第12章复数章末检测卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册

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第12章复数章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若复数，则（ ）
A．2 B． C．10 D．
4．已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．5
5．已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A． B．
C． D．
6．复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
7．“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（ ）
A．6 B． C． D．
二、多选题
9．已知是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是实数
B．若为虚数，则是虚数
C．对于任意的复数都是实数
D．
10．已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则是实数
C．若，则是纯虚数 D．若，则
11．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
三、填空题
12．已知i是虚数单位，则复数 ．
13．已知复数，复平面内对应点的坐标为 .
14．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为 .
四、解答题
15．已知复数z满足：
(1)求复数z；
(2)求的值．
16．已知，复数．
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
(2)若z满足，，求的值．
17．已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足.
(1)求实数b的值；
(2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值.
18．已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足
(1)求的值；
(2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
19．已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且．
(1)求复数；
(2)求复数；
(3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根．
《第12章复数章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A A D C B BCD ABC
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】根据复数的四则运算结合共轭复数的定义得出的虚部.
【详解】因为，
所以，
所以，所以的虚部为.
故选：A
2．C
【分析】根据复数的四则运算求得复数，利用复数的几何意义即可判断.
【详解】，
该复数在复平面内对应的点为，位于第三象限．
故选：C．
3．D
【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
4．A
【分析】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果.
【详解】因为，所以点
因为点与点关于直线对称，所以.
所以
故选:A.
5．A
【分析】根据对应点写出复数，再应用复数乘法化简求复数.
【详解】由题设.
故选：A
6．D
【分析】利用复数的三角形式，可得，可求的最大值，进而求得，计算可判断图形的形状.
【详解】，．，
，
当时，取得最大值，
即当，，即，时，取最大值，
此时，．
又，，
．
．
又，
，且，
该图形为等腰三角形．
故选：D．
7．C
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数的除法运算及纯虚数的概念求解.
【详解】复数，
当时，，复数，是纯虚数；
当复数为纯虚数时，有，解得.
则“”是“复数为纯虚数”的充要条件.
故选：C
8．B
【分析】根据复数的向量表示形式，结合复数的几何意义、复数实部定义进行求解即可.
【详解】因为复数4i对应的向量为，
所以 ，
绕点O逆时针方向旋转后变为，
再将模变为原来的倍，得，对应的复数的实部是，
故选：B
9．BCD
【分析】设，，代入进行验证．
【详解】设，
选项A，若，则，不一定是实数，A错；
选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确；
选项C，是实数，C正确；
选项D，设，则
，D正确；
故选：BCD．
10．ABC
【分析】利用复数的代数运算计算可判断ABC，利用赋值法计算可判断D.
【详解】因为，，所以，故A正确；
设，则 ，
所以，故B正确；
设，则，所以，
解得，所以 是纯虚数，故C正确；
，
则
但，故D错误.
故选：ABC.
11．ACD
【分析】A选项，根据模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则和虚部的概念得到B错误；C选项，根据复数的几何意义来判断；D选项，和均为方程的根，由韦达定理求解即可.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，故复数的虚部为，B错误；
C选项，由题意，又，则向量，
故向量对应的复数为，C正确；
D选项，若复数是关于的方程的一个根，
则，故和均为方程的根，
故，
所以，
故，，，D正确.
故选：ACD
12．
【分析】利用复数的除法运算法则计算即可得结果.
【详解】.
故答案为：.
13．
【分析】根据复数的几何意义即可得答案.
【详解】复数在复平面对应的点为.
故答案为：.
14．2
【分析】根据新定义有，结合三角函数的性质求其最大值.
【详解】由题设，
当，即时，的最大值为2.
故答案为：2
15．(1)
(2)
【分析】（1）设，根据，及复数的模长公式，可求得、的值，即可求得；
（2）将代入，先将分子的复数平方化简，再将分母实数化求的值.
【详解】（1）设，而，即，
即，
则，解得，所以.
（2）
.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解.
（2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解.
【详解】（1）复数在复平面内对应的点为，
由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，
所以的取值范围是.
（2）依题意，，
又，则，解得，
，
所以.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算求解.
（2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可.
【详解】（1）依题点 在第四象限，则，由，得，即，所以,
（2）由(1)知，，由复数z是关于x的方程的根，
得，
整理得，而，
因此, 解得所以
18．(1)；
(2).
【分析】（1）令且，根据已知等量关系得，进而求复数的模；
（2）由已知有，结合其所在象限列不等式组求参数范围.
【详解】（1）令且，则，
所以，则，可得，
所以，则；
（2）由，
故对应点在第三象限，则，
所以，即.
19．(1)
(2)
(3)，，另一根为
【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解；
（2）根据复数的除法的运算求解；
（3）将代入方程运算求出，代回方程求解.
【详解】（1），
所以复数的共轭复数为．
（2）因为，
所以
所以.
（3）若是关于的方程的一个根，则，
即，
所以
解得：，，
则，即，
所以方程另一根为．
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