广东省深圳市深圳外国语学校2024-2025学年九年级下学期数学开学考试（学情评估）试题
1．（2025九下·深圳开学考）-2025的绝对值是（ ）
A．2025 B． C． D．-2025
2．（2025九下·深圳开学考）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·深圳开学考）2025年大学生毕业人数预计达到1222万，数据1222万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九下·深圳开学考）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点的坐标为，点是第三象限内弧上一点，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
5．（2025九下·深圳开学考）一辆汽车从 地驶往 地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为 ，在高速公路上行驶的速度为 ，汽车从 地到 地一共行驶了 .设普通公路长、高速公路长分别为 ，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025九下·深圳开学考）密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
7．（2025九下·深圳开学考）某商场规定凡是购物满88元以上都可获得一次转动转盘的机会.如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九下·深圳开学考）如图，在等边中，，点在边AC上，，则CD长为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2025九下·深圳开学考）因式分解： = .
10．（2025九下·深圳开学考）在函数中，常数，这个函数的图象不经过第 象限.
11．（2025九下·深圳开学考）如图，，原点是它们的位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则 .
12．（2025九下·深圳开学考）已知点A、B分别在反比例函数的图象上，且，则 .
13．（2025九下·深圳开学考）如图，正方形ABCD的边长为2，点在边AB上运动，连接CE，点在线段CE上，且，连接DF.在从向运动的过程中，线段DF扫过的面积为 .
14．（2025九下·深圳开学考）
（1）计算：．
（2）阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题．
计算：
原式（第一步），
（第二步），
（第三步）．
①上述计算过程是从第 ▲ 步开始出现错误，错误的原因是 ▲ ；
②请写出此题正确的计算过程．
15．（2025九下·深圳开学考）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性.已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）.
（1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是 事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
（2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率.
16．（2025九下·深圳开学考）如图，AB是的直径，DC切于点交AD于点，连接AC、BD.
（1）①；②；③；
请从以上三个条件中选择一个： ▲ ，证明AC是的切线；
（2）若AC是的切线，，求BD的长.
17．（2025九下·深圳开学考）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考.
女性理想体重 男性理想体重
算法一 身高身高 身高身高
算法二 身高-70 身高-80
算法三 身高-158 身高-170
（1）甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同；你认为正确吗？请说明理由.
（2）无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表（二）的其中一种类别.
实际体重 类别
大于理想体重的 肥胖
介于理想体重的 过重
介于理想体重的 正常
介于理想体重的 过轻
小于理想体重的 消瘦
①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围 ▲ 。
②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？
18．（2025九下·深圳开学考）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长12cm，底边上的高为12cm.圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为2cm的矩形纸条.
（1）直接写出剪下的第一张矩形纸片长为 cm；
（2）从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由.
（3）圆圆沿底边依次从下往上载剪出宽度均为，且为整数的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出的一个可能的取值， .
19．（2025九下·深圳开学考）如图1，我校“世界广场”内有一圆形喷泉水池，水池正中央有一凸起的圆柱，圆柱上底面刻有世界地图，俯看喷泉水池呈圆环形.水池内圆柱周围均匀安装有12个喷头（用、来表示），喷头口与水面持平，每个喷头喷出的水柱为形状相同的拋物线.每天清晨开放喷泉，给校园增添了许多活力.如图2，实测水池（外圆）的半径米，圆柱底面半径米，圆柱露出水面的高度米，每个喷头口到圆柱的距离均为2米，如米.以为坐标原点，TM所在直线为轴，TB所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
（1）当由喷头喷出的水柱经过高度为2米且离点的水平距离为1米的位置时，水柱刚好落在圆柱的边缘点处，求此时拋物线的表达式.
（2）由与喷头相对的喷出的水柱形成的抛物线可以看成是问题（1）中的抛物线关于轴对称后向右平移8个单位得到，直接写出由喷出的水柱形成的拋物线的表达式 .
（3）为形成百川归海的场面，物业师傅调整每个喷头的出水压力和水量，使每一个喷泉水柱达到相同高度后能汇聚一点，测得此时由喷头喷出的水柱最高为1米时与的水平距离为4米，直接写出汇聚点的坐标 .
（4）如图3，在（1）的条件下，为烘托气氛，物业师傅在对应喷头口的水池外的地面上均匀安装12个彩色射灯，射灯与喷头相对应（如：在喷头所在直线上的点P、G处分别安装与喷头等距离的射灯）.为呈现更好的光影效果，要求射灯所在直线与水平面成夹角，即，且水柱上的点到相应射灯所在直线的最小距离为5厘米（不计射灯高度，水柱上的点视为抛物线上的点），求与喷头对应的射灯离水池边缘的距离PS.
20．（2025九下·深圳开学考）
（1）【链接教材】
如图1，E、F是直线上方两点，若点在直线上，满足，则点是线段EF的 （填特殊直线）与直线的交点；
（2）【问题延伸】
①如图2，点是矩形ABCD对角线的交点，.要分别在AB、CD边上确定点、，满足，且点在线段PQ上.经过思考，小文发现可以利用矩形的中心对称性，将点或关于点对称，再作该对称点和另一点所组成的线段的中垂线.请你根据她的思路在图2中尺规作图确定P、Q的位置（不写作法，保留作图痕迹）.
②如图3，点O是矩形ABCD对角线的交点，.经过深入探究，聪明的小文发现进一步利用矩形的中心对称性，在问题①思路的基础上再添加一条过点的线段，就能找到符合题意的、（、分别在AB、CD边上，满足，且点在线段PQ上）.请在图3中用直尺简单构图（不要求圆规作图），并证明.
（3）【举一反三】
如图4，在平面直角坐标系xOy中，原点是菱形ABCD对角线的交点，，其中，.若、分别在AB、CD边上，满足，且点在线段PQ上，直接写出的取值范围 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解： -2025的绝对值是 2025
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的定义可得答案。
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看所得到图形可得答案A
故答案为：A.
【分析】根据主视图是从正面看所得到图形进行逐项判断。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1222万用科学记数法表示为
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的一般式：
4．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 点的坐标为
OA=5
AB是直径
A、B、M、O四点共圆
AO=2OA=10
的半径为 5
故答案为：B.
【分析】由题意可知OA=5，由可得AB是直径，根据A、B、M、O四点共圆可得，则，AO=2OA=10， 的半径为 5。
5．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，依题意，得：
故答案为：C.
【分析】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，由普通公路占总路程的 ，结合汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，反比函数的解析式为：
A、 当液体密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意；
B、 当液体密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意；
C、 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 ，正确，符合题意；
D、 当液体的密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据图像和反比例函数性质可得反比函数的解析式为：，逐项分析判断可得答案。
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 指针落入优胜奖区域的频率稳定在0.2左右
指针落入优胜奖区域的概率0.2
转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为
故答案为：B.
【分析】根据指针落入优胜奖区域的频率稳定在0.2左右，估计指针落入优胜奖区域的概率0.2，则 转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为。
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点D作DEAB，垂足为E
是等边三角形
AB=BC=，
在Rt中，
设DE=x，BE=5x
在Rt中，AE=，AD=
AE+BE=
x+5x=
解得 x=
AD=2x=
CD=AC-AD=
故答案为：B.
【分析】过点D作DEAB，垂足为E.根据等边三角形的性质可得AB=BC=，，在Rt中，，设DE=x，BE=5x，在Rt中，根据三角函数定义可得AE=，AD=，根据AE+BE=可得x+5x=，解得 x=则AD=2x=，CD=AC-AD=。
9．【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
10．【答案】二
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 函数中，常数，
函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限
故答案为：二.
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可。
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AE轴于点E，过点C作CF轴于点F，
点的坐标为，点的坐标为
AE=1，CF=2
故答案为：.
【分析】过点A作AE轴于点E，过点C作CF轴于点F，由题意可得AE=1，CF=2，，则，根据，可得。
12．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AMy轴于点M，过点B作BNy轴于点N
点A、B分别在反比例函数的图象上
故答案为：2.
【分析】过点A作AMy轴于点M，过点B作BNy轴于点N，证明，根据法币函数系数k的几何意义可得，则 。
13．【答案】
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，
点的运动轨迹为以点为圆心的劣弧.
设所求阴影部分面积为，
则
故答案为：.
【分析】由题意可得，点的运动轨迹为以点为圆心的劣弧.设所求阴影部分面积为，则，进而求解即可。
14．【答案】（1）解：原式
（2）①二，分母漏掉了；
②解：原式
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值、零指数幂、负指数的性质及特殊三角函数值进行计算即可；
（2）①上述计算过程是从第二步开始出现错误，错误的原因是分母漏掉了；
② 按照分式运算法则写出解题过程即可。
15．【答案】（1）不可能
（2）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）由题意可知通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，则小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是不可能事件；
（2）先进行列表，由列表可知共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
16．【答案】（1）解：①
如图，连接OD.
切于点，
，即.
且点是圆心，
平分AD，即CO垂直平分AD，
.
又，
，
，又是的半径，
是的切线.
（2）是的切线，DC切于点，
，即
，
垂直平分AD
，
在Rt中，
是的直径，
在Rt中，
设，则，由勾股定理得
，解得
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OD.根据切线的性质可得，即.先证，即，可证是的切线
（2）根据切线的性质可得，即，根据垂直平分线的性质可得，在Rt中，，在Rt中，，设，则，由勾股定理，解得，则。
17．【答案】（1）甲的说法错误，理由如下：
假设甲叙述正确，设女性的身高为米，
根据题意得：，
整理得：，
，
原方程没有实数根，
假设不成立，即甲的说法错误；
（2）①米；
②由题意得，按算法三小王父亲的理想体重为：
公斤，
即实际体重介于理想体重的，
由表（二）知，他应被归类为过重.
【知识点】一元二次方程的其他应用；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（2）①由题意得 h-8070
解得h，
的取值范围米
【分析】（1）假设甲叙述正确，设女性的身高为米，根据女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同可得方程，整理得：，利用根的判别式判断可知，原方程没有实数根，则假设不成立，即甲的说法错误；
（2）①根据算法二可得h-8070，解得h，即的取值范围米；
②由题意得，按算法三小王父亲的理想体重为：公斤，，即实际体重介于理想体重的，由表（二）知，他应被归类为过重。
18．【答案】（1）10
（2）已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是2cm，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为，
则，解得，
所以另一段长为，
因为，所以是第5张．
（3）4
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）已知剪得的纸条中有一张正方形，则正方形的中平行于底边的边长为2cm，即DE=2cm，
过点A作AGBC于点G，交DE于点F，
由题意得：AG=12cm，BC=12cm，
设从顶点到这个正方形的线段长为AF=xcm
DEBC
，即
解得 x=a
FG=AG-AF=(12-a)cm
a=10，8，6，4，2
故答案为：4（答案不唯一）.
【分析】（1）过点A作AHBC于H，交MN于P，由题意得BC=AH=12，MG=2，根据相似三角的性质可得剪下的第一张矩形纸片长为10cm；
(2)由题意可知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是2cm，根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为，则，解得，另一段长为，，所以是第5张；
(3)已知剪得的纸条中有一张正方形，则正方形的中平行于底边的边长为2cm，即DE=2cm，过点A作AGBC于点G，交DE于点F，设从顶点到这个正方形的线段长为AF=xcm，可证，则 ，即，解得 x=a，FG=AG-AF=(12-a)cm
根据可得a=10，8，6，4，2。
19．【答案】（1）设抛物线的表达式为
由题可知，当由喷头喷出的水柱经过高度为2米且离点的水平距离为1米的位置，即抛物线过点，
又过点，解得，
此抛物线的表达式为
（2）
（3）（4，1）
（4）由题意可设直线PQ的方程为，与直线PQ平行且与抛物线相切的直线的方程为
联立得
因直线与抛物线相切，故，即，
设直线与抛物线切于点，过作交PQ于，
作轴交PQ于，
，又在Rt中，，
所以，直线PQ可以看成是将直线向左平移个单位得到，
即直线，令，则，即
，
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（2）=
设关于轴对称后向右平移8个单位得到抛物线的解析式为y==
故答案为： ；
（3）由题意得：喷头A1喷出的水柱所在的抛物线的顶点坐标为（2，）
设抛物线的解析式为y=
抛物线经过点A1（-2，0）
0=
解得 a=
y=
水柱汇聚在点M的上方
当x=4时，y=1
汇聚点的坐标为（4，1）
故答案为：（4，1）；
【分析】（1）设抛物线的表达式为，由题可知，当由喷头喷出的水柱经过高度为2米且离点的水平距离为1米的位置，即抛物线过点，利用待定系数法求解即可；
（2）把（1）中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，关于y轴对称，则只有对称轴改变，向右平移8个单位，只把自变量减8即可得到 由喷出的水柱形成的拋物线的表达式 ；
（3）用顶点式表示出所求抛物线的解析式，易得水柱汇聚在点M的上方，把点M的横坐标代入所得的抛物线解析式即可求得汇聚点的坐标；
（4）设直线PQ的方程为，与直线PQ平行且与抛物线相切的直线的方程为，联立方程组可得
，因直线与抛物线相切，故，即，。设直线与抛物线切于点，过作交PQ于，作轴交PQ于，则，又在Rt中，，直线PQ可以看成是将直线向左平移个单位得到，即直线，令，则，即
因，所以。
20．【答案】（1）中垂线
（2）①如图，点P、Q即为所求.
②作法：如图3，作点E关于点的对称点，连接，构造的中垂线PM交AB于点，延长PO交CD于点.
证明：点分别关于点对称，
.
又，
垂直平分，
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（3）关于原点的对称点是
由中点公式得中点，由斜率公式得.，
.则
①当直线PM过点时，代入，得：，
化为整式方程得：，
解得：或7，
经检验均为分式方程的解.
②当直线PM过点时，代入，得：，
化为整式方程得：，解得：，
经检验均为分式方程的解
.，结合图象可知，满足题意的取值范围为：.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得点是线段EF的中垂线与直线的交点；
（2） ① 根据作图思路解答即可；
②根据作图思路画图，根据三角形全等的性质和判定即可解答；
（3）先求出，分为两种情况：当直线PM过点时，当直线PM过点时，代入后可得方程，解方程进行求解即可。
1 / 1广东省深圳市深圳外国语学校2024-2025学年九年级下学期数学开学考试（学情评估）试题
1．（2025九下·深圳开学考）-2025的绝对值是（ ）
A．2025 B． C． D．-2025
【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解： -2025的绝对值是 2025
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的定义可得答案。
2．（2025九下·深圳开学考）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面看所得到图形可得答案A
故答案为：A.
【分析】根据主视图是从正面看所得到图形进行逐项判断。
3．（2025九下·深圳开学考）2025年大学生毕业人数预计达到1222万，数据1222万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1222万用科学记数法表示为
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的一般式：
4．（2025九下·深圳开学考）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点的坐标为，点是第三象限内弧上一点，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 点的坐标为
OA=5
AB是直径
A、B、M、O四点共圆
AO=2OA=10
的半径为 5
故答案为：B.
【分析】由题意可知OA=5，由可得AB是直径，根据A、B、M、O四点共圆可得，则，AO=2OA=10， 的半径为 5。
5．（2025九下·深圳开学考）一辆汽车从 地驶往 地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为 ，在高速公路上行驶的速度为 ，汽车从 地到 地一共行驶了 .设普通公路长、高速公路长分别为 ，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，依题意，得：
故答案为：C.
【分析】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，由普通公路占总路程的 ，结合汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
6．（2025九下·深圳开学考）密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，反比函数的解析式为：
A、 当液体密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意；
B、 当液体密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意；
C、 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 ，正确，符合题意；
D、 当液体的密度时，浸在液体中的高度，错误，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据图像和反比例函数性质可得反比函数的解析式为：，逐项分析判断可得答案。
7．（2025九下·深圳开学考）某商场规定凡是购物满88元以上都可获得一次转动转盘的机会.如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 指针落入优胜奖区域的频率稳定在0.2左右
指针落入优胜奖区域的概率0.2
转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为
故答案为：B.
【分析】根据指针落入优胜奖区域的频率稳定在0.2左右，估计指针落入优胜奖区域的概率0.2，则 转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为。
8．（2025九下·深圳开学考）如图，在等边中，，点在边AC上，，则CD长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点D作DEAB，垂足为E
是等边三角形
AB=BC=，
在Rt中，
设DE=x，BE=5x
在Rt中，AE=，AD=
AE+BE=
x+5x=
解得 x=
AD=2x=
CD=AC-AD=
故答案为：B.
【分析】过点D作DEAB，垂足为E.根据等边三角形的性质可得AB=BC=，，在Rt中，，设DE=x，BE=5x，在Rt中，根据三角函数定义可得AE=，AD=，根据AE+BE=可得x+5x=，解得 x=则AD=2x=，CD=AC-AD=。
9．（2025九下·深圳开学考）因式分解： = .
【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
10．（2025九下·深圳开学考）在函数中，常数，这个函数的图象不经过第 象限.
【答案】二
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 函数中，常数，
函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限
故答案为：二.
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可。
11．（2025九下·深圳开学考）如图，，原点是它们的位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AE轴于点E，过点C作CF轴于点F，
点的坐标为，点的坐标为
AE=1，CF=2
故答案为：.
【分析】过点A作AE轴于点E，过点C作CF轴于点F，由题意可得AE=1，CF=2，，则，根据，可得。
12．（2025九下·深圳开学考）已知点A、B分别在反比例函数的图象上，且，则 .
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AMy轴于点M，过点B作BNy轴于点N
点A、B分别在反比例函数的图象上
故答案为：2.
【分析】过点A作AMy轴于点M，过点B作BNy轴于点N，证明，根据法币函数系数k的几何意义可得，则 。
13．（2025九下·深圳开学考）如图，正方形ABCD的边长为2，点在边AB上运动，连接CE，点在线段CE上，且，连接DF.在从向运动的过程中，线段DF扫过的面积为 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，
点的运动轨迹为以点为圆心的劣弧.
设所求阴影部分面积为，
则
故答案为：.
【分析】由题意可得，点的运动轨迹为以点为圆心的劣弧.设所求阴影部分面积为，则，进而求解即可。
14．（2025九下·深圳开学考）
（1）计算：．
（2）阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题．
计算：
原式（第一步），
（第二步），
（第三步）．
①上述计算过程是从第 ▲ 步开始出现错误，错误的原因是 ▲ ；
②请写出此题正确的计算过程．
【答案】（1）解：原式
（2）①二，分母漏掉了；
②解：原式
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值、零指数幂、负指数的性质及特殊三角函数值进行计算即可；
（2）①上述计算过程是从第二步开始出现错误，错误的原因是分母漏掉了；
② 按照分式运算法则写出解题过程即可。
15．（2025九下·深圳开学考）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性.已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）.
（1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是 事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
（2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率.
【答案】（1）不可能
（2）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）由题意可知通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，则小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是不可能事件；
（2）先进行列表，由列表可知共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
16．（2025九下·深圳开学考）如图，AB是的直径，DC切于点交AD于点，连接AC、BD.
（1）①；②；③；
请从以上三个条件中选择一个： ▲ ，证明AC是的切线；
（2）若AC是的切线，，求BD的长.
【答案】（1）解：①
如图，连接OD.
切于点，
，即.
且点是圆心，
平分AD，即CO垂直平分AD，
.
又，
，
，又是的半径，
是的切线.
（2）是的切线，DC切于点，
，即
，
垂直平分AD
，
在Rt中，
是的直径，
在Rt中，
设，则，由勾股定理得
，解得
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OD.根据切线的性质可得，即.先证，即，可证是的切线
（2）根据切线的性质可得，即，根据垂直平分线的性质可得，在Rt中，，在Rt中，，设，则，由勾股定理，解得，则。
17．（2025九下·深圳开学考）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考.
女性理想体重 男性理想体重
算法一 身高身高 身高身高
算法二 身高-70 身高-80
算法三 身高-158 身高-170
（1）甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同；你认为正确吗？请说明理由.
（2）无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表（二）的其中一种类别.
实际体重 类别
大于理想体重的 肥胖
介于理想体重的 过重
介于理想体重的 正常
介于理想体重的 过轻
小于理想体重的 消瘦
①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围 ▲ 。
②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？
【答案】（1）甲的说法错误，理由如下：
假设甲叙述正确，设女性的身高为米，
根据题意得：，
整理得：，
，
原方程没有实数根，
假设不成立，即甲的说法错误；
（2）①米；
②由题意得，按算法三小王父亲的理想体重为：
公斤，
即实际体重介于理想体重的，
由表（二）知，他应被归类为过重.
【知识点】一元二次方程的其他应用；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：（2）①由题意得 h-8070
解得h，
的取值范围米
【分析】（1）假设甲叙述正确，设女性的身高为米，根据女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同可得方程，整理得：，利用根的判别式判断可知，原方程没有实数根，则假设不成立，即甲的说法错误；
（2）①根据算法二可得h-8070，解得h，即的取值范围米；
②由题意得，按算法三小王父亲的理想体重为：公斤，，即实际体重介于理想体重的，由表（二）知，他应被归类为过重。
18．（2025九下·深圳开学考）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长12cm，底边上的高为12cm.圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为2cm的矩形纸条.
（1）直接写出剪下的第一张矩形纸片长为 cm；
（2）从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由.
（3）圆圆沿底边依次从下往上载剪出宽度均为，且为整数的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出的一个可能的取值， .
【答案】（1）10
（2）已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是2cm，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为，
则，解得，
所以另一段长为，
因为，所以是第5张．
（3）4
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）已知剪得的纸条中有一张正方形，则正方形的中平行于底边的边长为2cm，即DE=2cm，
过点A作AGBC于点G，交DE于点F，
由题意得：AG=12cm，BC=12cm，
设从顶点到这个正方形的线段长为AF=xcm
DEBC
，即
解得 x=a
FG=AG-AF=(12-a)cm
a=10，8，6，4，2
故答案为：4（答案不唯一）.
【分析】（1）过点A作AHBC于H，交MN于P，由题意得BC=AH=12，MG=2，根据相似三角的性质可得剪下的第一张矩形纸片长为10cm；
(2)由题意可知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是2cm，根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为，则，解得，另一段长为，，所以是第5张；
(3)已知剪得的纸条中有一张正方形，则正方形的中平行于底边的边长为2cm，即DE=2cm，过点A作AGBC于点G，交DE于点F，设从顶点到这个正方形的线段长为AF=xcm，可证，则 ，即，解得 x=a，FG=AG-AF=(12-a)cm
根据可得a=10，8，6，4，2。
19．（2025九下·深圳开学考）如图1，我校“世界广场”内有一圆形喷泉水池，水池正中央有一凸起的圆柱，圆柱上底面刻有世界地图，俯看喷泉水池呈圆环形.水池内圆柱周围均匀安装有12个喷头（用、来表示），喷头口与水面持平，每个喷头喷出的水柱为形状相同的拋物线.每天清晨开放喷泉，给校园增添了许多活力.如图2，实测水池（外圆）的半径米，圆柱底面半径米，圆柱露出水面的高度米，每个喷头口到圆柱的距离均为2米，如米.以为坐标原点，TM所在直线为轴，TB所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
（1）当由喷头喷出的水柱经过高度为2米且离点的水平距离为1米的位置时，水柱刚好落在圆柱的边缘点处，求此时拋物线的表达式.
（2）由与喷头相对的喷出的水柱形成的抛物线可以看成是问题（1）中的抛物线关于轴对称后向右平移8个单位得到，直接写出由喷出的水柱形成的拋物线的表达式 .
（3）为形成百川归海的场面，物业师傅调整每个喷头的出水压力和水量，使每一个喷泉水柱达到相同高度后能汇聚一点，测得此时由喷头喷出的水柱最高为1米时与的水平距离为4米，直接写出汇聚点的坐标 .
（4）如图3，在（1）的条件下，为烘托气氛，物业师傅在对应喷头口的水池外的地面上均匀安装12个彩色射灯，射灯与喷头相对应（如：在喷头所在直线上的点P、G处分别安装与喷头等距离的射灯）.为呈现更好的光影效果，要求射灯所在直线与水平面成夹角，即，且水柱上的点到相应射灯所在直线的最小距离为5厘米（不计射灯高度，水柱上的点视为抛物线上的点），求与喷头对应的射灯离水池边缘的距离PS.
【答案】（1）设抛物线的表达式为
由题可知，当由喷头喷出的水柱经过高度为2米且离点的水平距离为1米的位置，即抛物线过点，
又过点，解得，
此抛物线的表达式为
（2）
（3）（4，1）
（4）由题意可设直线PQ的方程为，与直线PQ平行且与抛物线相切的直线的方程为
联立得
因直线与抛物线相切，故，即，
设直线与抛物线切于点，过作交PQ于，
作轴交PQ于，
，又在Rt中，，
所以，直线PQ可以看成是将直线向左平移个单位得到，
即直线，令，则，即
，
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（2）=
设关于轴对称后向右平移8个单位得到抛物线的解析式为y==
故答案为： ；
（3）由题意得：喷头A1喷出的水柱所在的抛物线的顶点坐标为（2，）
设抛物线的解析式为y=
抛物线经过点A1（-2，0）
0=
解得 a=
y=
水柱汇聚在点M的上方
当x=4时，y=1
汇聚点的坐标为（4，1）
故答案为：（4，1）；
【分析】（1）设抛物线的表达式为，由题可知，当由喷头喷出的水柱经过高度为2米且离点的水平距离为1米的位置，即抛物线过点，利用待定系数法求解即可；
（2）把（1）中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，关于y轴对称，则只有对称轴改变，向右平移8个单位，只把自变量减8即可得到 由喷出的水柱形成的拋物线的表达式 ；
（3）用顶点式表示出所求抛物线的解析式，易得水柱汇聚在点M的上方，把点M的横坐标代入所得的抛物线解析式即可求得汇聚点的坐标；
（4）设直线PQ的方程为，与直线PQ平行且与抛物线相切的直线的方程为，联立方程组可得
，因直线与抛物线相切，故，即，。设直线与抛物线切于点，过作交PQ于，作轴交PQ于，则，又在Rt中，，直线PQ可以看成是将直线向左平移个单位得到，即直线，令，则，即
因，所以。
20．（2025九下·深圳开学考）
（1）【链接教材】
如图1，E、F是直线上方两点，若点在直线上，满足，则点是线段EF的 （填特殊直线）与直线的交点；
（2）【问题延伸】
①如图2，点是矩形ABCD对角线的交点，.要分别在AB、CD边上确定点、，满足，且点在线段PQ上.经过思考，小文发现可以利用矩形的中心对称性，将点或关于点对称，再作该对称点和另一点所组成的线段的中垂线.请你根据她的思路在图2中尺规作图确定P、Q的位置（不写作法，保留作图痕迹）.
②如图3，点O是矩形ABCD对角线的交点，.经过深入探究，聪明的小文发现进一步利用矩形的中心对称性，在问题①思路的基础上再添加一条过点的线段，就能找到符合题意的、（、分别在AB、CD边上，满足，且点在线段PQ上）.请在图3中用直尺简单构图（不要求圆规作图），并证明.
（3）【举一反三】
如图4，在平面直角坐标系xOy中，原点是菱形ABCD对角线的交点，，其中，.若、分别在AB、CD边上，满足，且点在线段PQ上，直接写出的取值范围 .
【答案】（1）中垂线
（2）①如图，点P、Q即为所求.
②作法：如图3，作点E关于点的对称点，连接，构造的中垂线PM交AB于点，延长PO交CD于点.
证明：点分别关于点对称，
.
又，
垂直平分，
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（3）关于原点的对称点是
由中点公式得中点，由斜率公式得.，
.则
①当直线PM过点时，代入，得：，
化为整式方程得：，
解得：或7，
经检验均为分式方程的解.
②当直线PM过点时，代入，得：，
化为整式方程得：，解得：，
经检验均为分式方程的解
.，结合图象可知，满足题意的取值范围为：.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得点是线段EF的中垂线与直线的交点；
（2） ① 根据作图思路解答即可；
②根据作图思路画图，根据三角形全等的性质和判定即可解答；
（3）先求出，分为两种情况：当直线PM过点时，当直线PM过点时，代入后可得方程，解方程进行求解即可。
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