人教版2024-2025学年数学九年级下册期中检测卷（含解析）

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期中检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水
B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是
C．水温从加热到需要
D．水温不低于的时间为
4．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C．6 D．12
6．如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．设小明的身高为，则灯杆的高度为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（ ）
A．8 B．12 C．18 D．24
8．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是 （填序号）．
10．已知，则 ．
11．有一块直角边，的的铁片，现要将它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为 ．
12．如图，直线与双曲线相交于点和点，则不等式的解集为 ．
13．如图，在矩形中，连接，过点C作，分别交，于点E，F．若，，则的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ．

15．如图，在中，，，，点D为边上一点，连接，将沿翻折得到，当与的直角边垂直时，的长为 ．
16．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，已知点B，C关于原点对称，则的面积为 ．
三、解答题
17．已知与成反比例，且当时，．
(1)求与的函数关系式；
(2)当时，的值是多少？
18．为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充一定量气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积反比例函数，其图象如图所示．
(1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围）
(2)若气球内气体的压强为，则此时气体的体积为多少立方米？
19．古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则，它是几何学中一大瑰宝．
(1)如图①，若，点是线段的黄金分割点（），求线段的长．
(2)如图②，在中，，，是的平分线，求证：点是线段的黄金分割点．
20．如图，在中，点是上（异于点、）的一点，恰好经过点、，垂足为点，且平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若，求的半径长．
21．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点N．
(1)求一次函数的关系式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式中x的取值范围．
22．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为、、．
(1)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且位似比为2；
(2)求的坐标；
(3)求的面积．
23．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积．
24．【问题呈现】
（1）如图，和都是等边三角形，连接、．则与之间的数量关系为_______；
【类比探究】
（2）如图，和都是等腰直角三角形，，连接、．则______；
【拓展提升】
（3）如图，和都是直角三角形，，且．连接，延长交于点，交于点．
求的值；
若，请求出的长．
《期中检测卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D C A A C A
1．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、，，，故A不符合题意；
B、，，，故不符合题意；
C、由图形可知，，，
，，
，
，
，故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意可得，代入数据求出，即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键．
【详解】解：∵直线，直线和被，，所截，
∴，即，
∴，
∴，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息．
【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则，
，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意；
B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得，
水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意；
C、开机加热时水温每分钟上升，
水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意；
D、水温从加热到所需要的时间为，
令，则，解得，
水温不低于的时间为，故D选项符合题意．
故选：D．
4．C
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：，
∴
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴
即小孔到的距离为，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得．
【详解】解：设点A的坐标为，则，，，
∵是的中位线，
∴，，
∵的面积为3，，
∴，即，
∴，
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，理解相似三角形的对应线段成比例是解题的关键．
先设米，当小明在、两处时分别得出三角形相似，列出线段对应的比例式，求出，再代入即可求解．
【详解】解：设米， 由相似三角形性质：
当小明在处时，，则，
当小明在处时，，则，
，
解得，，
经检验，是方程的解，
将代入，
解得．
答案：A．
7．C
【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得到，所以，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的图象与一次函数图象与系数的关系可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、三、四象限，
只有选项A符合题意．
故选：A．
9．②③/③②
【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如的函数叫反比例函数；直接根据反比例函数的定义求解即可．
【详解】解：下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是，，
故答案为：②③．
10．5
【分析】本题考查比例的性质，设，，代入即可求解．
【详解】解：，
设，，其中，
，
故答案为：5．
11．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，过点B作，垂足为P，交于Q，等积法求出的长，证明，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，列出比例式，进行求解即可．
【详解】解：，，，
，
如图，过点B作，垂足为P，交于Q．
，
，
，
∵正方形，
，，，
，，
，
，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
设，则：，
∴，
∵，
解得，
∴正方形的边长为：；
故答案为：．
12．或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键．
观察函数图象得到当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即的解集．
【详解】解：∵直线与双曲线相交于点和点，
∴由函数图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴不等式的解集为或．
故答案为：或．
13．
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形相似，解题的关键是熟悉矩形的性质和三角形相似的性质和判定．
根据矩形的性质可得，根据可得，再证明，根据相似比即可解得．
【详解】∵四边形为矩形，，
∴，，
∴，
，，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴ ，
即 ，
∴，
∵，
，
∴，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．5
【分析】本题主要考查了反比例函数的的意义，设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
设点的坐标为，
，
，
点，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
15．2或6
【分析】分两种情况讨论：①当时，延长交于点，由勾股定理可得，利用折叠的性质和角平分线的性质定理，得到，证明，从而设，，则，再证明，求出的值，即可得解；②当时，令与的交点为，由折叠和等腰三角形的性质，得到，即可得解．
【详解】解：①当时，延长交于点，
，，，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，，平分，
，
，
，
，
，
设，，则，
，
，
，，
，
，
，
，
；
②当时，令与的交点为，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
综上可知，的长为2或6，
故答案为：2或6．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
16．5
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据题意先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，轴于点，
，
点，关于原点对称，
，
．
故答案为：5．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，已知自变量的值，求函数值，正确求得解析式是解决本题的关键．
（1）首先设，再把 ，代入，即可求得k，即可求得与的函数关系式；
（2）把代入解析式，即可求得对应的的值．
【详解】（1）解：设，
因为当时，，
所以有，
解得 ，
所以．
（2）解：当 时，
．
18．(1)反比例函数的表达式为；
(2)此时气体的体积为立方米．
【分析】（）利用待定系数法求函数解析式即可；
（）当时，求出的值即可；
此题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为，
∵点在图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：当时，
，
∴，
答：此时气体的体积为立方米．
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由点是线段的黄金分割点（）可得，设，则，于是可得，解方程即可求出线段的长；
（2）由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，进而可得，，由此可证得，于是可得，由三角形的内角和定理可得，且，由等角对等边可得，，进而可得，因而可得，于是结论得证．
【详解】（1）解：点是线段的黄金分割点（），
，
设，则，
，
整理，得：，
解得：或（不合题意，故舍去），
经检验，是原分式方程的解，
，
即：线段的长为；
（2）证明：，，
，
是的平分线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点是线段的黄金分割点．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分式方程的其它实际问题，三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义等知识点，深刻理解黄金分割的定义是解题的关键．
20．(1)与相切，详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，
对于（1），根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，即可得，再根据平行线的性质得，即可得答案；
对于（2），先设的半径为，再根据勾股定理求出，然后说明 ，接下来根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
【详解】（1）解：与相切．
理由如下：如图，连接，
，
.
平分，
，
，
，
.
，
，
，
与相切；
（2）解：设的半径为．
，
．
由（1）知，，
又，
，
，
，
，
的半径长为．
21．(1)
(2)6
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求解析式，三角形的面积．
（1）先求出点A的纵坐标和点B的横坐标，再待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）求出点N坐标，根据求解即可；
（3）根据图象即可确定不等式中x的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
∴，，即，
∴点A坐标为，点B坐标为，
将点，点代入，
得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：∵一次函数与y轴交于点N，
∴点N坐标为，
∴，
∴
，
∴的面积为6；
（3）解：根据图象可知，不等式的解集为或．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查坐标与位似图形，熟练掌握位似的性质，是解题的关键：
（1）根据位似图形的性质，作图即可；
（2）根据点的位置，直接写出点的坐标即可；
（3）分割法求出三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图所示，的坐标为；
（3）的面积为：．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等，是解题的关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，，解得，，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，
令，则，
∴记直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
∴，
由题意得：，
∴，同底等高，
∵，
∴．
24．（1）；（2）；（3）； ．
【分析】（1）证明，从而得出结论；
（2）证明，从而得出结论；
（3）先证明　，再证得，进而得出结果；
在的基础上得出，进而，进一步得出结果．
【详解】解：（1）和都是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
（2）和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
；
（3）∵ ，，
，，，
，
，
，
，
设，，，，
由勾股定理：，，
相似比，
；
，，，
，，
在中，
，
由得，
又，
，
，
即，　
解得，，
答：的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
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