浙江省宁波市宁海县2023年自主招生考试数学试题
1．（2023·宁海自主招生）将一次函数的图象通过下面的方法平移，平移后经过原点的是（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
2．（2023·宁海自主招生）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·宁海自主招生）已知任意实数满足等式，则x，y的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·宁海自主招生）如果一个三角形的三边a、b、c，满足，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（2023·宁海自主招生）因式分解，其中m、p、q都是整数，则这样的的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
6．（2023·宁海自主招生）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），记大正方形和小正方形的面积分别为和，若，则直角三角形的勾（较短的直角边）与股（较长的直角边）的比值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·宁海自主招生）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为-2，点B、C对应的数为-1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
8．（2023·宁海自主招生）函数的图象如图所示，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·宁海自主招生）如图，圆的半径是5，点是圈周上一定点，点在圆上运动，且，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·宁海自主招生）已知，若，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·宁海自主招生） .
12．（2023·宁海自主招生）在的展开式中，的系数为 .
13．（2023·宁海自主招生），求代数式的值 .
14．（2023·宁海自主招生）某数学兴趣小组把两个0、一个1、一个2与一个3组成一个五位数（如20103），若其中两个0不相领，则这个五位数的个数为 个.
15．（2023·宁海自主招生）我国古代数学名著《九毫算术》的论割圆术中有："割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣"。它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式中"..."即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则 .
16．（2023·宁海自主招生）已知的和的个位数为3，十位数为0，则n的聚小值是 .
17．（2023·宁海自主招生）电视剧《天才基本法》中出现基于巴什博奕的取子游戏，请你也来玩一玩这样的游戏：如果现在桌上放着2025个棋子，甲、乙两人轮流从中取走棋子，每次可取走1个或2个棋子，甲先取，谁先取到最后一个棋子谁获胜。问谁有获胜策略？他应该怎样操作？
18．（2023·宁海自主招生）折纸是我国民间的一种传统手工艺术。现有一张长10cm、宽8cm的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S1，S2，若S1：S2=1：3，求折痕长的最大值.
19．（2023·宁海自主招生）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为.
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为，过点P作轴，垂足为M.PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A.y=2(x+2)-1=2x+3，当x=0，y=3，故A错误；
B.y=2(x-2)-1=2x-5，当x=0，y=-5，故B错误；
C.y=2x-1+1=2x，当x=0，y=0，故C正确；
D.y=2x-1-1=2x-2，当=0，y=-2，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据平移规律，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，取网格点D，连接，
由网格图，可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，求一个角的正切值.取网格点D，连接，根据网格构造直角三角形，利用勾股定理可求，AB.通过计算可得：，据此可得是直角三角形，再根据三角函数的意义可求出的值．
3．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：x-y=(a2-4ab+4b2)-(2a-4b-2)
=(a-2b)2-2(a-2b)+2
令a-2b=A，则x-y=A2-2A＋2＝(A-1)2＋1
∵(A-1)2>0，
∴x-y=(A-1)2+1>0，
∴x>y
故答案为：B.
【分析】主要检测整式的加减，涉及完全平方公式等知识，解题关键是将a-2b看作一个整体，将x-y结果进行配方，根据平方的非负性进行解答.
4．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵ab+bc=b2+ac，
∴ab+bc-b2-ac=0，
∴(b-c)(a-b)=0，
∴b-c=0或a-b=0，
∴这个三角形一定是等腰三角形
故答案为：B.
【分析】把原式变形因式分解得出(b-c)(a-b)=0，得出b-c=0或a-b=0，即可得出结论.
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq=x2+mx-12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1x(-12)=(-1)x12=(-2)x6=2x(-6)=(-3)x4=3x(-4)=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1
∴m的最大值为11.
故答案为：C.
【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.
6．【答案】A
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由图可知，S1=c2，S2=(b-a)2
因为，所以有，即c2=5(b-a)2
又c2=a2+b2，所以a2+b2=5(b-a)2
整理可得2b2-5ab+2a2=0，所以有b=2a或(舍去)
则直角三角形的勾(较短的直角边)与股(较长的直角边)的比值为
故答案为：A.
【分析】由已知可得出c2=5(b-a)2，进而根据a，b，c关系得出2b2-5ab+2a2=0，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：翻转1次后，点C所对应的数为0：
翻转2 次后，点 C所对应的数为0；
翻转3 次后，点 C所对应的数为1；
翻转4 次后，点 C所对应的数为3；
翻转5次后，点C所对应的数为4；
翻转6次后，点C所对应的数为4：
翻转7次后，点 C所对应的数为5；
翻转8次后，点C所对应的数为7：
翻转9次后，点C所对应的数为8；
……
翻转4n-3 次后，点C所对应的数为4(n-1)：
翻转4n-2次后，点C所对应的数为4(n-1)；
翻转4n-1次后，点C所对应的数为4n-3；
翻转4n次后，点C所对应的数为4n-1；
∵2022÷4=505余2
∴令2022=4n-2，
∴n=506，
∴4(n-1)=4x505=2020
∴翻转 2022 次后，点 C所对应的数为 2020.
故答案为：A.
【分析】通过前面几次的分析、归纳，发现每4次一个循环，点C所对应的数有规律地变化；翻转4n-3(n为正整数)次后，点C所对应的数为4(n-1)；翻转4n-2次后，点C所对应的数为4(n-1)；翻转4n-1次后，点C所对应的数为4n-3；翻转4n次后，点C所对应的数为4n-1；于是令2022=4n-2即可得解.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： 抛物线的开口向下，则a<0；①
抛物线的对称轴为x>0，则>0，b>0；.②
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；③
bc<0，故A错误；
由图知，抛物线的对称轴为x=<1，
∴1＋＞0，
∴＞0
∵a＜0，
∴，故B错误；
∵a2-b2=(a+b)(a-b)，
∴a2-b2<0，故C错误；
∵(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c)，
∴(a+b)2-c2>0
故答案为：D.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴以及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，设 BM交圆O 于 T，连接 OT，OA，过点O作 OH⊥AT于H，连接 CH.
∵∠B=30°，
∴∠TOA=60°，
∵OT=OA，
∴△OTA 是等边三角形，
∴OT=OA=AT=5，
'∵OH⊥AT，
∴TH=AH＝，0H=，
∵AC⊥BM，
∴∠ACT=90°，
∴CH=
∵OC≥OH-CH=，
∴OC的最小值为.
故答案为：D.
【分析】如图，设 BM交圆O于T，连接 OT，OA，过点O作 OH⊥AT于H，连接 CH，解直角三角形求出 CH，OH，根据 OC≥OH-CH 求解即可.
10．【答案】D
【知识点】不等式组和一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由a2+b2+c2=1，
可得：b2+c2=1-a2，
即(b+c)2-2bc =1- α2.
由(a-1)(b-1)(c-1)= abc，
得(a-1)(bc-b-c+ 1)= abc，
化为：a+b+c=ab+ac+bc+1，
∴bc=(1-a)(b+c-1)，
代入(b+c)2-2(1-a)(b+c-1)=1-a2，
即(b+c)2-2(1-a)(b+c)+2(1-a)-1+a2=0
即(b+c)2 +2(a-1)(b+c)+(a-1)2=0
∴(b+c+a- 1)2= 0，
∴a+b+c=1，
∴b+c=1-a，
∴b2+c2≥，
∴1-a2≥
化为：3a2-2a-1≤0，
解得.
∴a的最小值为，
同理可得c的最大值为1，
∵a+b+c=1，a+b+c=ab+ac+bc+1，
∴ab+ac+bc=0，
选项ABC正确，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得：(b+c)2-2bc=1-a2bc=(1-a)(b+c- 1)，代入可得：a+b+c=1，即可得到b+c=1-a，即可求出可得1-a2≥，可得a的范围，分别判断即可.
11．【答案】6
【知识点】两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：要进行分类讨论：
①当x＜2时，
＝4-x-x-2
＝2-2x
∵x＜-2 ∴-x＞2 ∴2-2x＞6
②当-2≤x≤4时，
＝4-x＋x＋2
＝6
③当x＞4时，
＝x-4＋x＋2
＝2x-2
∵x＞4 ∴2x＞8 ∴2x-2＞6
综上所述，最小值为6.
故答案为：6.
【分析】因为去绝对值号两者的临界点不同，所以要分类讨论，主要注意绝对值的正负。
12．【答案】-2
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：在(1+x)(1-x)3的展开式中，x的系数是(1-x)3展开式中的常数项与一次项系数的和.
因为(1- x)3=1- 3x+3x2-x3
所以所求的x的系数为1+(-3)=-2
故答案为：-2.
【分析】由题意可知展开式中，x的系数是(1-x)3展开式中的常数项与一次项系数的和.
13．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴x+y
＝()+()
=，
x-y
=()-()
=
∴原式=
＝
=
=.
故答案为：.
【分析】利用完全平方公式化简原式，再代入求值。
14．【答案】18
【知识点】排列组合
【解析】【解答】解：利用插空法，第一步排列一个 2，一个1，一个3，
共有=6种排法，
第二步最前面不能排0，
再把0插入其中3个空，
所以有=3种排法
所以共有=6x3=18 个五位数.
故答案为：18.
【分析】利用插空法排列组合，再计算即可得出答案。
15．【答案】2023
【知识点】二次根式的混合运算；“割圆术”
【解析】【解答】解：由已知代数式的求值方法：
先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，
可得要求的式子.
令m（m＞0），
则两边平方得，则，
即2023＋2022m＝m2，解得m＝2023，或m＝-1舍去，
故答案为：2023.
【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可.
16．【答案】37
【知识点】实数奥数问题综合
【解析】【解答】解：1+2+3+...+n(n>2)的和的个位数是3，十位数是0，
则3+4+...+n=(n+3)(n-2)÷2是100的倍数，
即(n+3)(n-2)是200的倍数，
因(n+3)-(n-2)=5，根据奇偶性的知识知：(n+3)，(n-2)一个奇数，一个偶数，偶数为8的倍数，奇数是5的倍数且n ≥ 14，
又个位为3，十位上是0，则(n+1)xn的末两位是06，易知末位是6的连续的两个自然数的成积的未位只能为2x3或者7或者8
经过计算可知n最小是37
故答案为：37.
【分析】要使这个数和的个位数为3.，十位数为0，则3+4+...+n的和是100的倍数，据此进行解答.
17．【答案】解：乙有获胜策略。当甲每次取走1个或2棋子后，乙取棋子数恰等于甲余下棋子数除以3的余数，即可获胜
【知识点】逻辑推理
【解析】【分析】因2025是3的倍数，当甲每次取走1个或2棋子后，余下棋子数必不是3的倍数，乙取棋子数恰等于甲余下棋子数除以3余数，这样下去最后剩下3个棋子必轮到甲取，当甲取走1个或2个后，余下2个或1个，乙可全部取走，从而乙获胜.
18．【答案】解：由题意得：长方形纸片的面积为10×8=80(cm2)，又S1：S2=1：3，
∴S1=20cm2，S2=60cm2 ，
①当折痕如下图所示时，
设AE=x，AF=y，则，
解得：，
∴EF2 ＝x2 ＋y2 ＝x2 ＋，
②当折痕如下图所示时，
设AE=x，DF=y，则，
解得：，
∵f(t)在(25，40)上单调递减，在(40，100)上单调递增，
又g(0)=25+64=89，＝64，g(0)＝25＋64＝89，
∴g(x)，
∴EF，
③当折痕如下图所示时，
设AF=x，BE=y，则，
解得：，
∴EF2 ＝ x-y2＋100＝2x-42＋100 ，
令h（x）＝（2x-4）2 ＋100（0≤x≤4），则h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，4）单调递增，
又h（0）＝16＋100＝116，h（2）＝100，
h（4）＝16＋100＝116，∴h（x），
∴EF；
综上所述，折痕长的取值范围为故答案为：.
【知识点】面积及等积变换
【解析】【分析】设折痕为AB，AB与长方形的边的交点为C，D，则AB将长方形分成两个四边形，面积分别为S1，S2，且S1：S2= 1：3，分三个情况讨论，分别求出取值范围，进而得出结论.
19．【答案】（1），直线l的解析式为：
（2）解：如图，设，则
∵点N是线段PM的三等分点，
∴或
∴或，
解得：或；
∵，
∴m=0或3，
当m=0时，，则；
当m=3时，，则；
（3）解：令x=0，则，
∴，
∴OE=1，
如图，满足题意的Q点在图中和的位置，此时，
作于H，于G，
∴，
∴，
∵
∴OA=2，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，，
∴点Q的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）令y=0，
∴，
解得：，
∴，
设直线l的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为：
【分析】（1）由求出y=0时x值，即得A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线l的函数表达式即可；
（2）设，则 ，由线段的三等分点可得 或 ，据此分别建立方程即可求出m值，继而得解；
（3）分两种情况：①当点Q在直线AD的上方，②当点Q在直线AD的下方，根据相似三角形的判定与性质及勾股定理分别求解即可.
1 / 1浙江省宁波市宁海县2023年自主招生考试数学试题
1．（2023·宁海自主招生）将一次函数的图象通过下面的方法平移，平移后经过原点的是（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A.y=2(x+2)-1=2x+3，当x=0，y=3，故A错误；
B.y=2(x-2)-1=2x-5，当x=0，y=-5，故B错误；
C.y=2x-1+1=2x，当x=0，y=0，故C正确；
D.y=2x-1-1=2x-2，当=0，y=-2，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据平移规律，可得答案.
2．（2023·宁海自主招生）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，取网格点D，连接，
由网格图，可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，求一个角的正切值.取网格点D，连接，根据网格构造直角三角形，利用勾股定理可求，AB.通过计算可得：，据此可得是直角三角形，再根据三角函数的意义可求出的值．
3．（2023·宁海自主招生）已知任意实数满足等式，则x，y的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：x-y=(a2-4ab+4b2)-(2a-4b-2)
=(a-2b)2-2(a-2b)+2
令a-2b=A，则x-y=A2-2A＋2＝(A-1)2＋1
∵(A-1)2>0，
∴x-y=(A-1)2+1>0，
∴x>y
故答案为：B.
【分析】主要检测整式的加减，涉及完全平方公式等知识，解题关键是将a-2b看作一个整体，将x-y结果进行配方，根据平方的非负性进行解答.
4．（2023·宁海自主招生）如果一个三角形的三边a、b、c，满足，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵ab+bc=b2+ac，
∴ab+bc-b2-ac=0，
∴(b-c)(a-b)=0，
∴b-c=0或a-b=0，
∴这个三角形一定是等腰三角形
故答案为：B.
【分析】把原式变形因式分解得出(b-c)(a-b)=0，得出b-c=0或a-b=0，即可得出结论.
5．（2023·宁海自主招生）因式分解，其中m、p、q都是整数，则这样的的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq=x2+mx-12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1x(-12)=(-1)x12=(-2)x6=2x(-6)=(-3)x4=3x(-4)=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1
∴m的最大值为11.
故答案为：C.
【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.
6．（2023·宁海自主招生）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），记大正方形和小正方形的面积分别为和，若，则直角三角形的勾（较短的直角边）与股（较长的直角边）的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由图可知，S1=c2，S2=(b-a)2
因为，所以有，即c2=5(b-a)2
又c2=a2+b2，所以a2+b2=5(b-a)2
整理可得2b2-5ab+2a2=0，所以有b=2a或(舍去)
则直角三角形的勾(较短的直角边)与股(较长的直角边)的比值为
故答案为：A.
【分析】由已知可得出c2=5(b-a)2，进而根据a，b，c关系得出2b2-5ab+2a2=0，即可得出答案.
7．（2023·宁海自主招生）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为-2，点B、C对应的数为-1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】A
【知识点】数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：翻转1次后，点C所对应的数为0：
翻转2 次后，点 C所对应的数为0；
翻转3 次后，点 C所对应的数为1；
翻转4 次后，点 C所对应的数为3；
翻转5次后，点C所对应的数为4；
翻转6次后，点C所对应的数为4：
翻转7次后，点 C所对应的数为5；
翻转8次后，点C所对应的数为7：
翻转9次后，点C所对应的数为8；
……
翻转4n-3 次后，点C所对应的数为4(n-1)：
翻转4n-2次后，点C所对应的数为4(n-1)；
翻转4n-1次后，点C所对应的数为4n-3；
翻转4n次后，点C所对应的数为4n-1；
∵2022÷4=505余2
∴令2022=4n-2，
∴n=506，
∴4(n-1)=4x505=2020
∴翻转 2022 次后，点 C所对应的数为 2020.
故答案为：A.
【分析】通过前面几次的分析、归纳，发现每4次一个循环，点C所对应的数有规律地变化；翻转4n-3(n为正整数)次后，点C所对应的数为4(n-1)；翻转4n-2次后，点C所对应的数为4(n-1)；翻转4n-1次后，点C所对应的数为4n-3；翻转4n次后，点C所对应的数为4n-1；于是令2022=4n-2即可得解.
8．（2023·宁海自主招生）函数的图象如图所示，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： 抛物线的开口向下，则a<0；①
抛物线的对称轴为x>0，则>0，b>0；.②
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；③
bc<0，故A错误；
由图知，抛物线的对称轴为x=<1，
∴1＋＞0，
∴＞0
∵a＜0，
∴，故B错误；
∵a2-b2=(a+b)(a-b)，
∴a2-b2<0，故C错误；
∵(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c)，
∴(a+b)2-c2>0
故答案为：D.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴以及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
9．（2023·宁海自主招生）如图，圆的半径是5，点是圈周上一定点，点在圆上运动，且，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，设 BM交圆O 于 T，连接 OT，OA，过点O作 OH⊥AT于H，连接 CH.
∵∠B=30°，
∴∠TOA=60°，
∵OT=OA，
∴△OTA 是等边三角形，
∴OT=OA=AT=5，
'∵OH⊥AT，
∴TH=AH＝，0H=，
∵AC⊥BM，
∴∠ACT=90°，
∴CH=
∵OC≥OH-CH=，
∴OC的最小值为.
故答案为：D.
【分析】如图，设 BM交圆O于T，连接 OT，OA，过点O作 OH⊥AT于H，连接 CH，解直角三角形求出 CH，OH，根据 OC≥OH-CH 求解即可.
10．（2023·宁海自主招生）已知，若，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式组和一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由a2+b2+c2=1，
可得：b2+c2=1-a2，
即(b+c)2-2bc =1- α2.
由(a-1)(b-1)(c-1)= abc，
得(a-1)(bc-b-c+ 1)= abc，
化为：a+b+c=ab+ac+bc+1，
∴bc=(1-a)(b+c-1)，
代入(b+c)2-2(1-a)(b+c-1)=1-a2，
即(b+c)2-2(1-a)(b+c)+2(1-a)-1+a2=0
即(b+c)2 +2(a-1)(b+c)+(a-1)2=0
∴(b+c+a- 1)2= 0，
∴a+b+c=1，
∴b+c=1-a，
∴b2+c2≥，
∴1-a2≥
化为：3a2-2a-1≤0，
解得.
∴a的最小值为，
同理可得c的最大值为1，
∵a+b+c=1，a+b+c=ab+ac+bc+1，
∴ab+ac+bc=0，
选项ABC正确，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得：(b+c)2-2bc=1-a2bc=(1-a)(b+c- 1)，代入可得：a+b+c=1，即可得到b+c=1-a，即可求出可得1-a2≥，可得a的范围，分别判断即可.
11．（2023·宁海自主招生） .
【答案】6
【知识点】两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：要进行分类讨论：
①当x＜2时，
＝4-x-x-2
＝2-2x
∵x＜-2 ∴-x＞2 ∴2-2x＞6
②当-2≤x≤4时，
＝4-x＋x＋2
＝6
③当x＞4时，
＝x-4＋x＋2
＝2x-2
∵x＞4 ∴2x＞8 ∴2x-2＞6
综上所述，最小值为6.
故答案为：6.
【分析】因为去绝对值号两者的临界点不同，所以要分类讨论，主要注意绝对值的正负。
12．（2023·宁海自主招生）在的展开式中，的系数为 .
【答案】-2
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：在(1+x)(1-x)3的展开式中，x的系数是(1-x)3展开式中的常数项与一次项系数的和.
因为(1- x)3=1- 3x+3x2-x3
所以所求的x的系数为1+(-3)=-2
故答案为：-2.
【分析】由题意可知展开式中，x的系数是(1-x)3展开式中的常数项与一次项系数的和.
13．（2023·宁海自主招生），求代数式的值 .
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴x+y
＝()+()
=，
x-y
=()-()
=
∴原式=
＝
=
=.
故答案为：.
【分析】利用完全平方公式化简原式，再代入求值。
14．（2023·宁海自主招生）某数学兴趣小组把两个0、一个1、一个2与一个3组成一个五位数（如20103），若其中两个0不相领，则这个五位数的个数为 个.
【答案】18
【知识点】排列组合
【解析】【解答】解：利用插空法，第一步排列一个 2，一个1，一个3，
共有=6种排法，
第二步最前面不能排0，
再把0插入其中3个空，
所以有=3种排法
所以共有=6x3=18 个五位数.
故答案为：18.
【分析】利用插空法排列组合，再计算即可得出答案。
15．（2023·宁海自主招生）我国古代数学名著《九毫算术》的论割圆术中有："割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣"。它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式中"..."即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则 .
【答案】2023
【知识点】二次根式的混合运算；“割圆术”
【解析】【解答】解：由已知代数式的求值方法：
先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，
可得要求的式子.
令m（m＞0），
则两边平方得，则，
即2023＋2022m＝m2，解得m＝2023，或m＝-1舍去，
故答案为：2023.
【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可.
16．（2023·宁海自主招生）已知的和的个位数为3，十位数为0，则n的聚小值是 .
【答案】37
【知识点】实数奥数问题综合
【解析】【解答】解：1+2+3+...+n(n>2)的和的个位数是3，十位数是0，
则3+4+...+n=(n+3)(n-2)÷2是100的倍数，
即(n+3)(n-2)是200的倍数，
因(n+3)-(n-2)=5，根据奇偶性的知识知：(n+3)，(n-2)一个奇数，一个偶数，偶数为8的倍数，奇数是5的倍数且n ≥ 14，
又个位为3，十位上是0，则(n+1)xn的末两位是06，易知末位是6的连续的两个自然数的成积的未位只能为2x3或者7或者8
经过计算可知n最小是37
故答案为：37.
【分析】要使这个数和的个位数为3.，十位数为0，则3+4+...+n的和是100的倍数，据此进行解答.
17．（2023·宁海自主招生）电视剧《天才基本法》中出现基于巴什博奕的取子游戏，请你也来玩一玩这样的游戏：如果现在桌上放着2025个棋子，甲、乙两人轮流从中取走棋子，每次可取走1个或2个棋子，甲先取，谁先取到最后一个棋子谁获胜。问谁有获胜策略？他应该怎样操作？
【答案】解：乙有获胜策略。当甲每次取走1个或2棋子后，乙取棋子数恰等于甲余下棋子数除以3的余数，即可获胜
【知识点】逻辑推理
【解析】【分析】因2025是3的倍数，当甲每次取走1个或2棋子后，余下棋子数必不是3的倍数，乙取棋子数恰等于甲余下棋子数除以3余数，这样下去最后剩下3个棋子必轮到甲取，当甲取走1个或2个后，余下2个或1个，乙可全部取走，从而乙获胜.
18．（2023·宁海自主招生）折纸是我国民间的一种传统手工艺术。现有一张长10cm、宽8cm的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S1，S2，若S1：S2=1：3，求折痕长的最大值.
【答案】解：由题意得：长方形纸片的面积为10×8=80(cm2)，又S1：S2=1：3，
∴S1=20cm2，S2=60cm2 ，
①当折痕如下图所示时，
设AE=x，AF=y，则，
解得：，
∴EF2 ＝x2 ＋y2 ＝x2 ＋，
②当折痕如下图所示时，
设AE=x，DF=y，则，
解得：，
∵f(t)在(25，40)上单调递减，在(40，100)上单调递增，
又g(0)=25+64=89，＝64，g(0)＝25＋64＝89，
∴g(x)，
∴EF，
③当折痕如下图所示时，
设AF=x，BE=y，则，
解得：，
∴EF2 ＝ x-y2＋100＝2x-42＋100 ，
令h（x）＝（2x-4）2 ＋100（0≤x≤4），则h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，4）单调递增，
又h（0）＝16＋100＝116，h（2）＝100，
h（4）＝16＋100＝116，∴h（x），
∴EF；
综上所述，折痕长的取值范围为故答案为：.
【知识点】面积及等积变换
【解析】【分析】设折痕为AB，AB与长方形的边的交点为C，D，则AB将长方形分成两个四边形，面积分别为S1，S2，且S1：S2= 1：3，分三个情况讨论，分别求出取值范围，进而得出结论.
19．（2023·宁海自主招生）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为.
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为，过点P作轴，垂足为M.PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标.
【答案】（1），直线l的解析式为：
（2）解：如图，设，则
∵点N是线段PM的三等分点，
∴或
∴或，
解得：或；
∵，
∴m=0或3，
当m=0时，，则；
当m=3时，，则；
（3）解：令x=0，则，
∴，
∴OE=1，
如图，满足题意的Q点在图中和的位置，此时，
作于H，于G，
∴，
∴，
∵
∴OA=2，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，，
∴点Q的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）令y=0，
∴，
解得：，
∴，
设直线l的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为：
【分析】（1）由求出y=0时x值，即得A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线l的函数表达式即可；
（2）设，则 ，由线段的三等分点可得 或 ，据此分别建立方程即可求出m值，继而得解；
（3）分两种情况：①当点Q在直线AD的上方，②当点Q在直线AD的下方，根据相似三角形的判定与性质及勾股定理分别求解即可.
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