中小学教育资源及组卷应用平台
华师版数学第17章函数及图像重难点梳理
一、重点
函数的概念：理解函数的定义，能够判断一个变量是否是另一个变量的函数。
函数的表示方法：掌握解析法、列表法、图像法三种表示方法，并能根据实际情况选择合适的表示方法。
平面直角坐标系：理解平面直角坐标系的构成，能够准确地确定点的坐标。
正比例函数和一次函数的图像与性质：掌握正比例函数和一次函数的图像形状、性质，能够根据函数解析式画出图像，并能根据图像分析函数的性质。
函数的应用：能够根据实际问题建立函数模型，并利用函数的知识解决实际问题。
二、难点
函数概念的理解：函数的概念比较抽象，学生可能难以理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”的含义。
函数图像的绘制和分析：学生可能在绘制函数图像时出现误差，或者在分析函数图像时无法准确地提取信息。
正比例函数和一次函数的区别与联系：学生可能混淆正比例函数和一次函数的定义和性质，或者无法正确地根据图像判断函数的类型。
函数的实际应用：学生可能在将实际问题转化为函数模型时遇到困难，或者在利用函数模型解决问题时出现错误。
专项练习一：函数的概念与表示方法
要点诠释
函数是描述变量之间关系的重要数学模型，理解函数的概念是学习本章的基础。函数的表示方法有多种，每种方法都有其特点和适用范围。
例题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．一年中，时间是气温的函数
B．正方形面积公式中，不是变量
C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数
D．圆的周长与半径之间无函数关系
2．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（ ）
A．圆的面积公式 中，是的函数
B．同一物质，物体的体积是质量的函数
C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数
D．表达式 中是的函数
3．在关系式中，下列说法：都是变量，、都是常量；的值随的值变化而变化；是变量，它的值可以与无关；与的关系不能用表格表示；与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
专项练习二：平面直角坐标系与点的坐标
要点诠释
平面直角坐标系是确定点的位置的重要工具，点的坐标是描述点在坐标系中位置的关键。理解坐标系的构成和点的坐标的意义，能够准确地确定点的坐标，是进一步学习函数图像的基础。
例题
5．已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ．
6．已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则 ．
7．在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，将点M到x轴的距离记作，到y轴的距离记作．
(1)若，求的值；
(2)若点M在第二象限，且（m为常数），求m的值．
8．已知点在第四象限，分别根据下列条件求点的坐标．
(1)点到轴的距离为3；
(2)点的坐标为，且直线与轴平行．
专项练习三：一次函数的图像与性质
要点诠释
一次函数是函数的一种重要类型，其图像是一条直线。掌握一次函数的图像和性质，能够根据函数解析式画出图像，并能根据图像分析函数的性质，是解决实际问题的关键。
例题
9．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线轴，直线交直线于点，交直线于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)当时，求的面积．
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若为直线上一动点，的面积为6，求点的坐标．
11．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为．
(1)求一次函数表达式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集：___________．
12．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M．
(1)求直线的表达式．
(2)求的面积．
(3)点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围．
13．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E．
(1)求k的值及直线的解析式；
(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
14．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A（2，4）、B（-4，n）两点．
（1）分别求出和的解析式；
（2）求=时，x的值；
（3）根据图象直接写出＞时，x的取值范围．
专项练习四：函数的应用
要点诠释
函数在实际生活中有着广泛的应用，能够根据实际问题建立函数模型，并利用函数的知识解决实际问题是学习函数的重要目标。
例题
15．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2024年2月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加25％．
今年A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车 B型车
进货价格（元／辆）
销售价格（元／辆） 今年的销售价格
(1)求今年2月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
(2)该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
16．北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．
(1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？
17．春节结束后，为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式．
甲：按照次数收费：
乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次打折优惠．
设某人一年内去动物园的次数为次，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题．
(1)填空：
甲种收费的函数关系式是___________．乙种收费的函数关系式是___________．
(2)乐乐准备利用本学期的周末去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由．
18．为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍．
(1)该学校有几种购买方案？
(2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 C D A D
1．C
【分析】本题主要考查的是函数的定义，结合函数的概念可知，一个函数关系式有两个变量，其中一个是自变量，另一个是自变量的函数，根据函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A．一年中，同一个气温可以对应很多个时间，则时间不一定是气温的函数，原说法错误，故该选项不符合题意；
B．正方形的面积公式中，和都是变量，原说法错误，故该选项不符合题意；
C．公共汽车全线有15个站．其中站票价5角，站票价1元，站票价1.5元，则票价是乘车站数的函数，原说法正确，故该选项符合题意；
D．圆的周长与半径之间有函数关系为，原说法错误，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，据此即可判断求解，掌握函数的定义是解题的关键．
【详解】解：、圆的面积公式 中，是的函数，该选项正确，不合题意；
、同一物质，物体的体积是质量的函数，该选项正确，不合题意；
、光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数，该选项正确，不合题意；
、表达式 中，给定一个的值，有两个的值与之对应，所以不是的函数，该选项错误，符合题意；
故选：．
3．A
【分析】本题考查了函数的有关概念，根据函数的概念逐一判断即可，正确理解函数的概念是解题的关键．
【详解】是自变量，是因变量，故该说法正确；
值随值的变化而变化，故该说法正确；
是变量，随值的变化而变化，故该说法错误；
用关系式表示的可以用表格表示，故该说法错误；
与的关系还可以用列表法和图象法表示，故该说法正确，
综上所述：正确，错误，
故选：．
4．D
【分析】根据函数的概念即可解答．
【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．则只有D选项符合题意
故选：D．
【点睛】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一本的值与其对应，那么就说y是x的函数．
5．
【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特点解答即可，横坐标的绝对值就是到轴的距离， 纵坐标的绝对值就是到轴的距离 ．
【详解】解：点到轴距离为3，
点的横坐标是，
第三象限内的点横坐标小于 0 ，
点的横坐标是．
横坐标与纵坐标的差为1，
纵坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
6．
【详解】本题考查了坐标与图形的性质，由平行于轴的点的纵坐标相同，可得，解得的值，则可得答案，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．
【点睛】解：点的坐标为，且轴，
，
，
故答案为：．
7．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握平面直角坐标系中的点到x轴距离等于纵坐标绝对值，到y轴距离等于横坐标绝对值．
（1）求出点M的坐标，即可进行解答；
（2）根据第二象限内点的坐标特征得出，代入得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵点M的坐标为，
由题意可得，．
，
，
．
（2）∵点M在第二象限，
，
．
，
，
解得．
8．(1)点的坐标为
(2)点的坐标为
【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练掌握点到坐标轴的距离和平行于轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据点到轴的距离为3，且点在第四象限，得出，即可求解；
（2）根据平行于轴的直线上的点的坐标特征，得出点和点的横坐标相同，得出，即可求解．
【详解】（1）解：点在第四象限，
，
又点到轴的距离为3，
，
解得：，
，
点的坐标为．
（2）解：直线与轴平行，
点和点的横坐标相同，
又，，
，
解得：，
，
点的坐标为．
9．(1)；
(2)的面积是或；
【分析】本题主要考查了待定系数法求直线关系式，一次函数与几何图形．
（1）把代入，求出直线的关系式，再求出点，然后根据待定系数法求出直线的关系式；
（2）先设点，可表示，，再根据纵坐标的差表示，然后根据，求出m的值，接下来分两种情况求出，即可得出面积．
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得，
∴直线的关系式为．
当时，，
∴点．
将点和点代入直线的关系式，得
，
解得，
所以直线的关系式；
（2）解：设，则，，
∴．
∵，
∴，
解得或．
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴．
综上所述，的面积是或．
10．(1)
(2)或
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵点的坐标分别为，
∴设直线的解析式为：，
把，代入，得：，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴或．
11．(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）将点代入，求出m，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）先求出点C坐标，再根据三角形的面积公式列式即可求出的面积；
（3）利用函数图象，写出一次函数的图象在的上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：过点，
，
∴，
，
一次函数过点，，
，
解得，
一次函数表达式．
（2）解：把代入一次函数得：，
解得：，
∴一次函数与轴的交点为，
，
，
又，
．
（3）解：由图像可知，当时，一次函数的图象在的上面，
∴不等式的解集为．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．
12．(1)
(2)3
(3)
【分析】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围．
（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）把代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可；
（3）由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出n的范围．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴点，
设直线的表达式为，
将，代入得：，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）将代入，得：，
∴，
∴，
∴的面积；
（3）当点C位于点D上方时，即是直线在直线上方，如图：
由图象可知．
13．(1)，直线的关系式为
(2)点
(3)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，理解一次函数、反比例图象上点的坐标特征以及图形面积之间的和差关系是正确解答的前提．
（1）根据矩形的性质可求出点B，点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值，进而确定点E的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式即可;
（2）求出点D关于轴的对称点的坐标，求出直线与x轴的交点即可满足的周长最小;
（3）进行计算即可
【详解】（1）解：1.在矩形中，，，
点，
点D是边的中点，
点，
反比例函数的图象经过点D，
，
反比例函数的关系式为，
当时，即，
解得，
点 ，
设直线的关系式为，则，
解得，
直线的关系式为
（2）点关于x轴的对称点的坐标为，
直线与x轴的交点即为所求的点P，此时的周长最小，
设直线的关系式为，则
解得，
直线的关系式为 ，
当时，即，
解得，
直线与x轴的交点，
当的周长最小时，点，
（3）
如图，
由（1）（2）知
，，，，
，，，，
1
的面积为．
14．（1）y1=x+2；y2 =（2）2或-4；（3）-4＜x＜0或x＞2
【详解】试题分析：（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y2 =，再求出B的坐标是（-4，-2），利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）联立两函数解析式，组成方程组，解方程组即可得；
（3）当一次函数的值大于反比例函数的值时，直线在双曲线的上方，直接根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值x的取值范围即可．
试题解析：（1）将A（2，4）代入反比例解析式得：m=8，
∴反比例函数解析式为y2 =，
将B（-4，n）代入反比例解析式得：n=-2，即B（-4，-2），
将A与B坐标代入一次函数解析式得： ，解得： ，
则一次函数解析式为y1 =x+2；
（2）联立两函数解析式得： ，
解得：或，
则y 1 =y 2 时，x的值为2或-4；
（3）利用图象得：y 1 ＞y 2 时，x的取值范围为-4＜x＜0或x＞2．
15．(1)今年2月份型车每辆销售价2000元．
(2)进货方案是型车20辆，型车40辆．
【分析】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据单价总价数量，列出关于的分式方程；（2）根据总利润单辆利润购进数量，找出关于的函数关系式．
（1）设去年2月份型车每辆销售价元，那么今年2月份型车每辆销售元，根据销售总额和每辆销售价列出方程，即可解决问题．
（2）设今年3月份进型车辆，则型车辆，获得的总利润为元，先求出的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．
【详解】（1）解：（1）设去年2月份型车每辆销售价元，那么今年2月份型车每辆销售元，
根据题意得，
解得：，
经检验，是方程的解．
时，．
答：今年2月份型车每辆销售价2000元．
（2）设今年3月份进型车辆，则型车辆，获得的总利润为元，
根据题意得，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，可以获得最大利润．
答：进货方案是型车20辆，型车40辆．
16．(1)每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元；
(2)当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
（1）设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据“2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元；6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，利用总利润=每个甲种航天载人飞船模型的销售利润×购进甲种航天载人飞船模型的数量+每个乙种航天载人飞船模型的销售利润×购进乙种航天载人飞船模型，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元；
（2）解：设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，
根据题意得：，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
又∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为，
此时．
答：当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元．
17．(1)，；
(2)当乐乐去动物园的次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当乐乐去动物园的次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当乐乐去动物园的次数大于8时，选择乙种购票方式更划算，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的实际应用，两直线的交点问题．利用待定系数法正确求出一次函数解析式是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出两直线交点，结合图象即可解答．
【详解】（1）解：设选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为；
设选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
将，代入，得：，
解得：，
∴选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为；
故答案为：，；
（2）解：联立，解得：，
∴直线与直线的交点为．
∴由图象可知当时，直线在直线的图象下方，即此时选择甲种购票方式更划算；
当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；
当时，直线在直线的图象上方，即此时选择乙种购票方式更划算；
当乐乐去动物园的次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当乐乐去动物园的次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当乐乐去动物园的次数大于8时，选择乙种购票方式更划算.
18．(1)共有6种购买方案；
(2)，购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元．
【分析】（）根据题意列出不等式组，求解即可；
（）列出函数关系式，再利用一次函数的性质即可求解；
本题考查了一次函数的应用及不等式组的应用，读懂题意，列出不等式组和函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设种奖品的数量是件，则种奖品的数量是件，
，
解得：，
∵是正整数，
∴种奖品的数量范围且是正整数；
∴共有6种购买方案；
（2）解：由题意得，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，最小，为（元）．
即购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元．中小学教育资源及组卷应用平台
华师版数学第17章函数及图像重难点梳理
一、重点
函数的概念：理解函数的定义，能够判断一个变量是否是另一个变量的函数。
函数的表示方法：掌握解析法、列表法、图像法三种表示方法，并能根据实际情况选择合适的表示方法。
平面直角坐标系：理解平面直角坐标系的构成，能够准确地确定点的坐标。
正比例函数和一次函数的图像与性质：掌握正比例函数和一次函数的图像形状、性质，能够根据函数解析式画出图像，并能根据图像分析函数的性质。
函数的应用：能够根据实际问题建立函数模型，并利用函数的知识解决实际问题。
二、难点
函数概念的理解：函数的概念比较抽象，学生可能难以理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”的含义。
函数图像的绘制和分析：学生可能在绘制函数图像时出现误差，或者在分析函数图像时无法准确地提取信息。
正比例函数和一次函数的区别与联系：学生可能混淆正比例函数和一次函数的定义和性质，或者无法正确地根据图像判断函数的类型。
函数的实际应用：学生可能在将实际问题转化为函数模型时遇到困难，或者在利用函数模型解决问题时出现错误。
专项练习一：函数的概念与表示方法
要点诠释
函数是描述变量之间关系的重要数学模型，理解函数的概念是学习本章的基础。函数的表示方法有多种，每种方法都有其特点和适用范围。
例题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．一年中，时间是气温的函数
B．正方形面积公式中，不是变量
C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数
D．圆的周长与半径之间无函数关系
2．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（ ）
A．圆的面积公式 中，是的函数
B．同一物质，物体的体积是质量的函数
C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数
D．表达式 中是的函数
3．在关系式中，下列说法：都是变量，、都是常量；的值随的值变化而变化；是变量，它的值可以与无关；与的关系不能用表格表示；与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
专项练习二：平面直角坐标系与点的坐标
要点诠释
平面直角坐标系是确定点的位置的重要工具，点的坐标是描述点在坐标系中位置的关键。理解坐标系的构成和点的坐标的意义，能够准确地确定点的坐标，是进一步学习函数图像的基础。
例题
5．已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ．
6．已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则 ．
7．在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，将点M到x轴的距离记作，到y轴的距离记作．
(1)若，求的值；
(2)若点M在第二象限，且（m为常数），求m的值．
8．已知点在第四象限，分别根据下列条件求点的坐标．
(1)点到轴的距离为3；
(2)点的坐标为，且直线与轴平行．
专项练习三：一次函数的图像与性质
要点诠释
一次函数是函数的一种重要类型，其图像是一条直线。掌握一次函数的图像和性质，能够根据函数解析式画出图像，并能根据图像分析函数的性质，是解决实际问题的关键。
例题
9．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线轴，直线交直线于点，交直线于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)当时，求的面积．
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若为直线上一动点，的面积为6，求点的坐标．
11．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为．
(1)求一次函数表达式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集：___________．
12．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M．
(1)求直线的表达式．
(2)求的面积．
(3)点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围．
13．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E．
(1)求k的值及直线的解析式；
(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
14．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A（2，4）、B（-4，n）两点．
（1）分别求出和的解析式；
（2）求=时，x的值；
（3）根据图象直接写出＞时，x的取值范围．
专项练习四：函数的应用
要点诠释
函数在实际生活中有着广泛的应用，能够根据实际问题建立函数模型，并利用函数的知识解决实际问题是学习函数的重要目标。
例题
15．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2024年2月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加25％．
今年A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车 B型车
进货价格（元／辆）
销售价格（元／辆） 今年的销售价格
(1)求今年2月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
(2)该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
16．北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．
(1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？
17．春节结束后，为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式．
甲：按照次数收费：
乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次打折优惠．
设某人一年内去动物园的次数为次，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题．
(1)填空：
甲种收费的函数关系式是___________．乙种收费的函数关系式是___________．
(2)乐乐准备利用本学期的周末去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由．
18．为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍．
(1)该学校有几种购买方案？
(2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值．
