １７ 分)若某人随机在甲 乙两家汽车店购买一辆汽车 如果在甲汽车店购买 那么购
０ ６ 定义二元函数 ｆ(ｍ ｎ) (ｍ ｎ∈Ｎ
) 同时满足: ① ｆ(ｍ＋１ ｎ) ＝ ｆ(ｍ ｎ) ＋２ｎ
买新能源汽车的概率为 如果在乙汽车店购买 那么购买新能源汽车的概率为
０ ８ ②ｆ(ｍ ｎ
＋１)＝ ｆ(ｍ ｎ)＋２ｍ ③ｆ(１ １)＝ １ 三个条件.
求这个人购买的是新能源汽车的概率.
８ ８ (１) 求 ｆ(１ ３) ｆ(３ ３)的值
参考数据: ｘ２ｉ ＝ ４６０ ｘｉｙｉ ＝ ３７９ ５. (２) 求 ｆ(ｍ ｎ)的解析式
ｉ ＝ １ ｉ ＝ １
ｎ ｓｉｎａ１ｘ ｓｉｎａ２ｘ ｓｉｎａ３ｘ ｓｉｎａ(３) ａ ＝ ｆ(１ ｎ) Ｓ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ｎ
ｘ
(ｘ － ｘ－ｉ ) (ｙｉ － ｙ－ ) 若 ｎ ｎ ｘ∈(０ ２π) . 比较 Ｓ 与ａ ｎ１ ａ２ ａ３ ａｎ
附: 回归直线中ｙ^＝ ｂ^ｘ＋ａ^ ｂ^＝ ｉ ＝ １ ｎ ａ^ ＝ ｙ
－ － ｂ^ ｘ－ . ０ 的大小关系 并说明理由.
(ｘ － ２ｉ － ｘ )
ｉ ＝ １ 附: 参考公式 ｓｉｎαｃｏｓβ＝
１ [ｓｉｎ(α＋β) ＋ｓｉｎ(α－β)] ｃｏｓαｓｉｎβ ＝ １ [ｓｉｎ(α＋β) －ｓｉｎ(α－
２ ２
β)] ｃｏｓαｃｏｓβ＝ １ [ｃｏｓ(α＋β)＋ｃｏｓ(α－β)] ｓｉｎαｓｉｎβ＝－ １ [ｃｏｓ(α＋β)－ｃｏｓ(α－β)] .
２ ２
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数学评分细则
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
5
6
7
8
答案
D
A
D
0
C
B
B
【解析】
2.依题意，=。1i。+2i=+2i=+所以z
故选A
1+i1-i)
22
3.因为AnB=A,所以AEB,A中集合不合题意：B中集合为{x|x2>1}=x|x<-1或x>,
也不合题意，C中集合为{x3>={xx>0!,满足题意，D中集合为
{xlog2(x-1)<3}■{x14)=os-s加2x=0s-2sme03别令f0)=0则cosx=0减加x-方，解得
x=”或r=3或x=5
经或或1x
6
6
,故选D.
2
6
5.由题意可得/=f-0,即(-+ne+a)(x-+ne+a以
整理得x=
a=l故选D
6.因为S=1a+a2=11a,<0,所以4，<0，因为a,+a,=4+a。>0所以4>0，所以
2
公差d=a,-a,≥0，故当n≤6时，a.<0,当n≥7时，a,>0,所以当n=6时，S,取得
最小值，即{S}中最小的项是S,放选C
7.⊙M:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1的圆心M(2,0),半径为1，k(m+2)x+(m+10y
-2m-4=0化为m(x+y-2)+2x+y-4=0,可得直线1过定点(20)，椭圆方程
G石+1中，d16=2,c2=d-6=16-2=4c=2,则网心wg0为
圆的右焦点，线段AB为⊙M的直径除去直线x+y-2=0与圆M相交的直径)，连接PM,
因此PA·PB=(PM+M面·(PM+MB)=(PM-MB)·(PM+MB)PMP-|MBP=PM
1,点P为椭圆C+=1上任意一点则1PWL=a-c=2,1PWL=a+c=6,
1612
即2≤|PM1≤6，所以PA.PB-PM P-1e[3,35],故选B.
&.如图L,由已知△M'BD和△BCD都是等边三角形，E是BD中
点，AE⊥BD,CE⊥BD,又A'EnCE=E,AE,CEc平面
A'CE,所以BD⊥平面A'CE,因为BDc平面BCD,所以平面
BCD⊥平面A'CE,同理平面A'BD⊥平面A'CE,所以A'E在平
面BCD内的谢影是CE,所以∠A'EC是A'E与平面BDC所成的
角，设M,N分别是△BCD和△BD的外心，则M∈CE,
图1
NeE,且w-B-ec-6:号-竖在覆4Bc内过w作01cE,过N
作ONIA'E,OM与ON交于点O,则OMI平面BCD,同理ON1平面ABD,BMC
平面BCD,则OM1BM,所以O是四面体'BCD外接球的球心，由已知4元·OB=16π，
08=4OB=2,又BM=2×v6x5=2,所以OM=vO8-BM=2,OE=
3
2
VOM+EM
,EM=
2
2
OEV5cos∠OEM=EM、1
,sin∠OEM=OM=2
0E万由对称
∠OEN,sin∠A'EC=sin2∠OEM=2sin∠OEM cos∠OEM-4
A'E与平面BCD所成角的正弦值为
故选B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
题号
9
10
11
答案
ACD
AC
ABD
【解晰】
9.由题意知，H=100,o2=100,AH=100,2=100,故A正确；B:P100-10=P(90PX<0=-P90P(X<90)=0.84135<0.86=86%，故B错误；C:P100-30P(70=P(80
