四川省遂宁市第一中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
1．（2024高二下·遂宁期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据基本初等函数的导数求解判断即可.
2．（2024高二下·遂宁期中）函数在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，则.
故答案为：D.
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
3．（2024高二下·遂宁期中） 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ）
A．9种 B．12种 C．24种 D．72种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：共有12部电影可供选择，
所以 小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有 12种.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知：共有12部电影可供选择，即可得结果.
4．（2024高二下·遂宁期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：A、，故A不符合；
B、，故B不符合；
C、，故C不符合；
D、，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据排列和组合的公式计算后判断即可.
5．（2024高二下·遂宁期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．有4个极值点，其中有2个极大值点
B．有4个极值点，其中有2个极小值点
C．有3个极值点，其中有2个极大值点
D．有3个极值点，其中有2个极小值点
【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由图象可知，有三个异号零点，则函数有3个极值点；
其中2个极大值点、1个极小值点.
故答案为：C.
【分析】由图象结合极值点以及极大值点的定义判断即可.
6．（2024高二下·遂宁期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．10 C． D．80
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
则项为，即的系数为.
故答案为：A.
【分析】写出展开式的通项，利用二项式定理求出的系数即可.
7．（2024高二下·遂宁期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：的定义域为，且在定义域内单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
，，
即实数的取值范围为．
故答案为：B.
【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，再利用二次函数求最值的方法和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
8．（2024高二下·遂宁期中）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：不等式等价于，
令，因为对任意的，
当时，，所以函数在上单调递减，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
当时，，单调递增，
当时，单调递减，
则，所以.
故答案为：C.
【分析】将原不等式变形，构造函数，求导，分离参数求最值即可.
9．（2024高二下·遂宁期中）（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（ ）
A．的图象在处的切线斜率大于
B．的图象在处的切线斜率小于
C．的图象在处位于轴上方
D．的图象在处位于轴下方
【答案】B,C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以函数在处的切线斜率小于；
因为，所以的图象在处位于轴上方．
故答案为：BC.
【分析】结合，，利用导数的相关知识判断即可.
10．（2024高二下·遂宁期中）2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．共有14种安排方法
C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
【答案】A,B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、若展馆需要3种花卉，则有种安排方法，故A正确；
B、4种花卉按去，展馆参展有种方法；
按去，展馆参展有种方法；
则不同的安排方法种数是，故B正确；
C、若“绿水晶”去展馆，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则不同的安排方法为种方法；
若展馆有种花卉，则不同的安排方法为种方法，则共有种方法，故C错误；
D、由选项B知，4种精品花卉将去，展馆参展共有14种安排方法，
若2种三角梅去往同一个展馆，有种安排方法，
则2种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据排列、组合的知识求解即可.
11．（2024高二下·遂宁期中）已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程是
B．函数有极大值，且极大值点
C．
D．函数有两个零点
【答案】A,B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导可得，
A、易知以，则曲线在点处的切线方程是，
即，故A正确；
B、设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
令，则，所以，
而，由零点存在定理可知的零点，即函数有极大值，且极大值点，故B正确；
C、由以上分析可知在单调递减，且，所以，故C错误；
D、，所以只有唯一的一个零点即.
故答案为：AB.
【分析】先求函数的定义域，再求导，求出，写出切线方程即可判断A；设，通过导数发现的单调性，进一步结合零点存在定理即可判断B；由B选项结论即可判断C；由零点的定义即可判断D.
12．（2024高二下·遂宁期中）计算= ．
【答案】360
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：360.
【分析】根据排列数公式和组合数公式计算即可.
13．（2024高二下·遂宁期中）已知函数在上存在极值点，则正整数的值是
【答案】5
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】，
时，或，
因为函数定义域为，在左端点处无法取到极值，
，而，所以，，经检验满足题意，
故答案为：5.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数，再令，可求出或，再根据函数定义域为，所以在左端点处无法取到极值，进而可求出的值.
14．（2024高二下·遂宁期中）已知函数，若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：问题转化为存在，使得，即，
函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
则，即，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】将问题转化为，再求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得实数m的范围.
15．（2024高二下·遂宁期中）7名同学排队照相.
（1）若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
（2）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？
【答案】（1）解：因为 甲、乙、丙三人必须相邻， 所以将甲、乙、丙看作一个整体，再内部排列有种排法；
再将这个整体与其他4人全排列，有种排法，
则一共有种不同的排法；
（2）解：先对4名男生进行全排列，有种排法，
再将3名女生插到4名男生所形成的5个空中，有种排法，
则一共有种不同的排法.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用捆绑法，结合排列数公式求解即可；
（2）利用插空法求解即可.
（1）依题意，将甲、乙、丙看作一个整体，其内部有种排法，
再将这个整体与其他4人全排列，有种排法，
所以一共有种不同的排法.
（2）依题意，先对4名男生进行全排列，有种排法，
再将3名女生插到4名男生所形成的5个空中，有种排法，
所以一共有种不同的排法.
16．（2024高二下·遂宁期中）已知函数，a，．若在处与直线相切．
（1）求a，b的值；
（2）求在（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为函数在处与直线相切，所以，解得；
（2）解：由（1）可得，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极大值即最大值，
且，又因为，
所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，由题意可得，求、的值即可；
（2）由（1）可得的解析式，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极小值，再求出区间端点的函数值比较可得最值.
17．（2024高二下·遂宁期中）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）解：函数，求导可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意；
（2）解：因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可；
（2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可.
（1）由题可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意．
（2）因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
18．（2024高二下·遂宁期中）已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）函数定义域是，
求导可得，
当时，恒成立，则函数在上是增函数；
当时，时，，单调递减，时，，单调递增；
（2）即在上恒成立，则，
设，则，时，，单调递增，时，，单调递减，，则，即实数a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求出导函数，分，讨论确定的正负得单调性即可；
（2）分离参数法变形不等式，转化为求新函数的最值求解即可．
19．（2024高二下·遂宁期中）已知函数，.
（1）当时，求证：；
（2）求函数的零点个数.
【答案】（1）解：当时，函数，求导可得，
令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
则；
（2）解：由（1）知当时，，即，
因为，所以，
令，求导可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
最小值为，，
，则无零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数求出的单调区间，从而得到的最小值证明即可；
（2）由（1）可得当时，，则，令，利用导数求出的单调区间，得到的最小值，从而求零点个数即可.
（1）当时，，则，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
.
（2）由（1）知当时，，即，
，，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
最小值为，，
，无零点.
1 / 1四川省遂宁市第一中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
1．（2024高二下·遂宁期中）下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·遂宁期中）函数在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·遂宁期中） 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ）
A．9种 B．12种 C．24种 D．72种
4．（2024高二下·遂宁期中）等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·遂宁期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．有4个极值点，其中有2个极大值点
B．有4个极值点，其中有2个极小值点
C．有3个极值点，其中有2个极大值点
D．有3个极值点，其中有2个极小值点
6．（2024高二下·遂宁期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．10 C． D．80
7．（2024高二下·遂宁期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·遂宁期中）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·遂宁期中）（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（ ）
A．的图象在处的切线斜率大于
B．的图象在处的切线斜率小于
C．的图象在处位于轴上方
D．的图象在处位于轴下方
10．（2024高二下·遂宁期中）2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．共有14种安排方法
C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
11．（2024高二下·遂宁期中）已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程是
B．函数有极大值，且极大值点
C．
D．函数有两个零点
12．（2024高二下·遂宁期中）计算= ．
13．（2024高二下·遂宁期中）已知函数在上存在极值点，则正整数的值是
14．（2024高二下·遂宁期中）已知函数，若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 .
15．（2024高二下·遂宁期中）7名同学排队照相.
（1）若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
（2）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？
16．（2024高二下·遂宁期中）已知函数，a，．若在处与直线相切．
（1）求a，b的值；
（2）求在（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值．
17．（2024高二下·遂宁期中）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
（2）求函数的单调区间．
18．（2024高二下·遂宁期中）已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19．（2024高二下·遂宁期中）已知函数，.
（1）当时，求证：；
（2）求函数的零点个数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据基本初等函数的导数求解判断即可.
2．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，则.
故答案为：D.
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：共有12部电影可供选择，
所以 小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有 12种.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知：共有12部电影可供选择，即可得结果.
4．【答案】D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：A、，故A不符合；
B、，故B不符合；
C、，故C不符合；
D、，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据排列和组合的公式计算后判断即可.
5．【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由图象可知，有三个异号零点，则函数有3个极值点；
其中2个极大值点、1个极小值点.
故答案为：C.
【分析】由图象结合极值点以及极大值点的定义判断即可.
6．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
则项为，即的系数为.
故答案为：A.
【分析】写出展开式的通项，利用二项式定理求出的系数即可.
7．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：的定义域为，且在定义域内单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
，，
即实数的取值范围为．
故答案为：B.
【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，再利用二次函数求最值的方法和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：不等式等价于，
令，因为对任意的，
当时，，所以函数在上单调递减，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
当时，，单调递增，
当时，单调递减，
则，所以.
故答案为：C.
【分析】将原不等式变形，构造函数，求导，分离参数求最值即可.
9．【答案】B,C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以函数在处的切线斜率小于；
因为，所以的图象在处位于轴上方．
故答案为：BC.
【分析】结合，，利用导数的相关知识判断即可.
10．【答案】A,B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、若展馆需要3种花卉，则有种安排方法，故A正确；
B、4种花卉按去，展馆参展有种方法；
按去，展馆参展有种方法；
则不同的安排方法种数是，故B正确；
C、若“绿水晶”去展馆，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则不同的安排方法为种方法；
若展馆有种花卉，则不同的安排方法为种方法，则共有种方法，故C错误；
D、由选项B知，4种精品花卉将去，展馆参展共有14种安排方法，
若2种三角梅去往同一个展馆，有种安排方法，
则2种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据排列、组合的知识求解即可.
11．【答案】A,B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导可得，
A、易知以，则曲线在点处的切线方程是，
即，故A正确；
B、设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
令，则，所以，
而，由零点存在定理可知的零点，即函数有极大值，且极大值点，故B正确；
C、由以上分析可知在单调递减，且，所以，故C错误；
D、，所以只有唯一的一个零点即.
故答案为：AB.
【分析】先求函数的定义域，再求导，求出，写出切线方程即可判断A；设，通过导数发现的单调性，进一步结合零点存在定理即可判断B；由B选项结论即可判断C；由零点的定义即可判断D.
12．【答案】360
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：360.
【分析】根据排列数公式和组合数公式计算即可.
13．【答案】5
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】，
时，或，
因为函数定义域为，在左端点处无法取到极值，
，而，所以，，经检验满足题意，
故答案为：5.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数，再令，可求出或，再根据函数定义域为，所以在左端点处无法取到极值，进而可求出的值.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：问题转化为存在，使得，即，
函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
则，即，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】将问题转化为，再求导，利用导数判断函数的单调性，求最值即可得实数m的范围.
15．【答案】（1）解：因为 甲、乙、丙三人必须相邻， 所以将甲、乙、丙看作一个整体，再内部排列有种排法；
再将这个整体与其他4人全排列，有种排法，
则一共有种不同的排法；
（2）解：先对4名男生进行全排列，有种排法，
再将3名女生插到4名男生所形成的5个空中，有种排法，
则一共有种不同的排法.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用捆绑法，结合排列数公式求解即可；
（2）利用插空法求解即可.
（1）依题意，将甲、乙、丙看作一个整体，其内部有种排法，
再将这个整体与其他4人全排列，有种排法，
所以一共有种不同的排法.
（2）依题意，先对4名男生进行全排列，有种排法，
再将3名女生插到4名男生所形成的5个空中，有种排法，
所以一共有种不同的排法.
16．【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为函数在处与直线相切，所以，解得；
（2）解：由（1）可得，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极大值即最大值，
且，又因为，
所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，由题意可得，求、的值即可；
（2）由（1）可得的解析式，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极小值，再求出区间端点的函数值比较可得最值.
17．【答案】（1）解：函数，求导可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意；
（2）解：因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可；
（2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可.
（1）由题可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意．
（2）因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
18．【答案】解：（1）函数定义域是，
求导可得，
当时，恒成立，则函数在上是增函数；
当时，时，，单调递减，时，，单调递增；
（2）即在上恒成立，则，
设，则，时，，单调递增，时，，单调递减，，则，即实数a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求出导函数，分，讨论确定的正负得单调性即可；
（2）分离参数法变形不等式，转化为求新函数的最值求解即可．
19．【答案】（1）解：当时，函数，求导可得，
令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
则；
（2）解：由（1）知当时，，即，
因为，所以，
令，求导可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
最小值为，，
，则无零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数求出的单调区间，从而得到的最小值证明即可；
（2）由（1）可得当时，，则，令，利用导数求出的单调区间，得到的最小值，从而求零点个数即可.
（1）当时，，则，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
.
（2）由（1）知当时，，即，
，，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
最小值为，，
，无零点.
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