第9章平面向量章末检测卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册

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第9章平面向量章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．若与是平行向量，则
C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合
D．若，则
2．在中，若点D满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知在中，，，若的最小值为3，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知在所在平面内，满足，且，则点依次是的（ ）
A．外心，重心，垂心 B．重心，外心，内心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，内心
7．已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题中的假命题是（ ）
A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线
C．若则 D．的充要条件是且∥
10．已知向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数的可能的取值有（ ）
A． B．1 C． D．2
11．如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（ ）
A． B．面积的最小值是
C． D．存在最小值
三、填空题
12．已知向量满足，，则的取值范围是
13．在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设，，用，表示 ．
14．北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．

四、解答题
15．已知向量，，．
(1)求的最小值；
(2)若与共线，求与的夹角．
16．已知平面向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
(3)若与的夹角是钝角，求的取值范围.
17．如图，、、分别是三边、、上的点，且满足，设，．

(1)用、表示；
(2)已知点是的重心，用、表示．
18．在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设.
(1)用表示；
(2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值.
19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.
(1)已知向量，求；
(2)（i）设向量的夹角为，证明：；
（ii）在中，为的中点，且，若，求.
《第9章平面向量章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B B A D A BCD BC
题号 11
答案 AC
1．C
【分析】由平面向量的基本概念判断即可.
【详解】对于A：若与都是单位向量，则，故A错误；
对于B：与是平行向量,故B错误；
对于D：向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，故D错误；
故选：C
2．B
【分析】利用平面向量减法运算得，整理即可求解．
【详解】，
，
，
故选：B．
3．D
【分析】先利用计算，再利用投影向量的公式计算即可.
【详解】，，则，
得，
则在方向上的投影向量为.
故选：D
4．B
【分析】设，结合图形由数量积的运算率和向量加法可得.
【详解】设，．
同理，
所以联立得，
所以．
故选：B
5．B
【分析】由，将问题转换成二次函数的最值问题，即可求解；
【详解】
令，
由题意的最小值为9，
当时，显然不符合；
所以，此时抛物线开口向上，对称轴为，
所以，
解得，
故选：B
6．A
【分析】利用向量的加法法则，可得是中线的三等分点；利用数量积的运算律可得即可.
【详解】因，则为的外心；
取中点，则，
即为中线上靠近点的三等分点，则为的重心；
因，则，
则，同理，，则为的垂心.
故选：A
7．D
【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值．
【详解】设，共起点，
由可得得，
如图终点在直径的圆上，
设中点为，，夹角为，
因此，的最小值为圆心到向量所在直线的距离2减去半径1，为1.
故选：D.

8．A
【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解.
【详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则
过作的垂线，垂足为，
正八边形中，边长为4，所以，
所以，所以，所以，
设，则，所以，
因为是正八边形内的动点（含边界），
所以的范围为，
所以，
故选：A.
9．BCD
【分析】由单位向量可得A正确；举反例可得B错误；举反例可得C错误；当两向量互为相反向量时可得D错误.
【详解】对于A，若为非零向量，表示方向相同的单位向量，所以与同向，故A正确；
对于B，若，则与不一定共线，故B错误；
对于C，若，则不一定共线；故C错误；
对于D ，当两向量互为相反向量时也满足且∥，但，故D错误；
故选：BCD
10．BC
【分析】根据向量平行的有关结论求参数的值.
【详解】因为A，B，C三点共线，，所以.
所以：，即.
所以或.
故选：BC
11．AC
【分析】根据向量减法运算可判断A；先设角表示向量的模，再利用向量数量积以及基本不等式判断C；先根据重心性质转化研究面积，再设角表示向量的模，结合二倍角正弦公式判断B；建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，再根据函数单调性判断D.
【详解】,
所以，选项A正确；
过点作，交直线于点，交直线于点，
因为点到、的距离分别为1、2，所以,
设，则因为，所以，
从而，
，
，
（当且仅当时取等号），因此选项C正确；
因为，所以为重心，因此，
，
当且仅当时取等号，即，因此选项B错误；
以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则可设，所以，
，
，
因为，所以
因为在上单调递减，所以不存在最小值，因此选项D错误；
故选：AC
12．[6,10]
【分析】根据向量模长不等式.以及向量共线的情况来确定的取值范围.
【详解】根据向量模长不等式，已知，，则，当且仅当与同向时，等号成立.
根据向量模长不等式，可得，当且仅当与反向时，等号成立.
综上，的取值范围是
故答案为：
13．
【分析】本题可利用、、共线以及、、共线，通过向量共线的性质设出关于、的表达式，再根据系数关系求解.
【详解】已知为的中点，则.
又因为，所以.
因为、、共线，
所以存在实数，使得，将，代入可得：
①.
因为、、共线，
同理，存在实数，使得，将，代入可得：
②.
由①②可得
解得，.
所以
故答案为：
14．3
【分析】根据正六边形的性质建立合适的平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再通过向量数量积的坐标运算公式进行计算，最后根据点的位置确定数量积的最大值.
【详解】因为正六边形的边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.

根据正六边形的性质可知：，，.
根据向量坐标运算，可得.
因为是正六边形内部一点（包含边界），设，那么.
所以.
由正六边形的性质可知，点在正六边形内部（包含边界），的最大值在点处取得，此时.代入，可得的最大值为.
故答案为：3.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算以及模长的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案；
（2）根据共线向量以及数量积与模长的坐标表示，利用向量夹角的计算公式，可得答案.
【详解】（1）由，，可得，
则，
故当时，取得最小值，即时，取得最小值．
（2），，
由与共线可得，解得，
则，，，，
设与的夹角为，所以，
因为，所以．
16．(1)或3：
(2)1或
(3)
【分析】（1）利用即可；
（2）利用得出值，再利用求模公式；
（3）利用且不共线即可.
【详解】（1）若，则.
整理得，解得或.
故的值为或3.
（2）若，则有，即，解得或
当时，，则，得；
当时，，则，得.
综上，的值为1或.
（3）因与的夹角是钝角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，的取值范围为.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）由条件结合向量线性运算公式利用、表示，再结合关系求结论；
（2）利用、表示，连接，其中点为线段的中点，点为线段的中点，结合重心定义及性质表示，再表示，再根据求结论.
【详解】（1）因为，，，
所以，，
所以，
（2）由已知，
连接，其中点为线段的中点，点为线段的中点，
由已知，与的交点为重心，
由重心性质可得，故
所以，
又，
所以.

18．(1)
(2)5
【分析】（1）设，利用，，三点共线和，，三点共线可以得出的两个方程，然后解出即可
（2）利用，共线即可推出
【详解】（1）设，则，
∵，，三点共线，
∴，共线，从而.①
又，，三点共线. ∴，共线，
因为，共线，
所以可得.②
联立①②，解得，
故.
（2）∵，
，且，共线，
∴，整理得.
19．(1)
(2)(i)证明见解析，（ii)
【分析】（1）由新定义代入即可求解；
（2）（i）根据向量的坐标运算可得，进而可证，（ii）根据中线结合数量积可得，且可知点为的中点，进而求，再由（i）即可得结果.
【详解】（1）由，，
可得：
（2）（i）因为
，
且，，则，
所以.
（ii）因为D为中点，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的中点，则，
可得，
即
则，
，
，
可得，
所以.
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