黑龙江省大庆市萨尔图区靓湖学校2024-2025学年九年级（下）开学数学试卷(含详解)

黑龙江省大庆市萨尔图区靓湖学校2024-2025学年九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数中，互为相反数的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
2.以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，数轴上点，表示的数为，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.一个手提水果篮抽象的几何体从正面看和从上面看到的形状图如图所示，则这个水果篮抽象的几何体是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列各对数中，数值相等的数是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
6.已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.下列说法正确的是( )
A. 三个角分别相等的两个三角形是全等三角形
B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C. 对顶角相等
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
8.如图，将一张足够长的矩形纸条，以点所在直线为折痕，折叠纸条，使点落在边上的点处，折痕与边交于点；然后将纸条展平，再以点所在直线为折痕，使点落在边上的点处，折痕交边于点则的大小是( )
A. B. C. D.
9.已知，，为正整数下列说法：
始终大于；
若，则随的增大而减小；
若满足条件的整数有且只有个，则的值为．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
10.如图，等边三角形的边长为，、分别是、上的点，且，将沿直线折叠，点的落点记为，则四边形的面积与的面积之间的关系是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.中国空间站离地球的远地点距离约为，其中用科学记数法可表示为______．
12.函数中自变量的取值范围是______．
13.若圆锥的底面半径长，母线长，则该圆锥的侧面积为______结果保留
14.已知和是方程的两个根，则的值为______．
15.如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是______．
16.如图，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积时间变化的关系图象，则的值为______．
17.如图是我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为若，则用含的式子表示的值是______．
18.二次函数，有下列结论：
该函数图象过定点；
当时，函数图象与轴无交点；
函数图象的对称轴不可能在轴的右侧；
当时，点，是曲线上两点，若，，则．
其中，正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
某小型超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了元，第二批用了元，第二批购进水果的重量是第一批的倍，且进价比第一批每千克多元求第一批购进水果多少千克？
22.本小题分
北京时间年月日下午，某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：微重力环境下的太空“冰雪”实验，液桥演示实验，水油分离实验，太空抛物实验观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
共调查了______名学生，图中所对应的圆心角度数为______；
请补全条形统计图；
若从两名男生、两名女生中随机抽取人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
23.本小题分
如图，矩形中，对角线、交于点，点、分别在边和上，在线段上，连接、，交于点．
求证：；
若是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由．
24.本小题分
图是某款篮球架，图是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米．
求的度数______；
某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由参考数据：，，
25.本小题分
如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
______，______；
点在轴正半轴上，，求点的坐标；
点在轴上，为锐角，直接写出的取值范围．
26.本小题分
法国巴黎奥运会期间，吉祥物“弗里热”风靡全球某玩偶商店销售一批“弗里热”玩偶，每个进价元，因考虑到成本问题，销售的单价不能低于元，但物价部门规定获利不得高于在试营销期间发现，销售单价定为元时，每天可以销售个，单价每上涨元，每天销量减少个．
当销售单价定为多少元时，每天的销售利润可达到元？
当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
27.本小题分
如图，为的切线，为切点，过作的垂线，垂足为，交于点，连接、，并延长交于点，与的延长线交于点．
求证：是的切线；
若，且，求的长和的值．
28.本小题分
已知二次函数的图象经过点，点，点，是此二次函数的图象上的两个动点，设点的横坐标为．
求此二次函数的表达式；
如图，此二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接，，若点的横坐标为，求证的值为定值；
如图，点在第二象限，且点的横坐标为，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、与不互为相反数，故此选项不符合题意；
B、与互为相反数，故此选项符合题意；
C、与不互为相反数，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题可知，
且，
A、，故该项不正确，不符合题意；
B、，故该项正确，符合题意；
C、，故该项不正确，不符合题意；
D、，故该项不正确，不符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得：
从上面看即俯视图是一个圆形，
几何体是图形，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，，
，故A不符合题意；
B.，，
，故B不符合题意；
C.，，
，故C不符合题意；
D.，，
，故D符合题意．
故选：．
6.【答案】
【解析】正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
一次函数的图象经过一、二、三象限．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：、三个角分别相等的两个三角形不一定是全等三角形，故选项A不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故选项B不符合题意；
C、对顶角相等，故选项C符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；
故选：．
8.【答案】
【解析】解：四边形是长方形，
，，
由折叠得：，
，
，
由折叠得：，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
为正整数，
，且为整数，
，
，
，
故结论正确，符合题意；
若，
，
，
的图象随的增大而增大，
故结论不正确，不符合题意；
满足条件的整数有且只有个，
的整数有且只有个，
，
或，
解得或，
故结论不正确，不符合题意，
综上所述，其中正确的个数是个，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：，，
∽，相似比是：，面积的比是：
沿直线折叠，点的落点记为，
四边形的面积的面积，
设的面积是，则的面积是，四边形的面积是，
四边形的面积与的面积之间的关系是．
故选D．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
12.【答案】且
【解析】由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
13.【答案】
【解析】圆锥的侧面积
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
所以．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
设，，
，，
设反比例函数的表达式为，
，
解得或不合题意舍去，
，
，
这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：矩形中，，
当点在边上运动时，的值不变，
，即矩形的长是，
，
即．
当点在上运动时，逐渐减小，
，
在中，
，
，
解得．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：方法一：如图，过作交延长线于点，
，
，，
∽，
，
设，则，
，
，，
，
，
，，
；
方法二：如图，过作交延长线于点，则是等腰直角三角形，
易证≌，
，
根据角平分线比例定理得：，
设，则，
，，
，
，，
；
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：，
当时，，
该函数图象过定点，故正确，符合题意；
当时，，
令，则，
，
当时，函数图象与轴无交点，故正确，符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在右侧，故错误，不符合题意；
，
，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
，
抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大，
当时，，
当时，，
此时，，
，
，
，故正确，符合题意；
综上所述，正确的是，
故答案为：．
19.【答案】解：
．
20.【答案】解：
，
当时，原式．
21.【答案】解：设第一批购进水果千克，则第二批购进水果千克，
依据题意得：
，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：第一批购进水果千克．
22【解析】共调查的学生人数为：名，
图中所对应的圆心角度数为：，
故答案为：，；
的人数为：人，
的人数为：人，
补全条形统计图如下：
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有种，
抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
23.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
；
解：四边形是菱形，
理由：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
24.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
的度数为；
故答案为：；
该运动员能挂上篮网，理由如下：
延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
米，
米，
米米，
该运动员能挂上篮网．
25.【答案】解：把代入反比例函数中，得，
，
把代入正比例函数中，得，
故答案为：；；
过作轴于，过作轴于，
，
根据双曲线与正比例函数图象的对称性得，
设，则，，，，
，，
，
，
∽，
，即，
解得，，或舍，
；
或．
26.【答案】解：设当销售单价定为元时，每天的销售利润可达到元，
由题意可得：，
解得，，
物价部门规定获利不得高于．
售价不能高于元，
当销售单价定为元时，每天的销售利润可达到元；
设销售单价定为元，销售利润为元，
由题意可得：，
由知：，
当时，取得最大值，此时，
答：当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
27.【答案】证明：连接，则，
，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌
，，
为的切线，为切点，
，
，
即，
是的切线；
连接，
，且，
，
，
在中，
由勾股定理得：，
，，
在中，
，
，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，，
，，
，，
∽，
，
即，
解得：，
在中，
．
补充方法：可以证明∽，可得，由此解决问题，可以简单一些
28.【答案】解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
则，
即抛物线的表达式为：；
证明：令，则，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点、、的表达式分别为：、、，
则，
同理可得：，
则为定值；
解：点、的坐标分别为：、，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则，
故的最大值为：．
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