第27章相似过关练习卷（含解析）
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第27章相似过关练习卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．无限小数都是无理数 B．三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形
C．相似三角形的面积比等于相似比 D．圆内接四边形对角相等
2．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若，则下列各式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，缩小后变为，其中A，B的对应点分别为，，点A，B，，均在图中的格点上．若线段上有一点，则点P在上的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，四边形和四边形均为正方形，且点E、G分别在边、上，，，连接并延长，交边于点H，连接，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
8．如图，在四边形中，，连接，，，点是边上的点，连接，，，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．已知，且，则的值为 ．
10．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ．
11．如图，线段、相交于点，请你补充一个条件： ，使与是以点为位似中心的位似图形．
12．如图，已知，，，则 ．
13．如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为 ．
三、解答题
15．如图，线段，相交于点E，若，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，．
(1)以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出（点，的对应点分别为点，），并直接写出点的坐标．
(2)以点为位似中心，将按相似比为2放大，得到，在网络中画出（点，，的对应点分别为点，，），并直接写出点的坐标．
17．如图，在圆心O的同侧有圆内接四边形，，．点E在上，且，线段、的延长线交于点F，连结、．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
18．水平放置的平台高度为，平台上的光源A和竖直放置的不透光屏幕都可以左右平移，但光源A的照射角度和方向不变，，平台左端是竖直放置的平面镜（无限大），没有屏幕遮挡，从点A发射的光线会照射到平面镜的点B处；若屏幕与平面镜相距，则光线照射到屏幕上的点C处，建立如图13所示的平面直角坐标系，单位长度是，点A，B的坐标分别为，．
(1)①在图中补画出x轴和原点O，并求光线所在直线的解析式；
②直接写出点C的坐标；
(2)将屏幕向右平移到与平面镜相距的处，若使光线经过平面镜反射后恰好照射到顶端，求光源A的平移方向和距离．
19．在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠．
(1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M．
①判断与是否相等，并说明理由；
②连接交于点N，若，求的值；
(2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点、，连接，直接写出面积的最小值为 ．
20．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点．
(1)求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积；
(3)如图2，在（2）的条件下，为反比例函数图象上一动点（不与点、重合），连接，分别于轴、轴交于点、、、，试探究是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由．
《第27章相似过关练习卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D D D D D C
1．B
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，熟练掌握无理数的概念，勾股定理的逆定理，圆内接四边形的性质及相似三角形的性质是解决此题的关键．利用无理数的概念，勾股定理的逆定理，圆内接四边形的性质及相似三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
B、由得三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形，故原选项正确， 是真命题，符合题意；
C、 相似三角形的面积比等于相似比的平方，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，求得，与是以点为位似中心的位似图形，可得位似比为，由点A的坐标可得点C的坐标．
【详解】解：∵，，
∴，
又与是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∵，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；因此此题可根据平行线所截线段成比例进行排除选项．
【详解】解：∵，
∴，，，，
故选D．
4．D
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】两个相似三角形的面积比为，则它们的周长比为．
故选：D．
5．D
【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键．根据点A，B两点坐标以及对应点，点的坐标得出坐标变化规律，进而得出的坐标．
【详解】解：∵缩小后变为，其中A，B的对应点分别为，，点A、B、、均在图中在格点上，
即点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，
∴线段上有一点，则点在上的对应点的坐标为．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，取中点M，连接，取中点M，连接，，点E为的中点，由三角形中位线定理推出，判定，推出，得到，求出，即可得出结果．
【详解】解：取中点M，连接，
∵点G是的重心，
，点E为的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
7．D
【分析】本题主要涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．准确利用性质是正确解答此题的关键．
首先利用正方形性质得到相关线段的长度和角度关系，再通过相似三角形的性质求出的长度，进而得到的长度，最后在中，根据勾股定理求出的长度．
【详解】解：四边形为正方形， ，
， ，
四边形为正方形，，
， ，
，
，
，
，
，即，
，
，
在中，在中，，
故答案为：D．
8．C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的相关性质，平行线的性质，解决本题的关键是证明．根据相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的相关性质、平行线的性质进行逐一判断即可．
【详解】，，
点是边上的点，
，故②错误；
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，在以为直径的圆上，
，，故④正确；
，
，故①正确；
，
，
，故③正确．
故选C．
9．或
【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出再把三式相加得出，然后分两种情况讨论，即可得出k的值．
【详解】解：由已知得，
∴，
∴当时，得，
当时，则
∴，
∴k的值为1或．
故答案为：1或．
10．50
【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
根据位似图形的周长比等于相似比（位似比）可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为，
∴四边形与四边形的周长比为，
∵四边形的周长为，
∴四边形的周长为；
故答案为．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得．
【详解】解：补充条件，则，
所以与是以点为位似中心的位似图形．
故答案为：（答案不唯一）．
12．/度
【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，因为，所以，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可．
本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
【详解】解：根据题意，，，
∴，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质、与三角形中线有关的面积的计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键．
连接，作轴于，由等腰直角三角形的性质得出，由反比例函数的几何意义得出，证明，得出，求出，再由三角形中线的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，作轴于，
∵为等腰直角三角形，，
∴点为的中点，
∴，
∵点、是反比例函数上的点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）判断，即可解答；
（2）利用相似三角形的性质，即可解答．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：根据（1）中，
可得，
，
，
可得．
16．(1)如图所示，；
(2)如图所示，．
【分析】本题考查了旋转作图和位似作图，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键．
（1）先根据旋转的性质确定点，的位置，然后连线，再写出点的坐标；
（2）先根据位似的性质确定点，，的位置，然后连线，再写出点的坐标；
【详解】（1）解：如图，即为所求，，
（2）解：如图，即为所求，．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明，则为中垂线，由中垂线的性质即可得出结论；
（2）设与相交于G，证明，即可由相似三角形的性质得出结论；
（3）证明，则，设，则，，所以，代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴为的垂线平分线，
∴．
（2）证明：如图，连接，，设与相交于G，
∵，
∴G为中点，
∴，
∴；
∵，，
∴，
即，
又，
∴，
∴．
（3）解：连结，
由（2）知 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
记，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧、圆心角、圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，线段垂线平分线的性质．熟练掌握相关性质是解题的关键．
18．(1)①见解析，；②
(2)向左平移个单位
【分析】本题考查作图－平移变换，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）①根据要求作出平面直角坐标系，设直线的解析式为，利用待定系数法求解；
②求出时，y的值，可得点C的坐标；
（2）如图，连接，延长交y轴于点，设，，利用相似三角形的性质构建方程求出m即可解决问题．
【详解】（1）解：①如图，平面直角坐标系即为所求．
设直线的解析式为，
点A，B的坐标分别为，
∴，
∴，
直线的解析式为；
②当时，，
；
（2）解；如图，连接，延长交y轴于点
设，，
，，
，
∴，
，
解得，
经检验是分式方程的解，
，
光源A的向左平移个单位．
19．(1)①，理由见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据证明即可解答；
②如图2，延长，交于点G，先根据，得，设，则，，由勾股定理可得：，则，，证明，，，即可解答；
（2）当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：①，理由如下：
如图1，由折叠得：，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图2，延长，交于点G，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图3，由折叠得：，，
∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
即面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
20．(1)一次函数为，反比例函数为；
(2)；
(3)是定值，其值为．
【分析】（1）由题意直接运用用待定系数法即可求解；
（2）证明，则，而，点坐标为，利用，即可求解；
（3）设点的坐标为，分别求得直线和的解析式，再分别求得点、、、的坐标，据此求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与坐标轴相交于点，
，解得，
一次函数为，
一次函数的图象经过点．
，
点坐标为，
反比例函数经过点，
，
反比例函数为：；
（2）解：作轴于，轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，
把代入求得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：设点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
令，则，解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
令，则，解得，
∴点的坐标为，
∴，
，
∴，
∴是定值，其值为．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，利用数形结合的思想和方程的思想是解答本题的关键．
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第27章相似过关练习卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．无限小数都是无理数 B．三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形
C．相似三角形的面积比等于相似比 D．圆内接四边形对角相等
2．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若，则下列各式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，缩小后变为，其中A，B的对应点分别为，，点A，B，，均在图中的格点上．若线段上有一点，则点P在上的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，四边形和四边形均为正方形，且点E、G分别在边、上，，，连接并延长，交边于点H，连接，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
8．如图，在四边形中，，连接，，，点是边上的点，连接，，，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．已知，且，则的值为 ．
10．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ．
11．如图，线段、相交于点，请你补充一个条件： ，使与是以点为位似中心的位似图形．
12．如图，已知，，，则 ．
13．如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为 ．
三、解答题
15．如图，线段，相交于点E，若，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，．
(1)以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出（点，的对应点分别为点，），并直接写出点的坐标．
(2)以点为位似中心，将按相似比为2放大，得到，在网络中画出（点，，的对应点分别为点，，），并直接写出点的坐标．
17．如图，在圆心O的同侧有圆内接四边形，，．点E在上，且，线段、的延长线交于点F，连结、．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
18．水平放置的平台高度为，平台上的光源A和竖直放置的不透光屏幕都可以左右平移，但光源A的照射角度和方向不变，，平台左端是竖直放置的平面镜（无限大），没有屏幕遮挡，从点A发射的光线会照射到平面镜的点B处；若屏幕与平面镜相距，则光线照射到屏幕上的点C处，建立如图13所示的平面直角坐标系，单位长度是，点A，B的坐标分别为，．
(1)①在图中补画出x轴和原点O，并求光线所在直线的解析式；
②直接写出点C的坐标；
(2)将屏幕向右平移到与平面镜相距的处，若使光线经过平面镜反射后恰好照射到顶端，求光源A的平移方向和距离．
19．在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠．
(1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M．
①判断与是否相等，并说明理由；
②连接交于点N，若，求的值；
(2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点、，连接，直接写出面积的最小值为 ．
20．如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点．
(1)求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积；
(3)如图2，在（2）的条件下，为反比例函数图象上一动点（不与点、重合），连接，分别于轴、轴交于点、、、，试探究是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由．
《第27章相似过关练习卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D D D D D C
1．B
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，熟练掌握无理数的概念，勾股定理的逆定理，圆内接四边形的性质及相似三角形的性质是解决此题的关键．利用无理数的概念，勾股定理的逆定理，圆内接四边形的性质及相似三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
B、由得三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形，故原选项正确， 是真命题，符合题意；
C、 相似三角形的面积比等于相似比的平方，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故原选项错误，是假命题，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，求得，与是以点为位似中心的位似图形，可得位似比为，由点A的坐标可得点C的坐标．
【详解】解：∵，，
∴，
又与是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∵，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；因此此题可根据平行线所截线段成比例进行排除选项．
【详解】解：∵，
∴，，，，
故选D．
4．D
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】两个相似三角形的面积比为，则它们的周长比为．
故选：D．
5．D
【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键．根据点A，B两点坐标以及对应点，点的坐标得出坐标变化规律，进而得出的坐标．
【详解】解：∵缩小后变为，其中A，B的对应点分别为，，点A、B、、均在图中在格点上，
即点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，
∴线段上有一点，则点在上的对应点的坐标为．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，取中点M，连接，取中点M，连接，，点E为的中点，由三角形中位线定理推出，判定，推出，得到，求出，即可得出结果．
【详解】解：取中点M，连接，
∵点G是的重心，
，点E为的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
7．D
【分析】本题主要涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．准确利用性质是正确解答此题的关键．
首先利用正方形性质得到相关线段的长度和角度关系，再通过相似三角形的性质求出的长度，进而得到的长度，最后在中，根据勾股定理求出的长度．
【详解】解：四边形为正方形， ，
， ，
四边形为正方形，，
， ，
，
，
，
，
，即，
，
，
在中，在中，，
故答案为：D．
8．C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的相关性质，平行线的性质，解决本题的关键是证明．根据相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的相关性质、平行线的性质进行逐一判断即可．
【详解】，，
点是边上的点，
，故②错误；
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，在以为直径的圆上，
，，故④正确；
，
，故①正确；
，
，
，故③正确．
故选C．
9．或
【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出再把三式相加得出，然后分两种情况讨论，即可得出k的值．
【详解】解：由已知得，
∴，
∴当时，得，
当时，则
∴，
∴k的值为1或．
故答案为：1或．
10．50
【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
根据位似图形的周长比等于相似比（位似比）可直接进行求解．
【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为，
∴四边形与四边形的周长比为，
∵四边形的周长为，
∴四边形的周长为；
故答案为．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得．
【详解】解：补充条件，则，
所以与是以点为位似中心的位似图形．
故答案为：（答案不唯一）．
12．/度
【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，因为，所以，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可．
本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
【详解】解：根据题意，，，
∴，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质、与三角形中线有关的面积的计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键．
连接，作轴于，由等腰直角三角形的性质得出，由反比例函数的几何意义得出，证明，得出，求出，再由三角形中线的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，作轴于，
∵为等腰直角三角形，，
∴点为的中点，
∴，
∵点、是反比例函数上的点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）判断，即可解答；
（2）利用相似三角形的性质，即可解答．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：根据（1）中，
可得，
，
，
可得．
16．(1)如图所示，；
(2)如图所示，．
【分析】本题考查了旋转作图和位似作图，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键．
（1）先根据旋转的性质确定点，的位置，然后连线，再写出点的坐标；
（2）先根据位似的性质确定点，，的位置，然后连线，再写出点的坐标；
【详解】（1）解：如图，即为所求，，
（2）解：如图，即为所求，．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明，则为中垂线，由中垂线的性质即可得出结论；
（2）设与相交于G，证明，即可由相似三角形的性质得出结论；
（3）证明，则，设，则，，所以，代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴为的垂线平分线，
∴．
（2）证明：如图，连接，，设与相交于G，
∵，
∴G为中点，
∴，
∴；
∵，，
∴，
即，
又，
∴，
∴．
（3）解：连结，
由（2）知 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
记，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧、圆心角、圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，线段垂线平分线的性质．熟练掌握相关性质是解题的关键．
18．(1)①见解析，；②
(2)向左平移个单位
【分析】本题考查作图－平移变换，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）①根据要求作出平面直角坐标系，设直线的解析式为，利用待定系数法求解；
②求出时，y的值，可得点C的坐标；
（2）如图，连接，延长交y轴于点，设，，利用相似三角形的性质构建方程求出m即可解决问题．
【详解】（1）解：①如图，平面直角坐标系即为所求．
设直线的解析式为，
点A，B的坐标分别为，
∴，
∴，
直线的解析式为；
②当时，，
；
（2）解；如图，连接，延长交y轴于点
设，，
，，
，
∴，
，
解得，
经检验是分式方程的解，
，
光源A的向左平移个单位．
19．(1)①，理由见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据证明即可解答；
②如图2，延长，交于点G，先根据，得，设，则，，由勾股定理可得：，则，，证明，，，即可解答；
（2）当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：①，理由如下：
如图1，由折叠得：，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图2，延长，交于点G，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图3，由折叠得：，，
∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
即面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
20．(1)一次函数为，反比例函数为；
(2)；
(3)是定值，其值为．
【分析】（1）由题意直接运用用待定系数法即可求解；
（2）证明，则，而，点坐标为，利用，即可求解；
（3）设点的坐标为，分别求得直线和的解析式，再分别求得点、、、的坐标，据此求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与坐标轴相交于点，
，解得，
一次函数为，
一次函数的图象经过点．
，
点坐标为，
反比例函数经过点，
，
反比例函数为：；
（2）解：作轴于，轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，
把代入求得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：设点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
令，则，解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
令，则，解得，
∴点的坐标为，
∴，
，
∴，
∴是定值，其值为．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，利用数形结合的思想和方程的思想是解答本题的关键．
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