第七章复数章末检测卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册

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第七章复数章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数z满足，则的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．已知复数的实部为-1，虚部为2，则（ ）.
A．2 B．5 C． D．4
3．设为虚数单位，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．复数（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数的实部与虚部互为相反数，且，则满足条件的复数的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．无数个
6．已知为虚数单位，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，且，其中i是虚数单位，则（ ）
A．20 B．12 C． D．
8．复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
二、多选题
9．已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．若，且，则
10．已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在直线上，则
D．在复平面内对应的点可能在第三象限
11．已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ）
A．复数对应的点在第四项象限 B．
C． D．
三、填空题
12．设z为复数，若=1，则的最大值为 .
13．设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于 ．
14．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则 .
四、解答题
15．设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小．
(1)求向量对应的复数；
(2)设中点为Z，求．
16．已知i是虚数单位，复数．
(1)当复数z为虚数时，求m的取值范围；
(2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围．
17．已知复数满足.
(1)求复数和；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值.
18．已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）．
(1)求实数m的值；
(2)设复数，求；
(3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
19．已知复数（为虚数单位），其共轭复数为.
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若复数是实数，求实数的值；
(3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
《第七章复数章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A B C C D BCD AB
题号 11
答案 ABC
1．B
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最大值.
【详解】在复平面内，z与对应的点，关于x轴对称，
而满足条件的点的集合是以为圆心，2为半径的圆，该圆关于x轴对称，
因此，由复数的几何意义知表示点与点的距离，
又圆上的点到的距离最大值为5，
所以的最大值为5.
故选：B
2．C
【分析】根据复数的实部和虚部的定义，写出复数，再利用复数的模长公式计算.
【详解】由题意，，则.
故选：C.
3．B
【分析】利用复数相等求解即可.
【详解】
又，根据复数的相等，
故则
故选：B.
4．A
【分析】根据复数的概念及除法运算即可求解.
【详解】.
故选：．
5．B
【分析】由复数z的实部与虚部互为相反数可设，利用复数的乘法运算化简即可求得a的值，则答案可求.
【详解】由复数z的实部与虚部互为相反数，
可设，则，
，
解得，
所以或，
故选：B.
6．C
【分析】根据复数相等即可求解.
【详解】由，化简得
所以.
故选：C
7．C
【分析】利用复数的乘法运算，再根据复数相等可列方程计算求得，进而利用复数的模长公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，解得，，
所以.
故选：C.
8．D
【分析】利用复数的三角形式，可得，可求的最大值，进而求得，计算可判断图形的形状.
【详解】，．，
，
当时，取得最大值，
即当，，即，时，取最大值，
此时，．
又，，
．
．
又，
，且，
该图形为等腰三角形．
故选：D．
9．BCD
【分析】对于B,C,D选项，，可以选设复数的代数形式或者三角形式，利用复数的运算法则和共轭复数的定义运算判断结果；对于A选项，可以考虑举反例说明其错误.
【详解】对于A项，当时，而故A项错误；
对于B项，设其中，
则，则；
而
，故B项正确；
对于C项，设其中，
，则，而，故C项正确；
对于D项，设其中，,依题，不全为零，
则由可得，化简得
，即
因不全为零，不妨设，则有，即,
故得，即，故D项正确.
故选：BCD.
10．AB
【分析】根据复数的分类，即可列出方程或不等式，进而判断A,B;根据复数的几何意义，即可列出方程或不等式，进而可以判断C,D.
【详解】对于A，若为纯虚数，则，解得，A正确；
对于B，若为实数，则，所以，此时，B正确；
对于C，在复平面内对应的点为，
所以，即，解得或，C错误；
对于D，若在复平面内对应的点在第三象限，则无解，
所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，D错误.
故选：AB.
11．ABC
【分析】根据复数的几何意义可判断A；将代入方程可求的值，即可判断B；利用根与系数的关系可求出方程的另一个根，即可判断C；根据两个虚数不能比较大小，可判断D.
【详解】复数，复数对应的点为，所以，复数对应的点在第四象限，故A正确；
已知，关于的方程的一个根是，
则，整理得，
所以，；解得：，所以，，故B正确；
由得方程，又知道一个根是，
所以，结合韦达定理，可得另一个根是，所以，，故C正确；
两个虚数不能比较大小，故D错误；
故选：ABC．
12．3
【分析】设，由模长公式得到.然后由模长公式得到的代数式，由函数的单调性可知，当取最大值时取得最大，由求出的最大值，从而得出结果.
【详解】设，则，即，
，∴，
∵在上单调递增，
∵，，
∴当时，取最大值3.
故答案为：3.
13．/
【分析】求得的共轭复数，再结合复数乘法运算，以及其结果是实数，即可列出方程，求得结果.
【详解】是实数，则，．
故答案为：.
14．1
【分析】根据欧拉公式结合诱导公式化简后可求出其模.
【详解】由题意得
，
所以.
故答案为：1
15．(1)
(2)
【分析】（1）先求出的表达式，根据为实数的条件求出的值，进而得到和，再根据向量与复数的对应关系求出向量对应的复数；
（2）利用中点坐标公式求出中点对应的复数，最后根据复数的模的计算公式求出
【详解】（1）．
可与任意实数比较大小，为实数，
，解得．，，
向量对应的复数为．
（2）的中点Z对应的复数为，．
16．(1)且
(2)
【分析】（1）由虚数的概念列方程求解即可；
（2）由复数的几何意义得，解不等式即可得解.
【详解】（1）因为复数虚数，所以
解得，且
（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，
解之得，得．
所以实数的取值范围为
17．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果；
（2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值.
【详解】（1）因为复数满足，
所以，
所以.
所以.
（2）因为复数是关于的方程的一个根，
由（1）知，所以
，
所以，
解得，.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用复数的乘法法则化简复数，根据该复数为纯虚数可求得的值；
（2）利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得的模；
（3）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数a的不等式组，即可解得实数a的取值范围．
【详解】（1）因为，则，
所以，又为纯虚数，
所以，解得；
（2），
所以；
（3）因为，
所以，
因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则，
解得，所以实数a的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由复数的乘法运算以及纯虚数的定义即可得出；
（2）结合共轭复数以及实数的定义即可得出；
（3）利用复数除法计算以及复数的几何意义解不等式即可求出结果.
【详解】（1）易知，
若复数为纯虚数，可得，
解得；
（2）由可得,
所以,
若复数是实数，可得，
解得；
（3）易知，
易知复数在复平面内所对应的点坐标为，
又复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得，
解得.
即实数的取值范围为.
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