第五章一元函数的导数及其应用章末检测卷（含解析）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必
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| 名称 | 第五章一元函数的导数及其应用章末检测卷（含解析）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-26 08:20:17 | ||
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文档简介
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第五章一元函数的导数及其应用章末检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（ ）
A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量
C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率
2．下列求导运算错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
3．若函数在处可导，则等于（ ）
A． B． C． D．0
4．曲线在点处的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数在时取得极值13，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数（为自然对数的底数），则等于（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，下列说法不正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．若是增函数，则
C．当时，函数恰有两个零点
D．当时，函数恰有两个极值点
三、填空题
12．已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ．
13．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
14．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．车轮旋转的角度（单位：rad）随时间（单位：s）之间的关系为，已知车轮旋转4圈所需时间为．
(1)求时间段内车轮的平均角速度；
(2)求时刻车轮的瞬时角速度．
16．已知函数．
(1)求曲线上任意一点处的切线斜率；
(2)求曲线在点处的切线方程．
17．若函数的导函数满足对恒成立，则称为函数．
(1)试问是否为函数？说明你的理由；
(2)若为函数，求的取值范围．
18．已知函数，其中．
(1)当时，求函数的单调性；
(2)若是函数唯一极值点，求实数的取值范围；
(3)若函数有三个极值点，证明：．
19．已知，函数，其中…为自然对数的底数.
(1)证明：函数在上有唯一零点；
(2)记为函数在上的零点，证明：.
《第五章一元函数的导数及其应用章末检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C C C D B ACD ACD
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】根据导数的几何意义即可得解.
【详解】由导数的几何意义可知，的实际意义是3秒时水管流水量的瞬时变化率.
故选：D.
2．C
【分析】借助求导公式与复合函数求导公式逐项计算即可得.
【详解】对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：C.
3．B
【分析】由导数的定义，结合极限计算，可得答案.
【详解】方法一：
.
方法二：
.
故选：B.
4．C
【分析】由题意得为切点，再利用导数的几何意义即可求得结果.
【详解】由，得到在处切线的斜率为，
故在点处的切线方程为：，整理得：
故选：C
5．C
【分析】由，列出等式求解即可；
【详解】由题可得，
，
解得．经验证符合题意；
故选：C
6．C
【分析】先求出时的导函数，再分别求出和，即可得到目标的值.
【详解】当时，，所以，
所以，，
所以.
故选：
7．D
【分析】由导数确定函数单调性，再结合奇偶性，确定和的解集，进而由或求解即可.
【详解】由题可知在上单调递减．因为是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，又，
所以，
所以当或时，；当或时，．
不等式，即或，
解得或，
所以满足不等式的实数的取值范围为．
故选：D
8．B
【分析】对于A,直接带入，利用导数求单调性；对于B，代入，利用导数求极值点；对于C，通过分离参数，将函数只有两个不等于1的零点转化成函数与的图像有两个交点，对函数求导研究单调性，确定，再通过计算证明两个交点横坐标互为倒数即可得到结果；对于D，先观察函数特征，再将零点问题转化成极值点问题，求导，分类讨论单调性.
【详解】对于A，当时，，则，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，所以在上单调递增，A正确；
对于B，当时，，
则，令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，所以在上单调递增，无极值，B错误；
对于C，令，得，
令，则
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以，当时，单调递增，且；
当时，单调递减，且.
若函数只有两个不等于1的零点，即函数与的图像有两个交点，则不妨取，
当时，，
所以函数与图像的两个交点横坐标互为倒数，即，C正确；
对于D，观察可知：①，所以1是函数的一个零点；②；③函数有三个零点，且函数在上为连续函数，则函数必有两个极值点（不为1）.
因为，所以，设，则，
当时，令，得单调递减；
令，得单调递.
所以，所以在上单调递减，不可能有3个零点.
当，令，得单调递减；
令，得单调递增.
所以.
又因为函数必有两个极值点，即导函数有两个零点，
所以，所以，D正确．
故选：B.
9．ACD
【分析】根据函数的图象确定在处的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论.
【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确；
表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误；
由图可知，故，故C正确；
直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率，
即，所以，D正确.
故选：ACD
10．ACD
【分析】由题意可知,导函数中至少存在两个点,它们的函数值相乘为,才可能是“垂切函数”,求导相乘,逐项判断即可.
【详解】存在,,使成立,A正确．
不存在,,使成立,B错误．
,存在,使得成立,C正确．
存在,，使成立,D正确,
故选:ACD.
11．BD
【分析】利用奇偶性定义计算可判断A；利用导数研究恒成立求得的范围判断B；结合B结论判断C；利用零点存在性定理判断异号零点的个数即可判断.
【详解】A，因为，
则，故A错误；
B，若为增函数，则恒成立，故恒成立，
令，则可得为偶函数，
又，令，则，
所以在上单调递增，又，
所以在上，在上，
即在上递减，在上递增，
故当时，取得最小值，所以，故B正确；
C，当时，为奇函数，且，
当时，恒成立，即在区间上单调递增，
根据奇函数的对称性可知函数在上单调递增，故在上单调递增，
，即只有一个零点，故C错误；
D，当时，为奇函数，
故先考虑时，函数极值存在情况，
则，令，
因为单调递增，则，故单调递增，
且，，故存在使得，
因此，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故为函数在上的唯一极小值点，
根据奇函数的对称性可知，当时，存在为函数在上的唯一极大值点，故D正确.
故选：BD.
12．1
【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值．
【详解】由，得，
因为函数的图象在处的切线与直线垂直，
所以，则．
故答案为：1
13．6
【分析】变形给定的等式，构造函数，利用导数确定单调性可得，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】正实数，，
令，当时，，
函数在上单调递增，又，于是，
，当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最小值6.
故答案为：6
14．
【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得.
【详解】当时，，不等式成立；
当时，，令，依题意，，
求导得，令，求导得，
函数在上单调递增，则，即，
函数在上单调递增，由洛必达法则知，
因此恒成立，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）由已知求得，进而可求平均角速度；
（2）利用可求瞬时角速度.
【详解】（1）车轮旋转4圈的角度，故，
故时间内车轮的平均角速度为．
（2）时刻车轮的瞬时角速度为：
．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率；
（2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程.
【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为，
则由导数的定义，可得
．
即曲线上任意一点处的切线斜率为．
（2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，即．
17．(1)是，理由见解析
(2)
【分析】（1）设，利用函数的单调性结合函数的定义验证即可；
（2）令，令，分析可知，对任意的，，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.
【详解】（1）令，其中，
因为、在上为增函数，故函数在上为增函数，
所以，，
所以，函数是函数.
（2）因为，则，
令，
设，
因为函数为函数，则对任意的，，即，
因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，即当时，则函数在区间上为增函数，
只需，解得，此时，；
当时，即当时，只需，解得，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
18．(1)函数在上单调递减，在上单调递增
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可，
（2）是函数唯一极值点转化成导函数有且仅有一个零点，结合函数图像求解即可；
（3）若函数有三个极值点,通过构造函数，得到设的两个解分别为的情况下，问题转化为即即，即所，即，
从而转化成构造新的函数，结合导数证明即可.
【详解】（1）当时，，
则，
令
当时，单调递增，当时，单调递减，
即当时，取极小值，即最小值
可得，故恒为正，
令可得，令可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2），
分析可得，若函数只有唯一极值点，则函数无变号零点，
令，即，
设函数，则，
令可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，当时，，
作图如下，所以可得，．
（3），
由函数有三个极值点，分析可得，，即有两个不同于3的解，
设的两个解分别为，令函数，
如图所示，现证明，
由图分析可得，，
要证明，即，所以，即，
令，则接下来需证明，其中，
，
所以，即，所以证明成立，，
又因为，所以，证明成立．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题关键在于减元，结合函数的单调性构造新的函数结合导数证明即可.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】1）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；
（2）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式.
【详解】（1）
在上单调递增，
，
所以由零点存在定理得在上有唯一零点；
（2），
，
令
一方面： ，
在单调递增，，
，
另一方面：，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，
因为
当时，，当时，，
所以，
在单调递减，，，
综上，.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
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第五章一元函数的导数及其应用章末检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（ ）
A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量
C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率
2．下列求导运算错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
3．若函数在处可导，则等于（ ）
A． B． C． D．0
4．曲线在点处的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数在时取得极值13，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数（为自然对数的底数），则等于（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，下列说法不正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．若是增函数，则
C．当时，函数恰有两个零点
D．当时，函数恰有两个极值点
三、填空题
12．已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ．
13．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
14．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．车轮旋转的角度（单位：rad）随时间（单位：s）之间的关系为，已知车轮旋转4圈所需时间为．
(1)求时间段内车轮的平均角速度；
(2)求时刻车轮的瞬时角速度．
16．已知函数．
(1)求曲线上任意一点处的切线斜率；
(2)求曲线在点处的切线方程．
17．若函数的导函数满足对恒成立，则称为函数．
(1)试问是否为函数？说明你的理由；
(2)若为函数，求的取值范围．
18．已知函数，其中．
(1)当时，求函数的单调性；
(2)若是函数唯一极值点，求实数的取值范围；
(3)若函数有三个极值点，证明：．
19．已知，函数，其中…为自然对数的底数.
(1)证明：函数在上有唯一零点；
(2)记为函数在上的零点，证明：.
《第五章一元函数的导数及其应用章末检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C C C D B ACD ACD
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】根据导数的几何意义即可得解.
【详解】由导数的几何意义可知，的实际意义是3秒时水管流水量的瞬时变化率.
故选：D.
2．C
【分析】借助求导公式与复合函数求导公式逐项计算即可得.
【详解】对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：C.
3．B
【分析】由导数的定义，结合极限计算，可得答案.
【详解】方法一：
.
方法二：
.
故选：B.
4．C
【分析】由题意得为切点，再利用导数的几何意义即可求得结果.
【详解】由，得到在处切线的斜率为，
故在点处的切线方程为：，整理得：
故选：C
5．C
【分析】由，列出等式求解即可；
【详解】由题可得，
，
解得．经验证符合题意；
故选：C
6．C
【分析】先求出时的导函数，再分别求出和，即可得到目标的值.
【详解】当时，，所以，
所以，，
所以.
故选：
7．D
【分析】由导数确定函数单调性，再结合奇偶性，确定和的解集，进而由或求解即可.
【详解】由题可知在上单调递减．因为是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，又，
所以，
所以当或时，；当或时，．
不等式，即或，
解得或，
所以满足不等式的实数的取值范围为．
故选：D
8．B
【分析】对于A,直接带入，利用导数求单调性；对于B，代入，利用导数求极值点；对于C，通过分离参数，将函数只有两个不等于1的零点转化成函数与的图像有两个交点，对函数求导研究单调性，确定，再通过计算证明两个交点横坐标互为倒数即可得到结果；对于D，先观察函数特征，再将零点问题转化成极值点问题，求导，分类讨论单调性.
【详解】对于A，当时，，则，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，所以在上单调递增，A正确；
对于B，当时，，
则，令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，所以在上单调递增，无极值，B错误；
对于C，令，得，
令，则
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以，当时，单调递增，且；
当时，单调递减，且.
若函数只有两个不等于1的零点，即函数与的图像有两个交点，则不妨取，
当时，，
所以函数与图像的两个交点横坐标互为倒数，即，C正确；
对于D，观察可知：①，所以1是函数的一个零点；②；③函数有三个零点，且函数在上为连续函数，则函数必有两个极值点（不为1）.
因为，所以，设，则，
当时，令，得单调递减；
令，得单调递.
所以，所以在上单调递减，不可能有3个零点.
当，令，得单调递减；
令，得单调递增.
所以.
又因为函数必有两个极值点，即导函数有两个零点，
所以，所以，D正确．
故选：B.
9．ACD
【分析】根据函数的图象确定在处的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论.
【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确；
表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误；
由图可知，故，故C正确；
直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率，
即，所以，D正确.
故选：ACD
10．ACD
【分析】由题意可知,导函数中至少存在两个点,它们的函数值相乘为,才可能是“垂切函数”,求导相乘,逐项判断即可.
【详解】存在,,使成立,A正确．
不存在,,使成立,B错误．
,存在,使得成立,C正确．
存在,，使成立,D正确,
故选:ACD.
11．BD
【分析】利用奇偶性定义计算可判断A；利用导数研究恒成立求得的范围判断B；结合B结论判断C；利用零点存在性定理判断异号零点的个数即可判断.
【详解】A，因为，
则，故A错误；
B，若为增函数，则恒成立，故恒成立，
令，则可得为偶函数，
又，令，则，
所以在上单调递增，又，
所以在上，在上，
即在上递减，在上递增，
故当时，取得最小值，所以，故B正确；
C，当时，为奇函数，且，
当时，恒成立，即在区间上单调递增，
根据奇函数的对称性可知函数在上单调递增，故在上单调递增，
，即只有一个零点，故C错误；
D，当时，为奇函数，
故先考虑时，函数极值存在情况，
则，令，
因为单调递增，则，故单调递增，
且，，故存在使得，
因此，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故为函数在上的唯一极小值点，
根据奇函数的对称性可知，当时，存在为函数在上的唯一极大值点，故D正确.
故选：BD.
12．1
【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值．
【详解】由，得，
因为函数的图象在处的切线与直线垂直，
所以，则．
故答案为：1
13．6
【分析】变形给定的等式，构造函数，利用导数确定单调性可得，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】正实数，，
令，当时，，
函数在上单调递增，又，于是，
，当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最小值6.
故答案为：6
14．
【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得.
【详解】当时，，不等式成立；
当时，，令，依题意，，
求导得，令，求导得，
函数在上单调递增，则，即，
函数在上单调递增，由洛必达法则知，
因此恒成立，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）由已知求得，进而可求平均角速度；
（2）利用可求瞬时角速度.
【详解】（1）车轮旋转4圈的角度，故，
故时间内车轮的平均角速度为．
（2）时刻车轮的瞬时角速度为：
．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率；
（2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程.
【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为，
则由导数的定义，可得
．
即曲线上任意一点处的切线斜率为．
（2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，即．
17．(1)是，理由见解析
(2)
【分析】（1）设，利用函数的单调性结合函数的定义验证即可；
（2）令，令，分析可知，对任意的，，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.
【详解】（1）令，其中，
因为、在上为增函数，故函数在上为增函数，
所以，，
所以，函数是函数.
（2）因为，则，
令，
设，
因为函数为函数，则对任意的，，即，
因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，即当时，则函数在区间上为增函数，
只需，解得，此时，；
当时，即当时，只需，解得，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
18．(1)函数在上单调递减，在上单调递增
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可，
（2）是函数唯一极值点转化成导函数有且仅有一个零点，结合函数图像求解即可；
（3）若函数有三个极值点,通过构造函数，得到设的两个解分别为的情况下，问题转化为即即，即所，即，
从而转化成构造新的函数，结合导数证明即可.
【详解】（1）当时，，
则，
令
当时，单调递增，当时，单调递减，
即当时，取极小值，即最小值
可得，故恒为正，
令可得，令可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2），
分析可得，若函数只有唯一极值点，则函数无变号零点，
令，即，
设函数，则，
令可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，当时，，
作图如下，所以可得，．
（3），
由函数有三个极值点，分析可得，，即有两个不同于3的解，
设的两个解分别为，令函数，
如图所示，现证明，
由图分析可得，，
要证明，即，所以，即，
令，则接下来需证明，其中，
，
所以，即，所以证明成立，，
又因为，所以，证明成立．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题关键在于减元，结合函数的单调性构造新的函数结合导数证明即可.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】1）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；
（2）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式.
【详解】（1）
在上单调递增，
，
所以由零点存在定理得在上有唯一零点；
（2），
，
令
一方面： ，
在单调递增，，
，
另一方面：，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，
因为
当时，，当时，，
所以，
在单调递减，，，
综上，.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
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