第18章平行四边形过关练习卷（含解析）
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第18章平行四边形过关练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
2．如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，是边上一点，，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，则的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．5
5．用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
6．如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（ ）
A．2α B．45°+α C． D．
二、填空题
9．中，， 点D为的中点，若，则
10．如图，在中，，，点是边的中点，点、在边、上，若，，则阴影部分面积为 ．
11．如图，矩形的边沿折痕折叠，使点D落在边上的点F处，已知，，则的长等于 ．
12．如图，在中，，点在边上，将沿翻折得到，连接，若且，则 ．
13．如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线交于点E，若，，对角线的长为 ．
14．如图，在菱形中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的周长为 ．
三、解答题
15．如图，在中，是上一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)当，时，求和的长．
16．在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接，分别交线段、于点G、H，求证：．
17．如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由．
18．如图所示，在四边形中，，，，点从向终点以的速度运动．点从点向终点以的速度运动．，两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，
(1)当运动秒时，线段______cm，______cm（用含有的代数式表示）；
(2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？
(3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？
19．如图，在中，，，在的延长线上取点，以为斜边作等腰，交于点，延长交于点．
(1)求的度数．
(2)当点是的中点时，求证：．
(3)取的中点，连接，如图，判断的形状，并说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，线段与轴的夹角为，过点作轴的平行线交轴于点．点为轴正半轴上一点，点为直线上点右侧一动点，连接．设线段的长度为，线段的长度为．
(1)若，．
①求点的坐标；
②如图2，过点作于点，求的值．
(2)如图3，连接交于点．记，，，的面积分别为，，，且满足．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若此时四边形的面积为，，且，求，的值．
《第18章平行四边形过关练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A A B A B B
1．A
【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键．
根据矩形的判定方法即可得到结论．
【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意．
故选：A．
2．D
【分析】根据题意直接证明，进而得，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是平行四边形，得，，则有，，根据等腰三角形的性质得出，从而有．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质、定理．延长交于点，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果．
【详解】解：延长交于点，
∵
∴
在中
∴
∴
又∵
∴是的中位线
∵
∴
∴
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长．
【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2，
丙纸片的边长为，
丁纸片的宽为，
∵丁纸片的面积为，
丁纸片的长为，
乙纸片的边长为，
甲纸片的边长为，
故选：B．
6．A
【分析】如图，设交于点，取的中点，连接，证明，推出，再证明即可．
【详解】解：如图，设交于点，取的中点，连接，
，，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
7．B
【分析】本题考查全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由正方形和全等三我的性质求得，，，再由勾股定理求得，，即可求解．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
由题意，得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．B
【分析】证明，则，得到，，证明，进一步得到．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得．
【详解】∵， 点D为的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
10．1
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
连接，结合等腰直角三角形的性质求出，，根据角的和差求出，利用证明，则，进而求出阴影部分面积，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，，点是边的中点，
，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
阴影部分面积，
，，
∴，
阴影部分面积，
故答案为：1．
11．
【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长．
【详解】解：∵矩形的边沿折痕折叠，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】过点作，交于点，过点作于，由平行线和折叠的性质可得，即得，设，则，在中，利用勾股定理可得，即得，得到，，进而由三角形面积得，又由四边形是矩形得，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交于点，过点作于，则，，
∵，
∴，
由折叠得，，，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了作图-基本作图以及矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据题意利用基本作图即可判断垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中， ．
故答案为：．
14．
【分析】根据菱形的性质结合等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质及勾股定理求出，，证明，即，得到，求出，即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分交于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、多边形内角和的应用、全等三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）根据题意证明出，即可得证；
（2）根据已知条件和矩形的性质证明，得到，设，则，在中，由勾股定理得：，
即，解出的值即可求出的长，设，则，在中，根据勾股定理得：，即，解出的值即可求出的长．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【点睛】本题考查了外角的定义，矩形的判定与性质，直角三角形全等的判定，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
16．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，则有，然后问题可求证；
（2）由（1）可得，则有，然后可得，进而问题可求证．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点、分别是、边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：由（1）可知：四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．说法正确，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作，交于点．只要证明四边形是平行四边形且即可．
【详解】解：正确．
理由：过点作，交于点，则，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
18．(1)，
(2)或
(3)
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，利用分类讨论是解题的关键．
（1）用含t的代数式分别表示和的长；
（2）分两种情况，①若四边形是平行四边形，则,进而求出t的值；②若四边形是平行四边形，则，进而求出t的值；
（3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：运动t秒时，，
故答案为：t；．
（2）由（1）可得：，，
当四边形为平行四边形时，
∵，
∴，
即，
解得；
当四边形为平行四边形时，
∵，
∴，
即，
解得；
综上所述：为12或9时，所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形，
故答案为：12或9．
（3）解：由（1）可得：，，，
设边上的高为，依题意得，
∴
解得：
答：直线运动秒后将四边形截得两个面积相等的四边形．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（）由等腰直角三角形的性质得，进而由角的和差关系即可求解；
（）过点作交的延长线于点，可证，得到，又由是等腰直角三角形得，进而即可求证；
（）过点作于点，连接，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可得，进而可得，，为等边三角形，即得，，即得，即可求证．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交的延长线于点，
则，，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：为等腰直角三角形，理由如下：
过点作于点，连接，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点是的中点，
，
∵，
∴，
∴，
∴，，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．(1)①；②180
(2)①四边形是平行四边形，理由见解析；②的值为，的值为
【分析】（1）①根据含30度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，由此即可得；
②先根据平行线间的距离可得点到的距离等于点到的距离，即为，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（2）①先求出，再设，根据三角形的面积公式可得，，，从而可得，，，然后根据的边上的高与的边上的高之和等于建立等式，化简整理可得，最后根据平行四边形的判定即可得；
②根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可得，再利用完全平方公式求出和的值，从而可得和的值，然后解二元一次方程组即可得．
【详解】（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得，
所以的值为，的值为．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、完全平方公式、二元一次方程组的应用等知识，较难的是题（2），熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
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第18章平行四边形过关练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
2．如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，是边上一点，，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，则的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．5
5．用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
6．如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（ ）
A．2α B．45°+α C． D．
二、填空题
9．中，， 点D为的中点，若，则
10．如图，在中，，，点是边的中点，点、在边、上，若，，则阴影部分面积为 ．
11．如图，矩形的边沿折痕折叠，使点D落在边上的点F处，已知，，则的长等于 ．
12．如图，在中，，点在边上，将沿翻折得到，连接，若且，则 ．
13．如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线交于点E，若，，对角线的长为 ．
14．如图，在菱形中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的周长为 ．
三、解答题
15．如图，在中，是上一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)当，时，求和的长．
16．在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接，分别交线段、于点G、H，求证：．
17．如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由．
18．如图所示，在四边形中，，，，点从向终点以的速度运动．点从点向终点以的速度运动．，两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，
(1)当运动秒时，线段______cm，______cm（用含有的代数式表示）；
(2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？
(3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？
19．如图，在中，，，在的延长线上取点，以为斜边作等腰，交于点，延长交于点．
(1)求的度数．
(2)当点是的中点时，求证：．
(3)取的中点，连接，如图，判断的形状，并说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，线段与轴的夹角为，过点作轴的平行线交轴于点．点为轴正半轴上一点，点为直线上点右侧一动点，连接．设线段的长度为，线段的长度为．
(1)若，．
①求点的坐标；
②如图2，过点作于点，求的值．
(2)如图3，连接交于点．记，，，的面积分别为，，，且满足．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若此时四边形的面积为，，且，求，的值．
《第18章平行四边形过关练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A A B A B B
1．A
【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键．
根据矩形的判定方法即可得到结论．
【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意．
故选：A．
2．D
【分析】根据题意直接证明，进而得，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是平行四边形，得，，则有，，根据等腰三角形的性质得出，从而有．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质、定理．延长交于点，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果．
【详解】解：延长交于点，
∵
∴
在中
∴
∴
又∵
∴是的中位线
∵
∴
∴
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长．
【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2，
丙纸片的边长为，
丁纸片的宽为，
∵丁纸片的面积为，
丁纸片的长为，
乙纸片的边长为，
甲纸片的边长为，
故选：B．
6．A
【分析】如图，设交于点，取的中点，连接，证明，推出，再证明即可．
【详解】解：如图，设交于点，取的中点，连接，
，，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
7．B
【分析】本题考查全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由正方形和全等三我的性质求得，，，再由勾股定理求得，，即可求解．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
由题意，得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．B
【分析】证明，则，得到，，证明，进一步得到．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得．
【详解】∵， 点D为的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
10．1
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
连接，结合等腰直角三角形的性质求出，，根据角的和差求出，利用证明，则，进而求出阴影部分面积，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，，点是边的中点，
，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
阴影部分面积，
，，
∴，
阴影部分面积，
故答案为：1．
11．
【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长．
【详解】解：∵矩形的边沿折痕折叠，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】过点作，交于点，过点作于，由平行线和折叠的性质可得，即得，设，则，在中，利用勾股定理可得，即得，得到，，进而由三角形面积得，又由四边形是矩形得，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交于点，过点作于，则，，
∵，
∴，
由折叠得，，，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了作图-基本作图以及矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据题意利用基本作图即可判断垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中， ．
故答案为：．
14．
【分析】根据菱形的性质结合等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质及勾股定理求出，，证明，即，得到，求出，即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分交于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、多边形内角和的应用、全等三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）根据题意证明出，即可得证；
（2）根据已知条件和矩形的性质证明，得到，设，则，在中，由勾股定理得：，
即，解出的值即可求出的长，设，则，在中，根据勾股定理得：，即，解出的值即可求出的长．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【点睛】本题考查了外角的定义，矩形的判定与性质，直角三角形全等的判定，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
16．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，则有，然后问题可求证；
（2）由（1）可得，则有，然后可得，进而问题可求证．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点、分别是、边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：由（1）可知：四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．说法正确，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作，交于点．只要证明四边形是平行四边形且即可．
【详解】解：正确．
理由：过点作，交于点，则，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
18．(1)，
(2)或
(3)
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，利用分类讨论是解题的关键．
（1）用含t的代数式分别表示和的长；
（2）分两种情况，①若四边形是平行四边形，则,进而求出t的值；②若四边形是平行四边形，则，进而求出t的值；
（3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：运动t秒时，，
故答案为：t；．
（2）由（1）可得：，，
当四边形为平行四边形时，
∵，
∴，
即，
解得；
当四边形为平行四边形时，
∵，
∴，
即，
解得；
综上所述：为12或9时，所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形，
故答案为：12或9．
（3）解：由（1）可得：，，，
设边上的高为，依题意得，
∴
解得：
答：直线运动秒后将四边形截得两个面积相等的四边形．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（）由等腰直角三角形的性质得，进而由角的和差关系即可求解；
（）过点作交的延长线于点，可证，得到，又由是等腰直角三角形得，进而即可求证；
（）过点作于点，连接，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可得，进而可得，，为等边三角形，即得，，即得，即可求证．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交的延长线于点，
则，，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：为等腰直角三角形，理由如下：
过点作于点，连接，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点是的中点，
，
∵，
∴，
∴，
∴，，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．(1)①；②180
(2)①四边形是平行四边形，理由见解析；②的值为，的值为
【分析】（1）①根据含30度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，由此即可得；
②先根据平行线间的距离可得点到的距离等于点到的距离，即为，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（2）①先求出，再设，根据三角形的面积公式可得，，，从而可得，，，然后根据的边上的高与的边上的高之和等于建立等式，化简整理可得，最后根据平行四边形的判定即可得；
②根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可得，再利用完全平方公式求出和的值，从而可得和的值，然后解二元一次方程组即可得．
【详解】（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得，
所以的值为，的值为．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、完全平方公式、二元一次方程组的应用等知识，较难的是题（2），熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
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