必修第二册第六章-第八章 练习（含答案）

第六章-第八章 练习
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数（为虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
2．中，分别为角的对边，，，且（为锐角），则以下正确的有（　　）
A． B． C． D．
3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
5．已知设，则，则的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（　　）
A． B． C． D．
7．第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示十创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（　　）
A．1 B． C． D．2
8．已知，，是非零向量，与的夹角为，，，则，的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．复数，满足，，则（　　）．
A． B． C． D．
10．如图所示，在四个正方体中，是正方体的一条体对角线，点分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形为（　　）
A． B．
C． D．
11．已知外接圆的圆心为点，半径为，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则在上的投影向量为
C．若，当取最小值时，
D．若为锐角三角形，，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，则　 　.
13．已知中，点D在边上，，，，当取得最小值时，　 　.
14．如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面，给出下列四个结论：
①的面积的最大值为；
②满足的面积为2的点有且仅有4个；
③点可能为的中点；
④线段的最大值为3.
其中所有正确结论的序号是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．已知复数，为z的共轭复数，且．
（1）求m的值；
（2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足．
（1）证明：；
（2）若为内角A的平分线，且，求．
17．设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，，. 已知是纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）若三点共线，求实数的值.
18．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
19．一条河南北两岸平行如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为．设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向．
（1）若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；
（2）当，时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．C
5．A
6．B
7．C
8．D
9．A,B,D
10．A,D
11．A,B,D
12．
13．
14．①④
15．（1）解：已知，则，
由，得，
解得：.
（2）解：由（1）可知，，将代入方程可得：，即：，
得出：，解得：，，
代入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为.
16．（1）证明：记的中点为，则，
因为，所以，
所以为的垂直平分线，所以；
（2）解：记，
因为，所以，
所以，，
又为内角A的平分线，所以，，
在中，分别由余弦定理得：，
联立可得，在中，由余弦定理得，则.
17．（1）解：由题意可得，
由于复数是纯虚数，则，解得；
（2）解：由（1）可得，，
所以点，，点
所以，　　　　
因三点共线，所以，所以，
所以
18．（1）证明：如图，连接交于点，连接，，，
则为的中点，
当为的中点时，，
因为平面，平面，所以平面.
（2）解：在侧棱上存在点，使得平面，满足，
理由如下：取的中点，由，得，
过作的平行线交于，连接，，
在中，则，
因为平面，平面，所以平面，
由，得，
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为，，平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面，
即在侧棱上存在点，使得平面，满足．
19．（1）设游船的实际速度为，
由题意得，行驶时间为，
所以合速度的大小为，
又因为，所以，
和的夹角余弦值为．
（2）当，时，游船航行到北岸的实际航速是，
所以，
所以，
实际航行时间为，
所以实际航程为．
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