第27章相似检测卷（含解析）
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第27章相似检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
2．若，，的周长是10，则的周长是（ ）
A．10 B．15 C．25 D．30
3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，，点，分别在边上，，、交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是半圆的直径，按以下步骤作图：
（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线与半圆交于点；
（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线与半圆交于点；
（3）连接，，．与交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论不正确的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
6．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如果，那么 ．
8．如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为 m．
9．当矩形窗户宽与高的比是黄金比（黄金比约为0.618）时，这扇窗户看上去比较和谐．一扇高2米的窗户，当宽约为 时，看上去比较和谐（结果精确到0.01）．
10．如图，在矩形中，，点E为的中点，连接，点F为上一点，，则 ．
11．如图，在中，，点是边上的动点，以为圆心，为半径的与边的另一交点为，过点作的垂线，交于点．如果以为圆心，为半径的与有公共点，设的长为，那么的取值范围是 ．
12．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ．
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于轴对称的；
(2)以原点为位似中心，在第一象限内画一个，使它与的位似比为，并求的面积．
14．如图，在正方形中，点E为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
15．如图，等边的边长为2，点在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
16．如图，为的直径，点是的中点，，垂足为，、的延长线交于点．
(1)写出一个与相等的角：________；写出一个与相等的弧：________．
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
17．金牛区世纪空间大厦项目双子塔整体已经竣工，为了测试双子塔建筑物的高度，小王同学采取了如下方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至直立站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中三点在同一条直线上．已知小王的眼睛距离地面的高度的长约为1.75米，和的长分别为97.56米和0.7米，求建筑物的高度．（说明：由物理知识，可知，）
18．在矩形中，．分别以边所在的直线为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)如图1，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为，求点的坐标；
(2)如图2，已知是上一点，且于点，交于点F，求四边形的面积；
(3)如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
《第27章相似检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C C B D D
1．A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，再代入数据即可求解．
【详解】解：，
，
．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答．
【详解】解：，，
和的相似比为，
又的周长是10，
的周长是．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，位似比是解题的关键．
根据点，相似比为，点在第三象限即可求解．
【详解】解：，相似比为，以点为位似中心，
∴，即，
故选：C ．
4．B
【分析】根据题意得，由勾股定理得到，则，再证明，由其性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，点分别在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵交于点，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理和等边对等角等知识．由作图可知，垂直平分线段，平分，证明，得出平分，判断A正确；证明，得出，判断B正确；连接，证明，得出，即，判断C正确；证明，得出，判定D错误．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故A正确，不符合题意；
由作图可知，垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：，
，
和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
与的面积比为：，
故选：D．
7．
【分析】本题考查了比例的性质，分式的性质，掌握比例、分式的性质的计算是解题的关键．
根据题意可得，，代入式子，运用分式的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
8．
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
，
，
，
，
，
解得：
球拍击球的高度为，
故答案为：．
9．
【分析】本题主要查了黄金分割．利用黄金分割的概念进行解答，特别是利用黄金比进行计算，按照题意宽与高等于黄金比，可得得宽高，即可得到答案．
【详解】解：∵宽与高的比是黄金比，设窗户的宽为x米，
∴宽高，
∴，
解得，
故答案为： ．
10．/
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似．延长交于点M，延长交延长线于点N，利用矩形的性质和勾股定理，求出的长，证明，求出，证明得出，进而求出即可得出结果．
【详解】解：延长交于点M，延长交延长线于点N，
四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
，
，
∴，
∵，
，
，
；
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，分别求出与外切时的值及点与点重合时的值即可求解，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，当与外切于点时，连接，设与相交于点，
∵，
∴，
∴，
∴
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点与点重合时，如图，，设与相交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
综上，的取值范围是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解．
【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
故答案为： ．
13．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，位似变换：
（1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可；
（2）把的横纵坐标都乘以得到对应点的坐标，描出，并顺次连接即可；根据轴对称图形的性质求出的面积，再根据位似图形的性质求出的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
由轴对称图形的性质，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴．
14．见解析
【分析】本题考查相似三角形的性质、尺规作一个角等于已知角，先根据相似三角形的对应角相等得到，然后利用尺规作一个角等于已知角的步骤画图即可．
【详解】解：如图，点P即为所求作
在正方形中，
又∵，
∴．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质．
（1）利用等边三角形的性质得到，再根据等角的补角相等得到，即可证得；
（2）根据（1）中，得到，求得，又证明，进而得到的长．
【详解】（1）证明：∵等边，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵等边的边长为2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定与性质，扇形的面积，连接经过切点的半径和连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
（1）根据点是的中点，利用圆周角定理，即可解答；
（2）连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（3）利用直角三角形的边角关系定理求得的度数，利用圆周角定理得到的度数，利用直角三角形的边角关系定理求得的长度，再利用阴影部分的面积解答即可．
【详解】（1）解：点是的中点，
，，
故答案为：；；
（2）证明：连接，如图，
点是的中点，
，
，
，
．
，
，
．
为的半径，
是的切线；
（3）解：连接，如图，
，为的直径，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
．
阴影部分的面积
．
17．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质．
先求出，得到，代入数值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴,
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵和的长分别为97.56米和0.7米，的长约为1.75米，
∴，
∴，
答：建筑物的高度约为．
18．(1)；
(2)四边形的面积为；
(3)点或或．
【分析】（1）先推出是等腰三角形，进而设，在中列方程可得；
（2）因为，所以根据，求得即可；
（3）先根据相似三角形的判定与性质，求得，进而得出点坐标，从而求出的函数关系式，设出点坐标，当是等腰三角形时，以为顶点的四边形可以是菱形，因为在轴上方，所以分为和，三种情形，当时，可根据它列出方程，当时，可先判断得和点纵坐标，进而求得结果，当时，求得结果．
【详解】（1）解：过点作于点，如图：
由折叠可知，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：如图：
∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设与交于点，如图：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的解析式是，把，代入得：
，
解得：，
，
设，
当时，
，
解得：，（舍去），
当时，，
∴，
∴，
当时，此时垂直平分，
，
，
，
，
当时，
，
，
，，
（舍去），，
综上所述：点或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识和基本方法．
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第27章相似检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
2．若，，的周长是10，则的周长是（ ）
A．10 B．15 C．25 D．30
3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，，点，分别在边上，，、交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是半圆的直径，按以下步骤作图：
（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线与半圆交于点；
（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线与半圆交于点；
（3）连接，，．与交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论不正确的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
6．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如果，那么 ．
8．如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为 m．
9．当矩形窗户宽与高的比是黄金比（黄金比约为0.618）时，这扇窗户看上去比较和谐．一扇高2米的窗户，当宽约为 时，看上去比较和谐（结果精确到0.01）．
10．如图，在矩形中，，点E为的中点，连接，点F为上一点，，则 ．
11．如图，在中，，点是边上的动点，以为圆心，为半径的与边的另一交点为，过点作的垂线，交于点．如果以为圆心，为半径的与有公共点，设的长为，那么的取值范围是 ．
12．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ．
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于轴对称的；
(2)以原点为位似中心，在第一象限内画一个，使它与的位似比为，并求的面积．
14．如图，在正方形中，点E为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
15．如图，等边的边长为2，点在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
16．如图，为的直径，点是的中点，，垂足为，、的延长线交于点．
(1)写出一个与相等的角：________；写出一个与相等的弧：________．
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
17．金牛区世纪空间大厦项目双子塔整体已经竣工，为了测试双子塔建筑物的高度，小王同学采取了如下方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至直立站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中三点在同一条直线上．已知小王的眼睛距离地面的高度的长约为1.75米，和的长分别为97.56米和0.7米，求建筑物的高度．（说明：由物理知识，可知，）
18．在矩形中，．分别以边所在的直线为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)如图1，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为，求点的坐标；
(2)如图2，已知是上一点，且于点，交于点F，求四边形的面积；
(3)如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
《第27章相似检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C C B D D
1．A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，再代入数据即可求解．
【详解】解：，
，
．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答．
【详解】解：，，
和的相似比为，
又的周长是10，
的周长是．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，位似比是解题的关键．
根据点，相似比为，点在第三象限即可求解．
【详解】解：，相似比为，以点为位似中心，
∴，即，
故选：C ．
4．B
【分析】根据题意得，由勾股定理得到，则，再证明，由其性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，点分别在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵交于点，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理和等边对等角等知识．由作图可知，垂直平分线段，平分，证明，得出平分，判断A正确；证明，得出，判断B正确；连接，证明，得出，即，判断C正确；证明，得出，判定D错误．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故A正确，不符合题意；
由作图可知，垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：，
，
和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
与的面积比为：，
故选：D．
7．
【分析】本题考查了比例的性质，分式的性质，掌握比例、分式的性质的计算是解题的关键．
根据题意可得，，代入式子，运用分式的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
8．
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
，
，
，
，
，
解得：
球拍击球的高度为，
故答案为：．
9．
【分析】本题主要查了黄金分割．利用黄金分割的概念进行解答，特别是利用黄金比进行计算，按照题意宽与高等于黄金比，可得得宽高，即可得到答案．
【详解】解：∵宽与高的比是黄金比，设窗户的宽为x米，
∴宽高，
∴，
解得，
故答案为： ．
10．/
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似．延长交于点M，延长交延长线于点N，利用矩形的性质和勾股定理，求出的长，证明，求出，证明得出，进而求出即可得出结果．
【详解】解：延长交于点M，延长交延长线于点N，
四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
，
，
∴，
∵，
，
，
；
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，分别求出与外切时的值及点与点重合时的值即可求解，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，当与外切于点时，连接，设与相交于点，
∵，
∴，
∴，
∴
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点与点重合时，如图，，设与相交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
综上，的取值范围是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解．
【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
故答案为： ．
13．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，位似变换：
（1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可；
（2）把的横纵坐标都乘以得到对应点的坐标，描出，并顺次连接即可；根据轴对称图形的性质求出的面积，再根据位似图形的性质求出的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
由轴对称图形的性质，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴．
14．见解析
【分析】本题考查相似三角形的性质、尺规作一个角等于已知角，先根据相似三角形的对应角相等得到，然后利用尺规作一个角等于已知角的步骤画图即可．
【详解】解：如图，点P即为所求作
在正方形中，
又∵，
∴．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质．
（1）利用等边三角形的性质得到，再根据等角的补角相等得到，即可证得；
（2）根据（1）中，得到，求得，又证明，进而得到的长．
【详解】（1）证明：∵等边，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵等边的边长为2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定与性质，扇形的面积，连接经过切点的半径和连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
（1）根据点是的中点，利用圆周角定理，即可解答；
（2）连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（3）利用直角三角形的边角关系定理求得的度数，利用圆周角定理得到的度数，利用直角三角形的边角关系定理求得的长度，再利用阴影部分的面积解答即可．
【详解】（1）解：点是的中点，
，，
故答案为：；；
（2）证明：连接，如图，
点是的中点，
，
，
，
．
，
，
．
为的半径，
是的切线；
（3）解：连接，如图，
，为的直径，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
．
阴影部分的面积
．
17．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质．
先求出，得到，代入数值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴,
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵和的长分别为97.56米和0.7米，的长约为1.75米，
∴，
∴，
答：建筑物的高度约为．
18．(1)；
(2)四边形的面积为；
(3)点或或．
【分析】（1）先推出是等腰三角形，进而设，在中列方程可得；
（2）因为，所以根据，求得即可；
（3）先根据相似三角形的判定与性质，求得，进而得出点坐标，从而求出的函数关系式，设出点坐标，当是等腰三角形时，以为顶点的四边形可以是菱形，因为在轴上方，所以分为和，三种情形，当时，可根据它列出方程，当时，可先判断得和点纵坐标，进而求得结果，当时，求得结果．
【详解】（1）解：过点作于点，如图：
由折叠可知，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：如图：
∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设与交于点，如图：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的解析式是，把，代入得：
，
解得：，
，
设，
当时，
，
解得：，（舍去），
当时，，
∴，
∴，
当时，此时垂直平分，
，
，
，
，
当时，
，
，
，，
（舍去），，
综上所述：点或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识和基本方法．
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