第11章解三角形章末检测卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册

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第11章解三角形章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若锐角三角形三边长分别为，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）．
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
4．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，.则（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）

A． B．
C．－1 D．－1
7．在中，，，点在的内部，的延长线与交于点，若，则的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在中，角的对边分别为，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．的内角所对的边分别是，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则是钝角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是直角三角形
11．如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．四边形ABCD的面积为
C．外接圆的周长为 D．
三、填空题
12．在中，内角所对的边分别为，且，则 .
13．在中，内角所对的边分别为，若，，则的面积为 ．
14．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 .
四、解答题
15．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求.
16．在中，，，分别是角，，所对的边，且满足.
(1)求角的大小；
(2)设向量，向量，且，判断的形状.
17．记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求；
(2)求的最大值．
18．养殖户承包一片靠岸水域，如图为直岸线，，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.
(1)求岸线上点与点之间的直线距离；
(2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，求的取值范围.
19．设函数．
(1)当时，求函数的最小值并求出对应的；
(2)在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围．
《第11章解三角形章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版2019必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B D C C B BCD AD
题号 11
答案 BC
1．D
【分析】根据题意，分与，结合余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由三角形的三边关系可得，解得，
当时，长边所对的角为最大角，由三角形为锐角三角形可得，
，解得，且，则；
当时，长边所对的角为最大角，由三角形为锐角三角形可得，
，解得，且，则；
综上所述，.
故选：D
2．B
【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：中，，
，
即，化简得，
解得或（不合题意，舍去），
，
故选：B．
3．B
【分析】利用余弦定理角化边，然后确定的形状即可.
【详解】因为，
根据余弦定理得，
整理得，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，
故选：B.
4．B
【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可.
【详解】设，则可得，
由，可得B是AC的中点，所以，
而，则，
，中，由余弦定理可得：，
解得：，所以该建筑的高度米.
故选：B.
5．D
【分析】根据已知条件，利用三角形的内角和性质，利用两角差的正弦公式求得角，进而利用正弦定理得解.
【详解】由于三角形的内角和为，即：,已知，所以：，
代入到中，得到：，
展开并化简：,即，
整理得到：，即，
根据正弦定理：,即.
故选：D.
6．C
【分析】在ABC中，由正弦定理得，再在ADC中，由正弦定理得解.
【详解】在ABC中，由正弦定理得，
∴．
在ADC中，，
∴.
故选：C
7．C
【分析】由，，可得，然后由，可得，据此可得答案.
【详解】，因，
则，，得.
又，则，过A，M做BC垂线，垂足为G，F，
则，，又底边相同，
则.
故选：C
8．B
【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解.
【详解】设，则，且，
在中，，
∴，即，
解得．
故选：B．
9．BCD
【分析】由已知和余弦定理可求得，进而求得，即可判断A，B；利用三角形面积公式可求得，判断C；由已知和可得，再由可求得，判断D.
【详解】在中，因为，即，
由余弦定理，
又，所以，，故A错误，B正确；
因为，则，所以，故C正确；
因为， ，，
则，
所以，
因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
10．AD
【分析】由余弦定理易得A项正确；通过举反例，可迅速排除B,C 项，对于D，则先用降幂公式，再用余弦定理，化简后即可判定直角三角形.
【详解】对于A，由余弦定理，，因，故角为钝角，
则是钝角三角形，故A正确；
对于B，若，,显然满足，但此时是直角三角形，故B错误；
对于C，若，显然满足，但此时是直角三角形，故C错误；
对于D，由可得，，即得，，
由余弦定理，，整理得，，故是直角三角形，即D正确.
故选：AD.
11．BC
【分析】利用向量的坐标运算求得即可求解选项A；根据四边形的面积为求解选项B；利用正弦定理求解选项C；利用向量数量积公式求解选项D.
【详解】由题意可得，
所以，故A错误；
过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，过点D作x轴的垂线，设垂足为点F，
，
则四边形的面积为
=，故B正确；
因，
在直角三角形中，易得，
设外接圆的半径为R，由正弦定理，，解得，
故外接圆的周长为，故C正确；
因，，
，故D错误.
故选：BC．
12．3
【分析】由余弦定理即可求解；
【详解】由余弦定理知，
即，
整理得，解得.（负值舍去）
故答案为：3
13．
【分析】由正弦定理边角转化得，结合余弦定理可得，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】∵，∴由正弦定理得，
∴，即，
∴，即，
由正弦定理得，
∵，∴，
由余弦定理得，得，
∴的面积．
故答案为：．
14．
【分析】过作于，设，则有，从而可得，，在中，可得，从而解得，再由求解即可.
【详解】解：过作于，如图所示：
设，
由题意可知设，
则有，,
所以，
解得，
所以，
在中，，
所以，
所以.
故答案为：
15．(1)
(2).
【分析】（1）对给定式子合理变形，结合余弦定理求解角度即可.
（2）利用三角形面积公式求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，求解边长即可.
【详解】（1）因为，所以，
整理得，则，
由余弦定理得.
又，解得.
（2）由的面积为，得，
即，解得，
由余弦定理得，
因为，，所以，
即，而，解得.
16．(1)
(2)是以为直角的直角三角形.
【分析】（1）用余弦定理可求角；
（2）根据向量平行的结论，可求角，进而判断的形状.
【详解】（1）由余弦定理：，
又为三角形内角，所以
（2）由（1）可得：，
因为，所以或（因为，不成立，故舍去）.
所以，所以.
所以是以为直角的直角三角形.
17．(1)
(2)．
【分析】（1）由倍角公式结合正弦定理即可求；
（2）由正弦定理边化角，由为锐角三角形得出的范围，利用正弦型函数性质即可求.
【详解】（1）因为，所以．
又为锐角三角形，故，则．
因为，所以．
又，故．
（2）由正弦定理得，
则，．
由（1）知，则．
所以
，
因为为锐角三角形，
所以，所以，
所以，
所以当时，即时，取得最大值．
18．(1)千米
(2)
【分析】（1）由余弦定理，结合题意，可得答案；
（2）由正弦定理，表示出边，整理利润的三角函数表达式，可得答案.
【详解】（1）在中，由余弦定理，得
即岸线上点A与点之间的直线距离为千米.
（2）在中，设，
，
故有，
，
设两段网箱获得的经济总收益为万元，则
，
故的取值范围为.
19．(1)当时，函数取到最小值为
(2)
【分析】（1）先对函数化简，得到，再利用函数的图像与性质即可求出结果.
（2）利用（1）中条件求出角，再利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式和三角形任何两边之和大于第三边，即可求得周长的范围.
【详解】（1）因为
，
因为，所以，
由的图象与性质知，当，即时，函数取到最小值为，
即当时，函数的最小值为，此时．
（2）因为，由（1）得到，
，
即，又在中，则，
所以，即，
又，由余弦定理，得到，
又由基本不等式知，，当且仅当取等号，
所以，则，
又因为，所以，
所以周长的取值范围为．
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