湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）

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2024—2025学年度下学期2024级三月月考数学试卷
考试时间：2025年3月21日
一、单选题
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 设角的终边与单位圆交于点，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，已知，，，，则（）
A. B. C. D.
4. 已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（）
A. B. 6 C. D. 8
5. 已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（）（参考数据：）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 10
7. 已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若存在满足，则的值为（）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列关于向量说法，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则存在唯一实数使得
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 在中，若，则与面积之比为
10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
A. 是函数的图象的一个对称中心
B. 函数上单调递减
C. 函数是奇函数
D. 若且，
11. 设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 为偶函数
C. ，，，则有
D. 方程的所有实数之和为20
三、填空
12. 已知，则_______ .
13. 已知，则向量在向量上的投影向量为________
14. 已知，，且，则的最大值为____________．
四、解答题
15. 已知平面向量，的夹角为，且，，．
（1）当时，求；
（2）当时，求值．
16. 已知
（1）求的单调递增区间；
（2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式.
17. 如图，有一块半径为1，圆心角为扇形木块，现要分割出一块矩形，其中点，在弧上，且线段平行于线段．
（1）若点，分别为弧的两个三等分点，求矩形的面积；
（2）设，当为何值时，矩形的面积最大？最大值为多少？
18. 已知函数．
（1）若为奇函数，求的值；
（2）若在上有解，求的取值范围．
19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2024—2025学年度下学期2024级三月月考数学试卷
考试时间：2025年3月21日
一、单选题
1.
【答案】D
2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、多选题
9.
【答案】CD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BCD
三、填空
12.
【答案】##
13.
【答案】
14.【答案】##
四、解答题
15.
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先得到，然后展开计算即可；
（2）由条件知，使用向量内积的坐标表示即可得到关于的方程，进而求出.
【小问1详解】
，故．
【小问2详解】
由条件知，故，
所以．
16.
【答案】（1） .
（2）
【解析】
【分析】 （1）根据三角恒等变换和辅助角公式将函数化简为的形式，从而求出单调递增区间；
（2）利用图像的变换求出的解析式，利用三角函数的图象即可求解.
【小问1详解】
令 ，解得.
故的单调递增区间为.
【小问2详解】
将的图象上所有的点向右平移个单位得到的图象，
再将的图象向下平移1个单位得到的图象，
最后将的图象上所有点的纵坐标变为原来的横坐标不变，
得到的图象，即，
由，即，得，
解得
令可得，令可得，
又所以，
即当时，不等式的解集为.
17.
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】（1）作，垂足为，交于，连接，，即可表示，，，从而得到，再由面积公式及二倍角公式计算可得；
（2）结合（1）可得，，，则，即可表示矩形的面积，再由三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
作，垂足为，交于，连接，，
由于点，分别为弧的两个三等分点，四边形为矩形，即，关于直线对称，
则，，则，，
而，故为等腰直角三角形，则，
故，
则；
【小问2详解】
因为，则，
故，，
，
故
，
则
，
因为，所以，
故当，即时，取最大值，
即当时，矩形的面积最大，．
18.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质，有，即可求解；
（2）构造函数，利用（1）中结果得到，再利用倍角公式及辅助角公式得到，结合题设条件，即可求解
【小问1详解】
因为，所以的定义域为，
又为奇函数，则，
解得，故，
当时，，
此时，
即，
所以函数为奇函数.
综上，故．
【小问2详解】
设，由上一问结论知是奇函数，
则
，
从而方程等价于，
即，即，
取合适的实数使得，，
则
，
故原方程又化为，即，
显然，该方程有解的充要条件是，即，即，
所以的取值范围是．
19.
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）运用奇函数的性质即可求得函数的解析式；
（2）根据题意列出方程组，从而求解；
（3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求m的值．
小问1详解】
当时，，
所以
【小问2详解】
设，显然在上递减，
所以，整理得，
即为方程在上的两个根，且，
所以解得，
所以在内的“倒域区间”为．
【小问3详解】
因为在时，函数值y的取值区间恰为，其中，，
所以，即a，b同号，所以只需考虑或，
当时，根据的性质知，最大值为1，，，
所以，由（2）知在内的“倒域区间”为；
当，最小值，，，
所以，同理知在内的“倒域区间”为．
所以．
依题意：抛物线与函数的图像有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，m应当使方程在内恰有一个实数根，
并且使方程在内恰有一个实数．
由方程内恰有一根知；
由方程在内恰有一根知，
综上所述：．
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