第四章数列达标测试卷（含解析）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第四章数列达标测试卷（含解析）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 857.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-26 08:16:51 | ||
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文档简介
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第四章数列达标测试卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列满足，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知等比数列中，，，则公比（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A． B．3 C．9 D．36
4．函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知数列，，，2，，…则该数列的第2025项为（ ）
A．45 B． C．55 D．
6．设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则正实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．为等比数列的前三项，则的可能值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
10．设数列是各项均为正数的等比数列，则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为，第n个图形的边长为，第n个图形的周长为，第n个图形的面积为．则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．数列的前n项和为
三、填空题
12．已知数列的前n项和满足，则 .
13．数列满足，且，则数列的前2024项和为 .
14．数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项 ．
四、解答题
15．在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，.
16．已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
17．设等差数列的前项和为，已知.
(1)求；
(2)记表示不超过的最大整数，如，若，数列的前项和为，求的值.
18．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的的取值集合.
19．已知数列满足．设．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式；
(2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
《第四章数列达标测试卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A B A B C AC ABD
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】根据已知确定为等差数列，再应用等差数列的性质求得、，进而求.
【详解】由，易知为等差数列，
所以，可得，且，可得，
所以.
故选：B
2．B
【分析】根据等比数列的通项公式列方程，可得解.
【详解】设等比数列的公比为，
则，解得.
故选：B.
3．C
【分析】根据等差数列求和公式得到，即可得到，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
又，所以，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：C
4．A
【分析】根据充要条件的要求分别判断即可，若是推不出，则只需举反例.
【详解】因函数的定义域为，函数为减函数，又因数列满足中，,而,则在上必是递减的，
即数列为递减数列，故“函数为减函数”是“数列为递减数列”的充分条件；
反之，数列为递减数列，即在上是递减的，但是在上未必递减.
(如函数在上的函数值都是，显然函数不是减函数，同时对应的数列却是递减数列.)
故“函数为减函数”不是“数列为递减数列”的必要条件.
故选：A.
5．B
【分析】由给定的前5项具有的共同性质写出通项公式，进而求出第2025项.
【详解】依题意，该数列的奇数项为负数、偶数项为正数，各项绝对值是项数的算术平方根，
因此该数列的第项为，所以该数列的第2025项为.
故选：B
6．A
【分析】根据给定条件，利用递增数列的定义列式求解即得.
【详解】由数列为递增数列，得，，而，
则，，而恒成立，则，
所以正实数的取值范围为.
故选：A
7．B
【分析】利用等差数列、等比数列的定义及求和公式计算即可.
【详解】因为，所以，
因为为等比数列，，公比所以，
因为为等差数列，，公差，所以，
根据题意，，
所以
.
故选：B.
8．C
【分析】不妨取，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】不妨取，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
所以，，
整理可得，解得.
故选：C.
9．AC
【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求解即得.
【详解】由为等比数列的前三项，得，所以或.
故选：AC
10．ABD
【分析】设公比为，A选项，根据等比数列通项公式基本量计算出，A正确；BD选项，根据等比数列的定义作出判断；C选项，举出反例.
【详解】设等比数列的首项为，公比为．
对于A，，
所以，则成等比数列，A正确；
对于B，因为，所以是等比数列，B正确；
对于C，不妨设等比数列为，则，不是等比数列，C错误；
对于D，因为，所以是等比数列，D正确．
故选：ABD．
11．ABD
【分析】根据给定的图形作法，探讨各自的变化规律，计算判断即得.
【详解】对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形，
得第个图形，则原来每条边变为4条，即，而，因此，A正确；
对于B，第2个图形在第1个图形外增加3个边长为的正三角形，
第3个图形在第2个图形外增加12个边长为的正三角形，而所有正三角形都相似，
则，B正确；
对于C，由作法知，，而，则，，C错误；
对于D，由选项AC知，，
所以数列的前n项和为，D正确.
故选：ABD
12．
【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解.
【详解】令，得，得，
，当时，，两式相减得，
，即，即，
所以数列是以首项，公比为2的等比数列，
所以.
故答案为：
13．
【分析】由运用迭代法求出，则，利用裂项相消法即可求得的前2024项和.
【详解】由可得，
则，
则，
故数列的前2024项和为.
故答案为：.
14．
【分析】由已知条件可得，解得，即可得到答案.
【详解】设数列的公比为，则，且，
由已知得，
化简，得，解得，
所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）降次作差即可得到，最后验证即可；
（2）求出前12项的每一项，最后求和即可.
【详解】（1）当时，，①，
所以当时，②，
①②得，
即也满足该式，所以.
（2）由（1）知，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
依次类推，可知.
所以数列的前12项和为.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，列出方程并求出公比，进而求出通项公式.
（2）由（1）求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，，
由成等差数列得，即，
而，则，解得，
又，即，解得，
所以.
（2）由（1）知，则，，，
所以
.
17．(1)
(2)
【分析】（1）设公差为求出，再由等差数列的定义得是等差数列，结合求出可得答案；
（2）求出，由裂项相消求和可得答案.
【详解】（1）因为为等差数列，设公差为，
所以，，
所以，
时，，
所以是公差为的等差数列，
所以，
解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以
所以.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组，求出首项及公差即可.
（2）由（1）的结论，求出前项和并化简不等式，解不等式即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，，
得，解得，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，
由，得，整理得，
显然，则由，解得，
所以满足条件的n的取值集合为.
19．(1)证明见解析，；
(2)
【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）求得，推得递减，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
【详解】（1）证明：由，
可得，
即数列是首项和公比均为3的等比数列，
则，即；
（2）数列，
则，
可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立，
可得，即有，即的取值范围是.
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第四章数列达标测试卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列满足，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知等比数列中，，，则公比（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A． B．3 C．9 D．36
4．函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知数列，，，2，，…则该数列的第2025项为（ ）
A．45 B． C．55 D．
6．设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则正实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．为等比数列的前三项，则的可能值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
10．设数列是各项均为正数的等比数列，则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为，第n个图形的边长为，第n个图形的周长为，第n个图形的面积为．则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．数列的前n项和为
三、填空题
12．已知数列的前n项和满足，则 .
13．数列满足，且，则数列的前2024项和为 .
14．数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项 ．
四、解答题
15．在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，.
16．已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
17．设等差数列的前项和为，已知.
(1)求；
(2)记表示不超过的最大整数，如，若，数列的前项和为，求的值.
18．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的的取值集合.
19．已知数列满足．设．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式；
(2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
《第四章数列达标测试卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A B A B C AC ABD
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】根据已知确定为等差数列，再应用等差数列的性质求得、，进而求.
【详解】由，易知为等差数列，
所以，可得，且，可得，
所以.
故选：B
2．B
【分析】根据等比数列的通项公式列方程，可得解.
【详解】设等比数列的公比为，
则，解得.
故选：B.
3．C
【分析】根据等差数列求和公式得到，即可得到，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
又，所以，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：C
4．A
【分析】根据充要条件的要求分别判断即可，若是推不出，则只需举反例.
【详解】因函数的定义域为，函数为减函数，又因数列满足中，,而,则在上必是递减的，
即数列为递减数列，故“函数为减函数”是“数列为递减数列”的充分条件；
反之，数列为递减数列，即在上是递减的，但是在上未必递减.
(如函数在上的函数值都是，显然函数不是减函数，同时对应的数列却是递减数列.)
故“函数为减函数”不是“数列为递减数列”的必要条件.
故选：A.
5．B
【分析】由给定的前5项具有的共同性质写出通项公式，进而求出第2025项.
【详解】依题意，该数列的奇数项为负数、偶数项为正数，各项绝对值是项数的算术平方根，
因此该数列的第项为，所以该数列的第2025项为.
故选：B
6．A
【分析】根据给定条件，利用递增数列的定义列式求解即得.
【详解】由数列为递增数列，得，，而，
则，，而恒成立，则，
所以正实数的取值范围为.
故选：A
7．B
【分析】利用等差数列、等比数列的定义及求和公式计算即可.
【详解】因为，所以，
因为为等比数列，，公比所以，
因为为等差数列，，公差，所以，
根据题意，，
所以
.
故选：B.
8．C
【分析】不妨取，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】不妨取，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
所以，，
整理可得，解得.
故选：C.
9．AC
【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求解即得.
【详解】由为等比数列的前三项，得，所以或.
故选：AC
10．ABD
【分析】设公比为，A选项，根据等比数列通项公式基本量计算出，A正确；BD选项，根据等比数列的定义作出判断；C选项，举出反例.
【详解】设等比数列的首项为，公比为．
对于A，，
所以，则成等比数列，A正确；
对于B，因为，所以是等比数列，B正确；
对于C，不妨设等比数列为，则，不是等比数列，C错误；
对于D，因为，所以是等比数列，D正确．
故选：ABD．
11．ABD
【分析】根据给定的图形作法，探讨各自的变化规律，计算判断即得.
【详解】对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形，
得第个图形，则原来每条边变为4条，即，而，因此，A正确；
对于B，第2个图形在第1个图形外增加3个边长为的正三角形，
第3个图形在第2个图形外增加12个边长为的正三角形，而所有正三角形都相似，
则，B正确；
对于C，由作法知，，而，则，，C错误；
对于D，由选项AC知，，
所以数列的前n项和为，D正确.
故选：ABD
12．
【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解.
【详解】令，得，得，
，当时，，两式相减得，
，即，即，
所以数列是以首项，公比为2的等比数列，
所以.
故答案为：
13．
【分析】由运用迭代法求出，则，利用裂项相消法即可求得的前2024项和.
【详解】由可得，
则，
则，
故数列的前2024项和为.
故答案为：.
14．
【分析】由已知条件可得，解得，即可得到答案.
【详解】设数列的公比为，则，且，
由已知得，
化简，得，解得，
所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）降次作差即可得到，最后验证即可；
（2）求出前12项的每一项，最后求和即可.
【详解】（1）当时，，①，
所以当时，②，
①②得，
即也满足该式，所以.
（2）由（1）知，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
依次类推，可知.
所以数列的前12项和为.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，列出方程并求出公比，进而求出通项公式.
（2）由（1）求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，，
由成等差数列得，即，
而，则，解得，
又，即，解得，
所以.
（2）由（1）知，则，，，
所以
.
17．(1)
(2)
【分析】（1）设公差为求出，再由等差数列的定义得是等差数列，结合求出可得答案；
（2）求出，由裂项相消求和可得答案.
【详解】（1）因为为等差数列，设公差为，
所以，，
所以，
时，，
所以是公差为的等差数列，
所以，
解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以
所以.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组，求出首项及公差即可.
（2）由（1）的结论，求出前项和并化简不等式，解不等式即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，，
得，解得，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，
由，得，整理得，
显然，则由，解得，
所以满足条件的n的取值集合为.
19．(1)证明见解析，；
(2)
【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）求得，推得递减，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
【详解】（1）证明：由，
可得，
即数列是首项和公比均为3的等比数列，
则，即；
（2）数列，
则，
可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立，
可得，即有，即的取值范围是.
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