江苏省南京市2025年中考数学模拟测试卷（含解析）

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江苏省南京市2025年中考数学模拟测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 ，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某班在班会课上开展有关社会热点的讨论会，将“直播短视频”、“以色列与加沙”、“游戏代练”、“日本排核污水”写在四张卡片上（形状和大小完全相同），小红想从这四张卡片中随机选一张，并开展主题讨论，则选中“以色列与加沙”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，是的直径，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点都在反比例函数的图象上．过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为；过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论：
， ，若，则实数的取值范围是，当，为非负整数时，有，．其中，正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
7．要使有意义，的取值范围是 ．
8．若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是 边形．
9．如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，作直线分别交于点，若，则的度数是 ．
10．在平面直角坐标系中，点A的坐标是．作点A关于x轴的对称点，得到点，再将点向下平移 4个单位，得到点，则点的坐标是 ．
11．如图，在中，，弦的长为，求扇形的面积是 ．
12．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是，这个数用科学记数法表示是 ．
13．从五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则二次函数图象开口向上的概率是 ．
14．甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 （填“甲”或“乙”或“丙”）
15．如图，点是正方形的边上一点，过点作，交射线于点，连接交于点，则 ，若，则 ．
16．如图，在矩形中，，点F是上一点，且．半圆 O的圆心O在上，且直径．将半圆O绕点F逆时针旋转，当半圆O与矩形的边相切时，的值为 ．
三、解答题
17．（1）计算：
（2）化简：，
18．如图，是上一点，，，平分，求证：．
19．如图，在中，，点D在边上，且．

(1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作的平行线，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)求线段的长．
20．为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，用列表或树状图法求甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
21．袁师傅计划在鄂邑区农业合作社承包8个大棚用于种植香瓜和甜瓜，她根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种，并预测明年香瓜产量2000斤/每棚，销售价格12元/每斤，成本为8000元/每棚；甜瓜产量4500斤/每棚，销售价格3元/每斤，成本为5000元/每棚．现假设袁师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为个，明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为元．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)求出袁师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于10万元
22．如图，内接于，是的直径的延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线
(2)若的半径为，，求的长和的值；
(3)过圆心作的平行线交的延长线于点．若，，求的半径．
23．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔的南偏东方向上的避风港处．
(1)问避风港处距离灯塔有多远．
(2)如果轮船的航速是海里时，问轮船能否在小时内赶到避风港处．参考数据：，，，
24．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
(1)若ADBC，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换(1)中的“ADBC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 (填写满足要求的所有条件的序号)．
25．若直线与函数的图象存在至少一个交点，则称该函数是直线的“关联函数”，它们的交点叫做“关联点”．已知点的坐标为．
(1)若直线为：，它的“关联函数”的图象也是一条直线：，求“关联点”点的坐标；
(2)若直线，它的“关联函数”为：，且“关联点”只有一个恰好是点，求和的值；
(3)若抛物线，满足：对于抛物线上的任意两点，，当时，始终成立．且抛物线是直线的“关联函数”，“关联点”也是点和另一点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求的值．
26．【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______；
（2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，请求出的长．
27．定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数．
(1)试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由；
(2)已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式；
(3)如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标．
《江苏省南京市2025年中考数学模拟测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C C B D B
1．C
【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解．
【详解】解：若，
，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故选：C ．
2．C
【分析】本题考查了利用概率公式求概率，直接利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵四张卡片中有一张卡片是“以色列与加沙”，
∴选中“以色列与加沙”的概率是．
故选C．
3．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据等等腰三角形的三线合一得，，进而得，再根据直角三角形的性质得，即可得出结论．
【详解】解：∵在中，，
∴，，A、B正确，不符合题意；
∴是线段的垂直平分线，
∴，D正确，不符合题意；
在，是斜边，是直角边，，
∴C错误，符合题意．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查的是圆周角定理．根据邻补角的定义求出的度数，根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键．
根据题意得到，，由此即可求解．
【详解】解：点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为，
∴，
过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，
∴，
∴，
故选：D ．
6．B
【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用；由新定义得，即可判断；当时，由新定义即可判断；由新定义得，即可判断； 由，为非负整数时，不影响四舍五入，即可判断；当，时，即可判断；理解新定义是解题的关键．
【详解】解：，
，
故此项正确；
当时，
，
，
，
故此选项错误；
，
，
解得：；
故此项正确；
，为非负整数时，不影响四舍五入，
，
故此项正确；
当，时，
，
，
，
故此项错误；
故选：B．
7．
【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，先根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案．
【详解】解：有意义，
，
解得：，
故答案为：．
8．十/
【分析】本题考查凸多边形的外角和与内角和．根据任意凸多边形的外角和都为，内角和都为（其中n为边数），再结合题意列出等式，求出n即可．
【详解】解：设这个多边形是n边形，则依题意得：
，
解得，
故这个多边形是十边形．
故答案为：十．
9．/度
【分析】本题主要考查垂直平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的定义是解题的关键．由题意得到是的垂直平分线，根据求出，即可得到，求出，即可得到，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：是的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称和平移，正确求出点的坐标是解题的关键．先根据关于x轴对称的点纵坐标互为相反数，纵坐标相同得到，再根据点坐标的平移规律求出的坐标即可．
【详解】解：∵点A 的坐标是，作点A 关于x轴的对称点，得到点，
，
∵将点 向下平移4个单位，得到点 ，
∴点的坐标是：．
故答案为：．
11．/
【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形以及扇形的面积，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形；
先过点过点O作，根据垂径定理，可得出的长，再由余弦函数求得的长；再利用扇形的面积公式即可解答；
【详解】解：过点O作，
∵，
∴．
，，
，
在中，
，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
13．/0.6
【分析】本题考查了二次函数的性质，简单事件的概率；根据二次函数图象性质知，当时，函数图象开口向上；五个数中任取一个有5种等可能的情况，其中取到正数的有3种等可能的情况，从而可求得概率．
【详解】解：由题意知，当时，二次函数图象开口向上；
而五个数中任取一个有5种等可能的情况，其中取到正数的有3种等可能的情况，
所以二次函数图象开口向上的概率为；
故答案为：．
14．乙
【分析】本题考查了根据方差判断数据的稳定性；方差越小，数据的波动程度越小；比较三人训练成绩的方差大小即可判断稳定性．
【详解】解：由于三人的平均成绩都是环，且，
所以乙的训练成绩更稳定；
故答案为：乙．
15．
【分析】根据四边形是正方形，得出，，证明，得出，，即可得，证明，得出，根据，设，则，得出，即可得，，即可证明．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
16．或
【分析】本题考查矩形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形，分半圆O与相切和半圆与相切，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵半圆 O的圆心O在上，且直径，
∴，
将半圆O绕点F逆时针旋转，当半圆O与矩形的边相切时，
①当半圆O与相切于点时，如图，
则：，，
过点作，
∵矩形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当半圆与相切于点时，连接，延长交于点，则：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
17．（1） （2）
【分析】本题考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及绝对值的意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式以及平方差公式计算，去括号合并同类项即可得到结果．
【详解】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
．
18．见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而由可得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握作图方法是关键．
（1）利用同位角相等，两直线平行，在点D处作一个角等于即可；
（2）由（1）知，证明，得到，根据，即可求解．
【详解】（1）解：作图如图所示．

（2）解：如图，∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
20．(1)100，见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得本次被调查的学生人数（人），
喜爱足球的人数为：（人），
条形图如图所示，
；
（2）解：“羽毛球”人数所占比例为：，
所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数，
（3）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（甲、乙两人被选中）．
21．(1)
(2)袁师傅种植的8个大棚中至少有5个大棚种植香瓜
【分析】此题是一次函数的应用，主要考查了一次函数的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据数量关系，列出函数关系式；（2）根据题意建立不等式，是一道基础题目．
（1）利用总利润种植香瓜的利润＋种植甜瓜的利润即可得出结论；
（2）利用（1）得出的结论大于等于100000建立不等式，即可确定出结论．
【详解】（1）解：由题意，得，
；
（2）解：由题意，可知．
，
∴袁师傅种植的8个大棚中至少有5个大棚种植香瓜．
22．(1)见解析；
(2)1，；
(3)3．
【分析】本题考查了切线的判定、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角函数等，解题的关键是证明相似三角形．
（1）由等腰三角形的性质得到，再证明，即可得到结论；
（2）证明，得到，求出即可得到答案；
（3）根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，得到，求出即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，，
，
；
，，
，
，
在中，，
；
（3）解：∵，
，
，，
，
设，则，
，
是直角三角形，
在中，，
，
解得，，
，即的半径为．
23．(1)海里
(2)能
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；
（1）如图，过点作于点，则．解，，求得，即可求解；
（2）解，得出，进而根据，求得的距离，根据路程除以速度，即可求解．
【详解】（1）由题意得，，海里．
如图，过点作于点，则．
在中，，
海里．
在中，，
海里．
答：避风港处距离灯塔约海里．
（2）如图，在中，
海里．
在中，，海里，
海里，
海里．
小时，
故轮船能在小时内赶到避风港处．
24．(1)见解析
(2)①②
【分析】（1）由△ABE≌△ADF，得到∠B=∠D，AB=AD，再由ADBC，得到∠D+∠BCD=180°，从而得∠B+∠BCD=180°，所以ABCD，即可得四边形ABCD是平行四边形，最后由菱形的判定定理即可得出结论；
（2）由△ABE≌△ADF，得到∠B=∠D，AB=AD，再分别加条件①②，证四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形；加条件③，举反例，如铮形，满足条件，不能满足结论，即可说明加条件①②可以证明，加条件③不能证明．
【详解】（1）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B=∠D，AB=AD，
∵ADBC，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴ABCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解： ∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABC=∠ADC，AB=AD，
若选择的条件是①∠BAD＝∠BCD，
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD =180°，
∴ADBC，ABCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故可选①；
若选择的条件是②AB＝CD；
连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠CBD=∠CDB，
∴BC=CD，
∵AB=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故可选②；
若选择的条件是③BC＝CD．
如图，铮形ABCD中，
△ABE≌△ADF，BC=CD≠AB，
四边形ABCD不是菱形，故选③不能证明四边形ABCD是菱形；
∴证明四边形ABCD是菱形，可以选择的条件是①②，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
25．(1)；
(2)，或，；
(3)．
【分析】（）联立，然后解出方程的解即可；
（）联立联立，得，然后分当时和当时两种情况，求出的值即可；
（）由时，始终成立，则抛物线的对称轴为直线，即，由关联点的坐标为，则抛物线解析式为，直线解析式为，联立，求出点的坐标为，设圆的半径为，又圆恰好与轴相切，则，然后求出的值即可．
【详解】（1）解：联立，
解得:，
∴；
（2）∵直线的“关联函数”为且“关联点”只有一个恰好是点，
∴，
∴，，
联立，
得，
当时，
∴，
当时，
∴，
∴；
∴，
综上可知：，或，；
（3）解：∵当时，始终成立，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵关联点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，
整理得，
∵，
∴解得：，，
∴点的坐标为，
设圆的半径为，
∵以为直径的圆，点的坐标为，
∴，圆心坐标为，
∵圆恰好与轴相切，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义下的二次函数的综合运用，理解新定义，切线的性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
26．（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键：
（1）证明，根据相似三角形的性质即可得出答案；
（2）过点作于点，得出，证明，可得出答案；
（3）过点作于点，过点作，交延长线于点，先得出，再得出，设，则，得出，根据相似三角形的性质得出，得出，在求出x的值即可．
【详解】解：（1）当时，和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）．
理由：如图，
过点作于点，
，
，，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
．
．
线段绕点顺时针旋转得到线段，
．
．
是以为底边的等腰三角形，，
，．
．
．
．
，
．
设，则，
，
，
．
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
27．(1)存在，，“属合成”函数解析式为
(2)的解析式为或
(3)
【分析】（1）根据“属合成”函数的定义，联立方程组求解即可；
（2）设两函数图象的交点横坐标为和，根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据存在“属合成”函数为，得到，即，可求出，再分类讨论计算即可；
（3）根据题意，结合（2）的计算方法得到，“2属合成”函数解析式为，根据二次函数顶点坐标可得，，如图，作垂线和，可证，设，可求得，可证，求出，，点在以为圆心，为半径的圆上，设，根据数量关系列式求解即可．
【详解】（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，定义新运算，二元一次方程组求解，一元二次方程根与系数的关系，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，数形结合分析思想是解题的关键．
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