【2025春新教材】人教版七年级下册数学11.2一元一次不等式（第2课时）（教学设计）

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11.2.2 一元一次不等式（第2课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第十一章“不等式与不等式组”11.2.2 一元一次不等式（2），内容包括：能够根据具体的数量关系，列出一元一次不等式解决实际问题；掌握列一元一次不等式解决实际问题的基本步骤.
2.内容解析
作为解决实际问题的有力工具，一元一次不等式能帮助学生处理生活中大量涉及不等关系的问题，增强数学应用能力. 列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题有相似之处，同样需要分析题目中的已知量和未知量，但不同的是，此时挖掘的是不等关系. 学生先前列方程的经验，在设未知数和分析数量关系环节能为列不等式提供一定思路，但需引导他们转变思维，关注不等关系的识别.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能够根据具体的数量关系，列出一元一次不等式解决实际问题.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）能够根据具体的数量关系，列出一元一次不等式解决实际问题.
（2）掌握列一元一次不等式解决实际问题的基本步骤．
（3）通过探究实际问题，进一步体会一元一次不等式的应用价值，发展模型观念．
2.目标解析
（1）学生需要掌握一元一次不等式及其解法，更要能在实际情境中依据具体数量关系列出并求解不等式. 这意味着学生不仅能准确辨别式子是否为一元一次不等式，按步骤正确解题，还能在实际问题中敏锐捕捉不等关系，完成从实际到数学模型构建及求解的全过程
（2）学生要全程参与列一元一次不等式解决实际问题的探索. 通过对比一元一次方程与一元一次不等式，自主总结类比方法；在求解不等式和解决实际问题时，深入理解转化过程，学会将现实问题数学化，构建不等式模型并求解，借此提升分析与解决问题的综合能力.
（3）在解不等式及处理实际问题的过程中，学生要逐渐培养应用意识，提升运算能力. 从生活情境中抽象出不等式模型并解决问题，能增强对数学实用性的认知. 反复运算求解与处理实际问题，有助于提高运算准确性和速度，养成严谨认真的学习态度，深刻体会数学对生活实践的指导价值.
三、教学问题诊断分析
从实际问题抽象数学模型需较强分析理解能力，对部分学生颇具挑战. 面对实际问题，学生可能难以快速梳理不等关系列出不等式.
1.在实际应用中，学生容易误解题意，找错不等关系，列出错误的不等式. 因此，课堂上应针对实际应用易错点增加专项练习，剖析常见错误案例，让学生明确错误根源，提升识别与避免错误的能力.
2.教学中多引导学生逐步分析题目中的已知、未知量，寻找不等关系列出不等式. 引导学生结合实际问题背景，详细阐述不等式解的含义，通过具体实例强化理解. 鼓励学生小组合作交流，共同探讨分析解决问题的方法，培养合作与思维能力.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：从实际情境中抽象出数学模型，准确找到不等关系列出一元一次不等式.
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题：同学们，我们是如何利用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题的？你能说说基本的步骤吗？
（二）典例分析
例2 七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分， 答错或不答都扣5分．如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？
分析：“初赛成绩超过90分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不等关系列出不等式．
解：设初赛答对了x道题． 根据 “初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式
10x-5(20-x)＞90．
去括号，得 10x-100+5x＞90．
移项，合并同类项，得 15x＞190．
系数化为1，得 x＞12．
由x应为正整数，可得x至少为13．
答：初赛至少要答对13道题才能成功晋级．
“设”中没有描述不等关系的词语，“答”中含有描述不等关系的词语.
例3 某市去年万元地区生产总值能耗为0.320 t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？
万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量 （折算为标准煤），其下降率是衡量一个地区节能减排成效的重要指标．
分析 “今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系，即
解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为x t标准煤.根据题意，列得不等式
去分母，得 0.320-x≥0.320×5%．
移项，合并同类项，得 -x≥-0.304．
系数化为1，得 x≤0.304．
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304 t标准煤．
例4 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？
分析：在甲超市购物超过100元后享受优惠，在乙超市购物超过50元后享受优惠．因此，需要分三种情况讨论：
（1）累计购物不超过50元；
（2）累计购物超过50元而不超过100元；
（3）累计购物超过100元．
解：设累计购物花费x元．
（1）当累计购物不超过50元，即x≤50时，在甲、乙两超市购物都不享受优惠，而两家超市以同样价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费相同．
（2）当累计购物超过50元而不超过100元，即50＜x≤100时，在甲超市购物不享受优惠，但在乙超市购物能享受优惠，因此到乙超市购物花费较少．
（3）当累计购物超过100元，即x＞100时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠．
① 若到甲超市购物花费较少，则
100+0.9(x-100)＜50+0.95(x-50)． 解得x＞150．
即x＞150时，到甲超市购物花费较少．
② 若到乙超市购物花费较少，则
100+0.9(x-100)＞50+0.95(x-50)．解得x＜150．
即100＜x＜150时，到乙超市购物花费较少．
③ 若到两超市购物花费相同，则
100+0.9(x-100)＝50+0.95(x-50)． 解得x＝150．
即x＝150时，到甲、乙两超市购物花费相同．
答：当累计购物花费不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少．
（三）巩固练习
1. 某工程队计划在10天内修路6 km．施工前2天修完1.2 km后，计划发生变化，准备至少提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？
解：设该工程队以后几天内平均每天修路x km.根据题意，列得不等式
(10-2-2)x≥6-1.2．
解得 x≥0.8．
答：该工程队以后几天内平均每天至少要修路0.8 km．
2. 一家商店以每辆340元的进价购入一批自行车共150辆，并以每辆450元的价格销售．两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总费用，这时至少已售出多少辆自行车？
解：设这时已售出x辆自行车.根据题意，列得不等式
450x＞340×150．
解得 x＞113．
由x应为正整数，可得x至少为114.
答：这时至少已售出114辆自行车．
3.一批苹果的进价是8.55元/kg，销售中估计有5%的苹果正常损耗．商家把售价至少定为多少，才能避免亏本？
解：设苹果的售价是x元/kg.根据题意，列得不等式
(1-5%)x≥8.55．
解得 x≥9．
答：商家把售价至少定为9元/kg.
4.学校打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励给在绘画比赛中获奖的学生．笔记本的价格为16元/个，中性笔的价格为4元/支．如果学校一共要购买100件奖品，总费用不能超过900元，那么学校最多能买多少个笔记本？
解：设学校购买x个笔记本.根据题意，列得不等式
16x+4(100-x)≤900．
解得 x≤41．
由x应为正整数，可得x最大为41.
答：学校最多能买41个笔记本．
5.一家水果店花费10 000元购进了大樱桃和小樱桃各200 kg，计划分别以39元/kg和29元/kg的价格销售，但大樱桃在运输中损耗了20%．若小樱桃的售价不变，为了使获得的总利润不低于预期利润的90%，大樱桃的售价至少要定为每千克多少元？
解：设大樱桃的售价应定为x元/kg.根据题意，列得不等式
200×(1-20%)x+200×29-10 000≥(200×39+200×29-10 000)×90%．
解得 x≥46.5．
答：大樱桃的售价至少要定为每千克46.5元．
6.一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量是原来月均产量的1.7倍．升级后，这条生产线8个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量比原来12个月的生产量至少多1 000万盒，这条生产线原来平均每月的产量至少是多少万盒？
解：设这条生产线原来平均每月的产量是x万盒.根据题意，列得不等式
8×1.7x-12x≥1 000．
解得 x≥625．
答：这条生产线原来平均每月的产量至少是625万盒．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
（四）归纳总结
感受中考
1.（2024 山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50﹣x）个，根据题意得：
540x+380（50﹣x）≤21000，
解得： x≤12.5，
∵x为整数，
∴x取最大值为12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
2.（2024 哈尔滨）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？
解：（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，由题意得：
，
解得： ，
答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米；
（2）该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结， 由题意得：
4m+3（50﹣m）≤165，
解得： m≤15，
答：该中学最多编织15个大号中国结．
3.（2024 成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17 500元从农户处购进A，B两种水果共1 500kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg．
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价．
解：（1）设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，根据题意得：
，
解得： ．
答：A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克；
（2）设A种水果的销售单价为m元/千克，根据题意得：
1000×（1﹣4%）m﹣10×1000≥10×1000×20%，
解得： m≥12.5，
∴m的最小值为12.5．
答：A种水果的最低销售单价为12.5元/千克．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（六）小结梳理
（七）布置作业
1.必做题：习题11.2 第5，6题.
2.探究性作业：习题11.2 第10题.
五、教学反思
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