湖南省邵阳市海谊中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（B卷）
1．（2024高一下·邵阳期中）有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（ ）
A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥
2．（2024高一下·邵阳期中）下列说法中错误的是（ ）
A．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C．利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形
3．（2024高一下·邵阳期中）在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·邵阳期中）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024高一下·邵阳期中）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·邵阳期中）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
7．（2024高一下·邵阳期中）下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高一下·邵阳期中）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2024高一下·邵阳期中）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·邵阳期中）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一下·邵阳期中）若某锐角三角形的三边长分别为1，2，，则的值可能为（ ）
A．2 B． C． D．
12．（2024高一下·邵阳期中）设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024高一下·邵阳期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若，则与的夹角的范围是
C．若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为
D．若，则
14．（2024高一下·邵阳期中）已知复数，（其中是虚数单位，，），若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2024高一下·邵阳期中）用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为 ．
16．（2024高一下·邵阳期中）圆柱的底面半径为3，高为4，其侧面积为 .
17．（2024高一下·邵阳期中）求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O'的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O'的距离为d，则R、r、d满足的关系式是 .
18．（2024高一下·邵阳期中）若向量，则 ．
19．（2024高一下·邵阳期中）若复数满足，则的共轭复数为 （用复数的代数形式作答）
20．（2024高一下·邵阳期中）若向量与共线，求x的值.
21．（2024高一下·邵阳期中）计算：
（1） ；
（2）；
（3）；
（4）．
22．（2024高一下·邵阳期中）如图所示，在平面四边形中，，
（1）求的值.
（2）若为锐角，，求角.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：有一个面是多边形，其余四个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，
故根据棱锥的定义可知，几何体有四条侧棱，该几何体是四棱锥.
故选：B
【分析】本题考查棱柱的定义.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余四个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，通过棱锥的定义可得：几何体有四条侧棱，该几何体是四棱锥，据此可选出答案.
2．【答案】D
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】A，当夹角为时，余弦定理就变成了勾股定理，A不符合题意，A错误；
B，余弦定理揭示了任意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，B不符合题意，B错误；
C，余弦定理可以直接解决已知三角形三边求角的问题，C不符合题意，C错误；
D，在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，D正确；
故选：D.
【分析】本题考查正弦定理和余弦定理.当夹角为时，余弦定理就变成了勾股定理，据此可判断A选项；根据余弦定理揭示了任意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，据此可判断B选项；根据余弦定理可以直接解决已知三角形三边求角的问题，据此可判断C选项；根据在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，据此可判断D选项.
3．【答案】A
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】由题意得，在中，，
由正弦定理可得，化简得.
故答案为：A.
【分析】根据正弦定理求解即可.
4．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】因为，
所以，
所以对应的点为，在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
【分析】本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义，复数的几何意义.利用复数的除法运算分子和分母同时乘以1-i，再进行化简可求出复数z，利用共轭复数的定义可求出，进而可找出对应的点，求出对应点所在的象限.
5．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】因为底面半径，所以底面积，底面周长，圆锥母线长，圆锥侧面积，故圆锥的表面积为．
故选：C.
【分析】本题考查圆锥的侧面积和表面积公式.先根据底面半径，利用圆的面积公式可求出底面积，再求出底面周长，据此可求出母线的长度，利用圆锥的侧面积公式可求出圆锥的侧面积，据此可求出圆锥的表面积.
6．【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：有一个面是多边形，其余各面是三角形且有一个共同的顶点的几何体是棱锥，故A错误；
B、两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还需要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误；
C、用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误；
D、 棱台的各侧棱延长后必交于一点 ，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据棱锥、棱台的定义判断即可.
7．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥，
根据旋转体的定义，可得B项，符合题意.
故选：B.
【分析】本题考查旋转体的定义.观察几何题可得几何体为上、下各一个圆锥，根据旋转体的定义，可得必须是直角三角形绕斜边旋转才可以形成，据此可选出答案.
8．【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度.
故选：C.
【分析】本题考查向量的概念.根据向量的概念：既有大小又有方向的量，可得量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度，其余均为数量，据此可选出答案.
9．【答案】C
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】
A.为相反向量，A错误；
B.为相反向量，B错误；
C.方向相反，故，C正确；
D.因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，D错误.
故选：C
【分析】本题考查相等向量，平行向量，向量的模长.先画出图形，根据图形可得为相反向量，利用相等向量的定义可判A选项；观察图形可得为相反向量，利用相等向量的定义可判断B选项；根据.方向相反，利用平行向量的定义可得：，据此可判断C选项；根据矩形的性质可得：平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，据此可判断D选项.
10．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】根据余弦定理可知，.
故选：B
【分析】本题考查余弦定理.利用余弦定理可得：，据此可判断B选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】若某锐角三角形的三边长分别为1，2，，首先，
由题可知只需满足最大角是锐角即可，
由大边对大角结合余弦定理可知，只需，解得，
对比选项可知，的值可能为2，，.
故选：ABC.
【分析】本题考查余弦定理的应用.先利用三角形三边的关系可得：，再利用余弦定理可列出方程组，解方程组可求出a的取值范围，据此可选出答案.
12．【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】A.由，知，A错误；
B.，B错误；
C.由，C错误；
D.，则，D正确；
故选：BD
【分析】本题考查平面向量的模长，平面向量的数量积，平面向量平行的坐标表示，平面向量垂直的数量积公式.先利用平面向量的模长公式进行计算可得：，据此可判断A选项；利用平面向量的数量积公式进行计算可得，据此可判断B选项；利用平面向量平行的坐标表示公式进行计算可得，据此可判断C选项；利用平面向量的坐标运算可得：，据此可求出，进而可判断D选项.
13．【答案】A,B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】A.由向量在向量上的投影向量的定义知，向量在向量上的投影向量可表示为，A正确；
B. 因为，所以，又，所以与的夹角的范围是，B正确；
C.若是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为，C错误；
D.若，且都为非零向量时，，D错误；
故选：AB
【分析】本题考查投影向量的定义，平面向量的夹角公式，平面向量垂直的数量积表示.根据平面向量的投影向量的定义可得：向量在向量上的投影向量可表示为，据此可判断A选项；利用平面向量的数量积公式进行计算可得，再结合，可得与的夹角的范围是，据此可判断B选项；利用等腰直角三角形的性质可得：，的夹角为，据此可判断C选项；举出反例可得，且都为非零向量时，，据此可判断D选项.
14．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，，
所以，
又为纯虚数，所以，即且.
故选：AC
【分析】本题考查纯虚数的概念，复数的乘法运算.利用复数的乘法运算可得：，根据为纯虚数，利用纯虚数的概念可得：，解方程组可得且，据此可选出答案.
15．【答案】，
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【解答】由点A在直线l上，得；由l在平面外，得.
故答案为：；
【分析】本题考查点线、线面关系的符号表示.根据点A在直线l上，利用符号表示可得；根据l在平面外，利用符号表示可得，据此可求出答案.
16．【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】因为圆柱的底面半径为3，高为4，
所以其侧面积为
故答案为：
【分析】本题考查圆柱的侧面积.利用圆柱的侧面积公式可得：，再进行计算可求出答案.
17．【答案】
【知识点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】在中，根据勾股定理得，即.
故答案为：.
【分析】本题考查球的截面的性质.在中，利用勾股定理可得，代入数据可求出答案.
18．【答案】
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】向量，所以.
故答案为：
【分析】本题考查平面向量的坐标运算.根据向量，利用平面向量的坐标运算可得，据此可求出答案.
19．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】依题意，，
所以的共轭复数.
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义.利用复数的除法运算，分子和分母同时乘以2+i，再进行化简可求出复数，再利用共轭复数的定义可求出，据此可求出答案.
20．【答案】因为 与共线，所以，解得.
当时，，此时同向；
当时，，此时反向.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】本题考查平面向量共线的坐标表示.利用平面向量平行的坐标表示可列出方程，解方程可得，分两种情况：当时；当时，写成向量与，再检验是否共线，据此可求出答案 .
21．【答案】（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】本题考查复数的加减运算，复数的模长公式；
（1）先将括号进行展开可得：原式，再进行计算可求出答案；
（2）先将括号进行展开可得：原式，再进行计算可求出答案；
（3）先利用复数的模长公式进行计算可得：原式，将括号进行展开可得：原式，再进行计算可求出答案；
（4）先将括号进行展开可得：原式，再进行计算可求出答案；
（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
.
22．【答案】（1）在中，由余弦定理可得
（2）在中，由正弦定理可得，
因为为锐角，所以
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）利用余弦定理可得：，再代入数据进行计算可求出的值；
（2）利用正弦定理可得：，代入数据进行计算可求出，再根据为锐角，据此可求出角.
（1）在中，由余弦定理可得
（2）在中，由正弦定理可得，因为为锐角，所以
1 / 1湖南省邵阳市海谊中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（B卷）
1．（2024高一下·邵阳期中）有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（ ）
A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥
【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：有一个面是多边形，其余四个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，
故根据棱锥的定义可知，几何体有四条侧棱，该几何体是四棱锥.
故选：B
【分析】本题考查棱柱的定义.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余四个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，通过棱锥的定义可得：几何体有四条侧棱，该几何体是四棱锥，据此可选出答案.
2．（2024高一下·邵阳期中）下列说法中错误的是（ ）
A．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C．利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形
【答案】D
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】A，当夹角为时，余弦定理就变成了勾股定理，A不符合题意，A错误；
B，余弦定理揭示了任意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，B不符合题意，B错误；
C，余弦定理可以直接解决已知三角形三边求角的问题，C不符合题意，C错误；
D，在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，D正确；
故选：D.
【分析】本题考查正弦定理和余弦定理.当夹角为时，余弦定理就变成了勾股定理，据此可判断A选项；根据余弦定理揭示了任意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，据此可判断B选项；根据余弦定理可以直接解决已知三角形三边求角的问题，据此可判断C选项；根据在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，据此可判断D选项.
3．（2024高一下·邵阳期中）在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】由题意得，在中，，
由正弦定理可得，化简得.
故答案为：A.
【分析】根据正弦定理求解即可.
4．（2024高一下·邵阳期中）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】因为，
所以，
所以对应的点为，在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
【分析】本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义，复数的几何意义.利用复数的除法运算分子和分母同时乘以1-i，再进行化简可求出复数z，利用共轭复数的定义可求出，进而可找出对应的点，求出对应点所在的象限.
5．（2024高一下·邵阳期中）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】因为底面半径，所以底面积，底面周长，圆锥母线长，圆锥侧面积，故圆锥的表面积为．
故选：C.
【分析】本题考查圆锥的侧面积和表面积公式.先根据底面半径，利用圆的面积公式可求出底面积，再求出底面周长，据此可求出母线的长度，利用圆锥的侧面积公式可求出圆锥的侧面积，据此可求出圆锥的表面积.
6．（2024高一下·邵阳期中）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：有一个面是多边形，其余各面是三角形且有一个共同的顶点的几何体是棱锥，故A错误；
B、两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还需要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误；
C、用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误；
D、 棱台的各侧棱延长后必交于一点 ，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据棱锥、棱台的定义判断即可.
7．（2024高一下·邵阳期中）下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥，
根据旋转体的定义，可得B项，符合题意.
故选：B.
【分析】本题考查旋转体的定义.观察几何题可得几何体为上、下各一个圆锥，根据旋转体的定义，可得必须是直角三角形绕斜边旋转才可以形成，据此可选出答案.
8．（2024高一下·邵阳期中）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度.
故选：C.
【分析】本题考查向量的概念.根据向量的概念：既有大小又有方向的量，可得量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度，其余均为数量，据此可选出答案.
9．（2024高一下·邵阳期中）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】
A.为相反向量，A错误；
B.为相反向量，B错误；
C.方向相反，故，C正确；
D.因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，D错误.
故选：C
【分析】本题考查相等向量，平行向量，向量的模长.先画出图形，根据图形可得为相反向量，利用相等向量的定义可判A选项；观察图形可得为相反向量，利用相等向量的定义可判断B选项；根据.方向相反，利用平行向量的定义可得：，据此可判断C选项；根据矩形的性质可得：平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，据此可判断D选项.
10．（2024高一下·邵阳期中）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】根据余弦定理可知，.
故选：B
【分析】本题考查余弦定理.利用余弦定理可得：，据此可判断B选项.
11．（2024高一下·邵阳期中）若某锐角三角形的三边长分别为1，2，，则的值可能为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】若某锐角三角形的三边长分别为1，2，，首先，
由题可知只需满足最大角是锐角即可，
由大边对大角结合余弦定理可知，只需，解得，
对比选项可知，的值可能为2，，.
故选：ABC.
【分析】本题考查余弦定理的应用.先利用三角形三边的关系可得：，再利用余弦定理可列出方程组，解方程组可求出a的取值范围，据此可选出答案.
12．（2024高一下·邵阳期中）设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】A.由，知，A错误；
B.，B错误；
C.由，C错误；
D.，则，D正确；
故选：BD
【分析】本题考查平面向量的模长，平面向量的数量积，平面向量平行的坐标表示，平面向量垂直的数量积公式.先利用平面向量的模长公式进行计算可得：，据此可判断A选项；利用平面向量的数量积公式进行计算可得，据此可判断B选项；利用平面向量平行的坐标表示公式进行计算可得，据此可判断C选项；利用平面向量的坐标运算可得：，据此可求出，进而可判断D选项.
13．（2024高一下·邵阳期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若，则与的夹角的范围是
C．若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为
D．若，则
【答案】A,B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】A.由向量在向量上的投影向量的定义知，向量在向量上的投影向量可表示为，A正确；
B. 因为，所以，又，所以与的夹角的范围是，B正确；
C.若是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为，C错误；
D.若，且都为非零向量时，，D错误；
故选：AB
【分析】本题考查投影向量的定义，平面向量的夹角公式，平面向量垂直的数量积表示.根据平面向量的投影向量的定义可得：向量在向量上的投影向量可表示为，据此可判断A选项；利用平面向量的数量积公式进行计算可得，再结合，可得与的夹角的范围是，据此可判断B选项；利用等腰直角三角形的性质可得：，的夹角为，据此可判断C选项；举出反例可得，且都为非零向量时，，据此可判断D选项.
14．（2024高一下·邵阳期中）已知复数，（其中是虚数单位，，），若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，，
所以，
又为纯虚数，所以，即且.
故选：AC
【分析】本题考查纯虚数的概念，复数的乘法运算.利用复数的乘法运算可得：，根据为纯虚数，利用纯虚数的概念可得：，解方程组可得且，据此可选出答案.
15．（2024高一下·邵阳期中）用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为 ．
【答案】，
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【解答】由点A在直线l上，得；由l在平面外，得.
故答案为：；
【分析】本题考查点线、线面关系的符号表示.根据点A在直线l上，利用符号表示可得；根据l在平面外，利用符号表示可得，据此可求出答案.
16．（2024高一下·邵阳期中）圆柱的底面半径为3，高为4，其侧面积为 .
【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】因为圆柱的底面半径为3，高为4，
所以其侧面积为
故答案为：
【分析】本题考查圆柱的侧面积.利用圆柱的侧面积公式可得：，再进行计算可求出答案.
17．（2024高一下·邵阳期中）求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O'的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O'的距离为d，则R、r、d满足的关系式是 .
【答案】
【知识点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】在中，根据勾股定理得，即.
故答案为：.
【分析】本题考查球的截面的性质.在中，利用勾股定理可得，代入数据可求出答案.
18．（2024高一下·邵阳期中）若向量，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】向量，所以.
故答案为：
【分析】本题考查平面向量的坐标运算.根据向量，利用平面向量的坐标运算可得，据此可求出答案.
19．（2024高一下·邵阳期中）若复数满足，则的共轭复数为 （用复数的代数形式作答）
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】依题意，，
所以的共轭复数.
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义.利用复数的除法运算，分子和分母同时乘以2+i，再进行化简可求出复数，再利用共轭复数的定义可求出，据此可求出答案.
20．（2024高一下·邵阳期中）若向量与共线，求x的值.
【答案】因为 与共线，所以，解得.
当时，，此时同向；
当时，，此时反向.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】本题考查平面向量共线的坐标表示.利用平面向量平行的坐标表示可列出方程，解方程可得，分两种情况：当时；当时，写成向量与，再检验是否共线，据此可求出答案 .
21．（2024高一下·邵阳期中）计算：
（1） ；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】本题考查复数的加减运算，复数的模长公式；
（1）先将括号进行展开可得：原式，再进行计算可求出答案；
（2）先将括号进行展开可得：原式，再进行计算可求出答案；
（3）先利用复数的模长公式进行计算可得：原式，将括号进行展开可得：原式，再进行计算可求出答案；
（4）先将括号进行展开可得：原式，再进行计算可求出答案；
（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
.
22．（2024高一下·邵阳期中）如图所示，在平面四边形中，，
（1）求的值.
（2）若为锐角，，求角.
【答案】（1）在中，由余弦定理可得
（2）在中，由正弦定理可得，
因为为锐角，所以
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）利用余弦定理可得：，再代入数据进行计算可求出的值；
（2）利用正弦定理可得：，代入数据进行计算可求出，再根据为锐角，据此可求出角.
（1）在中，由余弦定理可得
（2）在中，由正弦定理可得，因为为锐角，所以
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