第八章 立体几何初步 单元测试（含答案）

第八章 立体几何初步
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．以下说法正确的是（　　）
A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥
D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱
2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
4．已知m，n，l是三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
5．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（　　）
A．三棱锥的体积大小与点的位置有关
B．与平面相交
C．平面平面
D．
6．在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（　　）
A．对任意的，存在点，使得
B．当且仅当时，存在点，使得
C．当且仅当时，存在点，使得
D．当且仅当时，存在点，使得
7．在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（　　）
A．存在点，使得直线与直线相交
B．存在点，使得直线平面
C．直线与平面所成角的大小为
D．平面被正方体所截得的截面面积为
8．已知正方体的表面积与体积之比为6，若，，则四面体的体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．一定是异面直线
B．存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值当
D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值
10．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个Trulli的屋顶，得到圆锥SO（其中为顶点，为底面圆心），已知圆锥的侧面积和表面积分别为和，则下列说法正确的是（　　）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为
C．圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为
D．若是的中点，过点且与圆锥底面平行的平面将圆锥分成两部分，这两部分的体积分别为，则
11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G为C1D1的中点，K为A1D1中点，M为AB中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动， 则下列结论正确的有（　　）
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
C．PQ+QG的最小值为
D．过点GKM的平面截正方体所得多边形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知正三棱柱的侧面积与以的外接圆为底面的圆柱的侧面积相等，则正三棱柱与圆柱的体积的比值为　 　.
13．某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则顶点S到直线的距离为　 　米；正四棱锥的侧面积为　 　平方米．
14．已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．如图，AB是圆柱的一条母线，BC过底而圆心O，D是圆上一点．已知，
（1）求该圆柱的表面积；
（2）求的三边绕母线AB所在的直线旋转一周所围成的几何体的体积．
16．如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，，．
（1）若，求证：平面；
（2）求证：平面平面．
17．如图，已知平面四边形 中，D为 的中点， ， ，且 .将此平面四边形 沿 折起，且平面 平面 ，连接 、 、 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求点 与平面 的距离.
18．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.
（1）证明：平面.
（2）若，求三棱锥的体积.
19．已知正三棱柱 中， ， ，点 为 的中点，点 在线段 上．
（1）当 时，求证 ；
（2）是否存在点 ，使三棱锥 的体积恰为三棱柱 体积的 ，若存在，求 的长，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
2．A
3．B
4．C
5．C
6．C
7．C
8．C
9．A,D
10．A,C
11．A,C,D
12．
13．；
14．4
15．（1）解：由题意知AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心，且，可得圆柱的底面圆的半径为，
则圆柱的底面积为，
圆柱的侧面积为
所以圆柱的表面积为．
（2）解：由线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，体积记为
线段AD绕AB旋转一周所得的几何体为BD为底面半径，以AB为高的圆锥，体积记为
所以以绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为：，，
16．（1）证明：取的中点，连接、如图所示：
对角线与的交点为，
，．
，，
，，
为平行四边形，
．
平面，平面，
平面．
（2）证明：四边形为菱形，，
，是的中点，
．
又，
平面．
平面，
平面平面．
17．解：（Ⅰ）如图，
因为 ， ，直二面角 的平面角为 ，
则 平面 ， 平面 ，所以 .
又在平面四边形ABCD中，连接 ，则 ，过 作 ，由题意得， 为 中点， 为 中点，所以，
， ，又 ，
所以， ， ，所以， ，由以上数据易得 ，而 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ，∴ ，由（Ⅰ）知 ，所以 ， ， .
， ，
因为 ，所以 ，
即点 与平面 的距离为 .
18．（1）解：记.
因为四边形是菱形，所以.
因为平面平面，且，
所以平面.
因为平面，所以.
因为平面平面，且，
所以平面.
（2）解：因为，所以点到平面的距离是6.
因为四边形是边长为8的菱形，且，
所以，
则四棱锥的体积，
三棱锥的体积，
三棱锥的体积，
故三棱锥的体积
.
19．（1）证明：因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以三角形△ABC是正三角形，
又因为D是AC的中点，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面CAA1C1，所以BD⊥DE，
因为AE：EA1＝1：2，AB＝2， ，所以AE ，AD＝1，
所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
在Rt△DCC1中∠C1DC＝60°，
所以∠EDC1＝90°即：DE⊥BC1．
（2）解：设AE＝h，则A1E ，
∴ ，
∵BD⊥平面ACC1A1，
又 ，
∴
解得：h ，
故存在点E，E为A1时，即 ，三棱锥C1﹣BDE的体积恰为三棱柱ABC﹣A1B1C1体积的 。
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