第七章复数达标测试卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册

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第七章复数达标测试卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．i是虚数单位，，若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．3
3．已知，则（ ）
A．10 B． C．5 D．
4．已知是虚数单位，且，则实数为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
5．欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知为虚数单位．若复数，那么的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知复数，其中，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设，，为实数，，，方程的两个虚根，满足为实数，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知虚数满足，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第三象限
11．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知复数，其中i为虚数单位，则 ．
13．已知（i为虚数单位，为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为 ．
14．在复平面内，复数 （其中 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限.
四、解答题
15．设复数、、、、．
(1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E；
(2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量．
16．已知复数，其中是实数．
(1)若，求的值；
(2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围．
17．知复数，复数在复平面内对应的点为
(1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值：
(2)若复数满足，求复数的共轭复数.
18．已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
(1)设复数，求；
(2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
19．任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.
(1)试将写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；
(3)计算：的值.
《第七章复数达标测试卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A C A B B BC ACD
题号 11
答案 BD
1．B
【分析】由复数的除法运算结合共轭复数的概念即可求解；
【详解】由，
可得：，
所以，
故选：B
2．C
【分析】根据复数的除法运算化简，再根据虚部的概念求解即可.
【详解】由题意得，，
∴的虚部为.
故选：C.
3．A
【分析】通过求解即可；
【详解】解法一：，
解法二：因为，所以，
故选：A.
4．A
【分析】根据复数乘除法运算化简复数，进而得结果
【详解】由，得，
故选：A
5．C
【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，再由复数的除法运算，进而确定对应点，即可得答案.
【详解】由题可得，
所以
所以在复平面内对应的点为，位于第三象限，
故选：C
6．A
【分析】利用复数的除法运算法则即可.
【详解】，
又的共轭复数为，故选A.
故选：A
7．B
【分析】应用复数模的求法及得或，再由充分、必要性定义即可得答案.
【详解】由，则，可得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
8．B
【分析】设，，将其代入方程中，得出的值，进而得出，互为共轭复数，代入得出的关系，化简即可.
【详解】设，，
因，是实系数方程的两个虚根，
则
，则，同理，也符合，则，
若，则方程的一次项系数与常数项均为虚数，故，
即方程的两个虚根互为共轭复数，
故，
因,
故，
则，
故选：B
9．BC
【分析】设出复数的代数形式，由模的意义求出，再逐项判断得解.
【详解】设，由，得，解得，
对于A，不是实数，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由，得；由，得，，因此，D错误.
故选：BC
10．ACD
【分析】根据共轭复数概念写出，进而判断各项的正误.
【详解】由，得，
所以的实部为的虚部为，
在复平面内对应的点在第三象限，
故选：ACD
11．BD
【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项.
【详解】设，其中，则，
故，，
∵，∴，故，则
故，则，
故，故BD正确，AC错误；
故选：BD.
12．
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可.
【详解】，
故．
故答案为：.
13．6
【分析】由的整数次幂的周期性求出的取值集合，进而列举出所有结果即可得解.
【详解】依题意，，，则，
因此，，
所以的值中不同虚数有：，共6个.
故答案为：6
14．四
【分析】求出复数的共轭复数即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以复数对应的点在第四象限.
故答案为：四
15．(1)图象见详解
(2)图象见详解
【分析】（1）根据复数的几何意义求点的坐标，进而可得图象；
（2）根据共轭复数以及复数的几何意义可得相应点的坐标，进而可得图象.
【详解】（1）因为复数、、、、，
则，
在复平面上分别作出这些复数所对应的点，如图所示：
（2）因为复数、、、、，
则复数、、、、，
这些复数所对应的点分别为，
这些复数的共轭复数所对应的向量分别为，
在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量，如图所示：
16．(1)或
(2)或.
【分析】（1）结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可．
（2）结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可．
【详解】（1）由题意，，
则，解得或.
（2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，
所以，解得或.
17．(1)20
(2)
【分析】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可；
（2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.
【详解】（1）由题意得，
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
，
，
解得，所以.
（2），
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）化简，由其为纯虚数求出的值，将代入化简，从而可求出其模；
（2）将代入化简，再由复数在复平面内所对应的点在第一象限，列不等式组可求出实数a的取值范围．
【详解】（1），
．
又为纯虚数，
，解得，
所以，
．
（2）由（1）知，
．
又复数在复平面内所对应的点在第一象限，
，解得，
即实数a的取值范围是．
19．(1)
(2)推导过程见解析
(3)
【分析】（1）求出复数的模，根据复数的三角形式，即可求得答案；
（2）设模为1的复数为，利用复数的乘方运算，结合复数的相等以及同角的三角函数关系化简，即可推得结论；
（3）由（2）的结论结合恒等变换推出，继而得，，再结合，化简，即可求得答案.
【详解】（1）由于，故，
则；
（2）设模为1的复数为，
则
，
由复数乘方公式可得，
故；
（3）首先证明：；
由于，则，
则，故，
则可得
，
，
所以
.
【点睛】难点点睛：本题考查了复数的新定义问题，解答时要注意理解棣莫弗定理的含义以及复数乘方的运算，解答的难点在于第三问的求值，解答时要利用三倍角公式结合恒等变换化简，并结合进行求解.
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