浙江省宁波市海曙区储能学校丽园校区2024-2025学年八年级上学期数学开学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八上·海曙开学考）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·海曙开学考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，7 B．6，7，12 C．6，7，14 D．3，3，8
3．（2024八上·海曙开学考）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同旁内角相等，两直线平行
C．全等三角形的对应边相等 D．如果，那么
4．（2024八上·海曙开学考）如图，已知≌，，，则( )
A． B． C． D．
5．（2024八上·海曙开学考）如图，是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
6．（2024八上·海曙开学考）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
7．（2024八上·海曙开学考）不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
8．（2024八上·海曙开学考）如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·海曙开学考）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点若，则的度数是用含的代数式表示
A． B． C． D．
10．（2024八上·海曙开学考）已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（ ）
A．12个 B．10个 C．8个 D．6个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024八上·海曙开学考）用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x小时，所列不等式为 ．
12．（2024八上·海曙开学考）写出命题“直角三角形只有两个锐角”的逆命题 ．
13．（2024八上·海曙开学考）在中，，，则的度数为 ．
14．（2024八上·海曙开学考）如图，若，B、E、C、F在同一直线上，，则的长是 cm．
15．（2024八上·海曙开学考）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）．
16．（2024八上·海曙开学考）如图，的度数为 ．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024八上·海曙开学考）解不等式，并把解集表示在数轴上．
18．（2024八上·海曙开学考）如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．
⑴在图甲中画一个以为边且面积为的直角三角形．
⑵在图乙中画一个以为腰的等腰三角形．
19．（2024八上·海曙开学考）如图，中，，的垂直平分线交于点．
（1）若，求的度数
（2）若，，求的周长
20．（2024八上·海曙开学考）如图，在中，，，试说明的理由．
解：已知，
▲
已知，
等式性质，
在与中，
，
≌ ，
，
又，
21．（2024八上·海曙开学考）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
22．（2024八上·海曙开学考）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，，求的周长．
23．（2024八上·海曙开学考）
（1）模型的发现：
如图，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点、问：、和的数量关系．
（2）模型的迁移：位置的改变
如图，在的条件下，若、两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明．
24．（2024八上·海曙开学考）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（3）在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A．∵，∴ 3，4，7 不能构成三角形，故A不符合题意
B．∵，∴ 6，7，12 能构成三角形，故B符合题意
C．∵，∴ 6，7，14 不能构成三角形，故C不符合题意
D．∵，∴ 3，3，8 不能构成三角形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边依次进行判定，而ACD不满足三角形三边的关系，因此不能够成三角形，而B满足三角形三边的关系，因此能够成三角形.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；绝对值的概念与意义；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、假命题，故A不符合题意
B、假命题，故B不符合题意
C、真命题，故C符合题意
D、假命题，故D不符合题
故选：C．
【分析】A、 相等的角不一定是对顶角
B、 同旁内角互补，两直线平行
C、根据全等三角形的性质可得： 全等三角形的对应边相等
D、 如果，那么且 ．
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵≌，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠D=180°-（∠DAC+∠ACD）=180°-（30°+60°）=90°。
故答案为：D.
【分析】首先根据全等三角形的性质得出∠DAC=∠BAC=30°，然后根据三角形内角和定理，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过P点作于E点，
∵是的角平分线，P为上任意一点，，，
，
，
，
∴点P到射线的距离是3，
故选：C．
【分析】过P点作于E点，由角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PE=PD=3．
6．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意可得：
这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性
故答案为：C
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】不等式x>1 在数轴上表示如下：
故答案为：B。
【分析】-1是空心点，指向右，据此判定。
8．【答案】A
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，，AC=AC
∴
∴
∴是角平分线
故选：A．
【分析】先证明（SSS），可得即可求解．
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ 将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
∴∠B=∠FDC，CD=BC，
∴∠B=∠CDB=∠FDC=（180°-∠BCD）=（180°-α）=90°-α，
∴∠DCF=∠ACB-∠BCD=80°-α，
∵∠EFC=∠FDC+∠DCF=90°-α+80°-α= .
故答案为：C.
【分析】利用旋转的性质可证得∠B=∠FDC，CD=BC，利用等角对等边和三角形内角和定理可表示出∠FDC的度数，根据∠DCF=∠ACB-∠BCD，可表示出∠DCF的度数，然后利用三角形外角的性质可表示出∠EFC的度数.
10．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的最短边为a，最长边为b
∴三角形的三边长分别为a，6，b
∴0
6
∵三角形的三边长均为整数
∴a可以是1、2、3、4、5
当a=1时，b<1+6 即：b<7，不符合题意
当a=2时，b，即b，∴b=7
当a=3时，b，即b，∴b=7或8，
当a=4时，b，即b，∴b=7或8或9，
当a=5时，b，即b，∴b=7或8或9或10
满足条件的三角形共有．
故答案为：B．
【分析】设三角形的最短边为a，最长边为b，根据题意得出：06，因为三角形的三边长均为整数，因此可以得出a可以是1、2、3、4、5，然后根据分类讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出最长边，从而得解．
11．【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：由题意得．
故答案为：.
【分析】根据不等量关系： 体育运动时间1，列出不等式即可.
12．【答案】只有两个锐角的三角形是直角三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：逆命题：只有两个锐角的三角形是直角三角形
故答案为：只有两个锐角的三角形是直角三角形．
【分析】原命题：若p则q逆命题：若q则p，即：把原命题的题设和结论互换位置，则得到这个命题的逆命题，根据逆命题的定义进行作答即可.．
13．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=30°，∠B=4∠C，
∴30°+4∠C+∠C=180°，
解之：∠C=30°.
故答案为：30°.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠A+∠B+∠C=180°，将∠A=30°，∠B=4∠C代入，可得到关于∠C的方程，解方程求出∠C的度数.
14．【答案】3
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：3．
【分析】本题考查全等三角形的性质.根据，利用全等三角形的对应边相等，得到，再利用线段的运算可得：，代入数据可求出答案．
15．【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
16．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
∵ ∠A+∠B=∠1，∠1+∠C=∠2，∠2+∠D+∠E=180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
故答案为：180°.
【分析】根据外角的性质和三角形的内角和定理，即可求得.
17．【答案】解：，
移项，得．
合并同类项，得．
两边都除以，得．
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先移项，再合并同类项，将x的系数化为1，可得到不等式的解集，然后将不等式的解集在数轴上表示出来即可.
18．【答案】⑴如图甲中，即为所求．
⑵如图乙中，即为所求答案不唯一．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式，利用边AB，画出以为边且面积为3的直角三角形.
（2）根据等腰三角形是轴对称图形，以AC为腰，画等腰△ACE即可.
19．【答案】（1）解的垂直平分线交于点
∵∠BPC是△BPC的外角
（2）解：
∴的周长
∵AP=BP，AB=AC
∴的周长
，
的周长
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线性质可得，因此，再根据三角形的外角的性质可得：.
（2）因为的周长，再根据AP=BP，AB=AC可得的周长，代入数据计算即可．
20．【答案】解：(已知)，
(等边对等角)，
(已知)，
(等式性质)，
(等角对等边)，
在ABD与ACD中，
，(全等三角形的对应角相等)，
又，
(等腰三角形的三线合一).
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】利用等边对等角可证得∠DBC=∠DCB，同时可证得∠ABC=∠ACB，利用等角对等边可证得AB=AC；再利用SAS可证得△ABD≌△ACD，利用全等三角形的对应角相等可证得∠BAD=∠CAD，利用等腰三角形的性质可证得结论.
21．【答案】（1）解：
∴在Rt△ADB中，
（2）C，A，D三点共线∴∠BAD是△ABD的外角
∴∠BAD=∠C＋∠ABC
∵∠C=15°
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）在直角三角形中，根据含30度角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可.
（2）根据三角形外角的性质可得：，可得，因此∠C=∠ABC=15°，因此可得．
22．【答案】（1）证明：，
，．
平分，
．
．
．
是等腰三角形．
（2）解：是的中点，
．
，
．
由对顶角相等可知：．
在和中
≌．
．
，
．
．
的周长．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，利用角平分线的概念可推出∠B=∠C，利用等角对等边可得到AB=AC，据此可证得结论.
（2）利用线段中点的定义可证得AF=CF，利用平行线的性质可推出∠C=∠CAE；再利用ASA可证得△AFE≌△CFG，利用全等三角形的对应边相等可求出CG的长，从而可求出BG的长；然后求出△ABC的周长.
23．【答案】（1），
证明：理由如下：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2），
证明如下：，
，
直线，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据DE=AD+AE，代入可证得结论.
（2）利用垂直的概念和余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据AE=AD+DE，代入可证得结论.
24．【答案】（1）解：如图即为所求：
∴AH为所画的“二分线”.
（2）解：如图即为所求：
∴DE，EC为所画的“三分线”.
（3）解：的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作三角形
1 / 1浙江省宁波市海曙区储能学校丽园校区2024-2025学年八年级上学期数学开学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八上·海曙开学考）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.
2．（2024八上·海曙开学考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，7 B．6，7，12 C．6，7，14 D．3，3，8
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A．∵，∴ 3，4，7 不能构成三角形，故A不符合题意
B．∵，∴ 6，7，12 能构成三角形，故B符合题意
C．∵，∴ 6，7，14 不能构成三角形，故C不符合题意
D．∵，∴ 3，3，8 不能构成三角形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边依次进行判定，而ACD不满足三角形三边的关系，因此不能够成三角形，而B满足三角形三边的关系，因此能够成三角形.
3．（2024八上·海曙开学考）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同旁内角相等，两直线平行
C．全等三角形的对应边相等 D．如果，那么
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；绝对值的概念与意义；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、假命题，故A不符合题意
B、假命题，故B不符合题意
C、真命题，故C符合题意
D、假命题，故D不符合题
故选：C．
【分析】A、 相等的角不一定是对顶角
B、 同旁内角互补，两直线平行
C、根据全等三角形的性质可得： 全等三角形的对应边相等
D、 如果，那么且 ．
4．（2024八上·海曙开学考）如图，已知≌，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵≌，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠D=180°-（∠DAC+∠ACD）=180°-（30°+60°）=90°。
故答案为：D.
【分析】首先根据全等三角形的性质得出∠DAC=∠BAC=30°，然后根据三角形内角和定理，即可得出答案。
5．（2024八上·海曙开学考）如图，是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过P点作于E点，
∵是的角平分线，P为上任意一点，，，
，
，
，
∴点P到射线的距离是3，
故选：C．
【分析】过P点作于E点，由角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PE=PD=3．
6．（2024八上·海曙开学考）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意可得：
这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性
故答案为：C
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
7．（2024八上·海曙开学考）不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】不等式x>1 在数轴上表示如下：
故答案为：B。
【分析】-1是空心点，指向右，据此判定。
8．（2024八上·海曙开学考）如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，，AC=AC
∴
∴
∴是角平分线
故选：A．
【分析】先证明（SSS），可得即可求解．
9．（2024八上·海曙开学考）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点若，则的度数是用含的代数式表示
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ 将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
∴∠B=∠FDC，CD=BC，
∴∠B=∠CDB=∠FDC=（180°-∠BCD）=（180°-α）=90°-α，
∴∠DCF=∠ACB-∠BCD=80°-α，
∵∠EFC=∠FDC+∠DCF=90°-α+80°-α= .
故答案为：C.
【分析】利用旋转的性质可证得∠B=∠FDC，CD=BC，利用等角对等边和三角形内角和定理可表示出∠FDC的度数，根据∠DCF=∠ACB-∠BCD，可表示出∠DCF的度数，然后利用三角形外角的性质可表示出∠EFC的度数.
10．（2024八上·海曙开学考）已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（ ）
A．12个 B．10个 C．8个 D．6个
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的最短边为a，最长边为b
∴三角形的三边长分别为a，6，b
∴06
∵三角形的三边长均为整数
∴a可以是1、2、3、4、5
当a=1时，b<1+6 即：b<7，不符合题意
当a=2时，b，即b，∴b=7
当a=3时，b，即b，∴b=7或8，
当a=4时，b，即b，∴b=7或8或9，
当a=5时，b，即b，∴b=7或8或9或10
满足条件的三角形共有．
故答案为：B．
【分析】设三角形的最短边为a，最长边为b，根据题意得出：06，因为三角形的三边长均为整数，因此可以得出a可以是1、2、3、4、5，然后根据分类讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出最长边，从而得解．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024八上·海曙开学考）用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x小时，所列不等式为 ．
【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：由题意得．
故答案为：.
【分析】根据不等量关系： 体育运动时间1，列出不等式即可.
12．（2024八上·海曙开学考）写出命题“直角三角形只有两个锐角”的逆命题 ．
【答案】只有两个锐角的三角形是直角三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：逆命题：只有两个锐角的三角形是直角三角形
故答案为：只有两个锐角的三角形是直角三角形．
【分析】原命题：若p则q逆命题：若q则p，即：把原命题的题设和结论互换位置，则得到这个命题的逆命题，根据逆命题的定义进行作答即可.．
13．（2024八上·海曙开学考）在中，，，则的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=30°，∠B=4∠C，
∴30°+4∠C+∠C=180°，
解之：∠C=30°.
故答案为：30°.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠A+∠B+∠C=180°，将∠A=30°，∠B=4∠C代入，可得到关于∠C的方程，解方程求出∠C的度数.
14．（2024八上·海曙开学考）如图，若，B、E、C、F在同一直线上，，则的长是 cm．
【答案】3
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：3．
【分析】本题考查全等三角形的性质.根据，利用全等三角形的对应边相等，得到，再利用线段的运算可得：，代入数据可求出答案．
15．（2024八上·海曙开学考）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）．
【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
16．（2024八上·海曙开学考）如图，的度数为 ．
【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
∵ ∠A+∠B=∠1，∠1+∠C=∠2，∠2+∠D+∠E=180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
故答案为：180°.
【分析】根据外角的性质和三角形的内角和定理，即可求得.
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024八上·海曙开学考）解不等式，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：，
移项，得．
合并同类项，得．
两边都除以，得．
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先移项，再合并同类项，将x的系数化为1，可得到不等式的解集，然后将不等式的解集在数轴上表示出来即可.
18．（2024八上·海曙开学考）如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．
⑴在图甲中画一个以为边且面积为的直角三角形．
⑵在图乙中画一个以为腰的等腰三角形．
【答案】⑴如图甲中，即为所求．
⑵如图乙中，即为所求答案不唯一．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式，利用边AB，画出以为边且面积为3的直角三角形.
（2）根据等腰三角形是轴对称图形，以AC为腰，画等腰△ACE即可.
19．（2024八上·海曙开学考）如图，中，，的垂直平分线交于点．
（1）若，求的度数
（2）若，，求的周长
【答案】（1）解的垂直平分线交于点
∵∠BPC是△BPC的外角
（2）解：
∴的周长
∵AP=BP，AB=AC
∴的周长
，
的周长
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线性质可得，因此，再根据三角形的外角的性质可得：.
（2）因为的周长，再根据AP=BP，AB=AC可得的周长，代入数据计算即可．
20．（2024八上·海曙开学考）如图，在中，，，试说明的理由．
解：已知，
▲
已知，
等式性质，
在与中，
，
≌ ，
，
又，
【答案】解：(已知)，
(等边对等角)，
(已知)，
(等式性质)，
(等角对等边)，
在ABD与ACD中，
，(全等三角形的对应角相等)，
又，
(等腰三角形的三线合一).
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】利用等边对等角可证得∠DBC=∠DCB，同时可证得∠ABC=∠ACB，利用等角对等边可证得AB=AC；再利用SAS可证得△ABD≌△ACD，利用全等三角形的对应角相等可证得∠BAD=∠CAD，利用等腰三角形的性质可证得结论.
21．（2024八上·海曙开学考）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
【答案】（1）解：
∴在Rt△ADB中，
（2）C，A，D三点共线∴∠BAD是△ABD的外角
∴∠BAD=∠C＋∠ABC
∵∠C=15°
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）在直角三角形中，根据含30度角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可.
（2）根据三角形外角的性质可得：，可得，因此∠C=∠ABC=15°，因此可得．
22．（2024八上·海曙开学考）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，，求的周长．
【答案】（1）证明：，
，．
平分，
．
．
．
是等腰三角形．
（2）解：是的中点，
．
，
．
由对顶角相等可知：．
在和中
≌．
．
，
．
．
的周长．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，利用角平分线的概念可推出∠B=∠C，利用等角对等边可得到AB=AC，据此可证得结论.
（2）利用线段中点的定义可证得AF=CF，利用平行线的性质可推出∠C=∠CAE；再利用ASA可证得△AFE≌△CFG，利用全等三角形的对应边相等可求出CG的长，从而可求出BG的长；然后求出△ABC的周长.
23．（2024八上·海曙开学考）
（1）模型的发现：
如图，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点、问：、和的数量关系．
（2）模型的迁移：位置的改变
如图，在的条件下，若、两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明．
【答案】（1），
证明：理由如下：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2），
证明如下：，
，
直线，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据DE=AD+AE，代入可证得结论.
（2）利用垂直的概念和余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据AE=AD+DE，代入可证得结论.
24．（2024八上·海曙开学考）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（3）在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：如图即为所求：
∴AH为所画的“二分线”.
（2）解：如图即为所求：
∴DE，EC为所画的“三分线”.
（3）解：的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作三角形
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