浙江省杭州市西湖区紫金港中学2024-2025学年九年级下学期数学开学考试题试卷
1．（2025九下·杭州开学考）下列各数是负整数的是（ ）
A． B． C．-2 D．
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；实数的相反数
【解析】【解答】解：A、是无理数，不符合题意；
B、是负分数，不符合题意；
C、是负整数，符合题意；
D、，是正整数，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】实数包括有理数和无理数，其中有理数包括整数和分数，其中整数又包括正整数、0和负整数，分数包括正分数和负分数；而无理数是无限不循环小数，常见的无理数包括、开不尽方的数等.
2．（2025九下·杭州开学考） 2024 年 4 月神舟十八号载人飞船发射成功， 标志着我国在航天领域的加速发展. 下列各航天标志中， 属于中心对称图形的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后能够与自身重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、D的图形均不能找到这样的点，使图形绕该点旋转180°后能够与自身重合，所以不是中心对称图.
故答案案：C
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.据此判断即可.
3．（2025九下·杭州开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，结果错误；
B、，结果正确；
C、，结果错误；
D、，结果错误；
故答案为：B.
【分析】同底数的乘除法运算法则，底数不变，指数相加减，即、；幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，即；同底数幂的指数相同时是同类项，可以合并，但指数不同时，既不能合并，更不能对指数进行加减。
4．（2025九下·杭州开学考）在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字，，0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：和都是无理数，这四个数乘积为无理数的情况有×2，×2共2种
而任意模出两球的情况有(0，2)，(0，)，(0，)，(，2)(，)(，2)共6种，故P=；
故答案为：B.
【分析】列出任意摸出两球的情况和乘积为无理数的情况，即可求出概率.
5．（2025九下·杭州开学考）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示
主视图和左视图都是由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，所以俯视图的面积最大．
故选：C．
【分析】
主视图是从正面看到物体的投影；左视图是从左面看得到物体的投影；俯视图从上面看得到物体的投影．
6．（2025九下·杭州开学考）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.求男生有多少人？设男生有人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设男生有人，则女生有人，由题意列方程：
故答案为：B.
【分析】设男生有人，则女生有人，则男生共植树棵，女生共植树棵，由等量关系男女学生共植树52棵可列方程。
7．（2025九下·杭州开学考） 下列说法正确的是 ( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．一组对角相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线等的平行四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意；
B、两组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断即可确定正确的选项.
8．（2025九下·杭州开学考）在平面直角坐标系中，有一点，以原点为圆心，5为半径作，则点与的位置关系是（ ）
A．点A在内 B．点A在外 C．点A在上 D．无法确定
【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点到圆心的距离，
，
点在上，
故选：C．
【分析】先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，进行判断即可.
9．（2025九下·杭州开学考）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
【分析】顾名思义，反证法就是取原题设的相反条件进行论证．
10．（2025九下·杭州开学考）已知二次函数（其中是常数，且）的图象过点（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：因为当时，；当时，；
则抛物线的对称轴为直线，所以，即：；
所以；
则时，；当时，；
则 ，
当时，
当时，
故答案为：A.
【分析】若抛物线上两点的纵坐标相同，则这两点关于对称轴对称，对称轴所在的直线表达式可直接用这两点的横坐标和的一半表示，则可得出系数与的数量关系；再分别把已知三个点的横坐标代入到抛物线解析式中，可得到对应的纵坐标的值，再按照题目要求解答即可。
11．（2025九下·杭州开学考） 要使二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 .
【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式 在实数范围内有意义，
∴1+x≥0，
∴x≥-1.
故答案为：x≥-1
【分析】二次根式有意义，则根号里面部分大于等于0，据此解答即可.
12．（2025九下·杭州开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为： ．
【分析】综合利用提取公因式法和平方差公式法分解因式即可得．
13．（2025九下·杭州开学考）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】9
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
【分析】
由方程组解的概念可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可得到a与b的值，则所求代数式的值可求．
14．（2025九下·杭州开学考）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点，交BD于点．再以点为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点，连接DE．则 度．
【答案】64
【知识点】平行线的性质；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：由尺规作图得：，
∵
∴
∴.
故答案为：64．
【分析】由尺规作图得，再根据平行线的性质得到，即可得到答案.
15．（2025九下·杭州开学考）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝ ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接DE，如图所示：
在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=∠BAC=30°，
同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，AC=2×sin60° a=a，DE=AC=a
∴AD=a，
∴sin（α+β）= =．
故答案为：．
【分析】连接DE，利用等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°、三角形内角和是180°以及等边对等角可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，根据特殊角的三角函数求出AC=a，而DE和AC都是两个完全一样的菱形的对角线，所以DE=AC，在直角三角形AED中，利用两直角边的平方之和等于斜边的平方可求出AD的长，再结合正弦的定义，求解即可．
16．（2025九下·杭州开学考）如图，AB为半圆直径，AB=2，点C为半圆上一点，点D和点B关于直线AC对称，连结AD交于点， 连结CE．设BC=x，AE=y，则y关于x的函数关系式为 .
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 点D和点B关于直线AC对称，
∴CD=BC=x，BD=2x
AD=AB=2，DE=2-y，
根据圆内接四边形的性质可得∠DEC=∠B，∠D=∠D，
∴△CDE∽△ADB
∴，即，解得：
故答案为：.
【分析】根据轴对称的性质得CD=BC=x，AD=AB=2，然后根据圆内接四边形的性质推出∠DEC=∠B，证明△CDE∽△ADB，然后根据相似三角形的性质得，即可得到答案.
17．（2025九下·杭州开学考）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先按照乘法分配律去括号，再按照二次根式的乘法运算法则即算术平方根的积等于积的算术平方根计算，并把所得的积化为最简二次根式，若有同类二次根式还需要合并；
（2）二次根式的混合运算顺序仍然是有括号先算括号内的算式，此时可灵活运用乘法公式，另外若被开方数是分数或含有开得尽方的因数，还需要化为最简二次根式，最后再合并同类二次根式即可。
18．（2025九下·杭州开学考）
（1）解方程组；
（2）计算：.
【答案】（1）解：得：
解得：
把代入到方程中得：
所以方程组的解为
（2）解：原式
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）解二元一次方程组时，当两个方程中某一未知数的系数互为相反数或相等时，可直接采用加减消元法化二元一次方程组为一元一次方程，进而求出两个未知数的值；
（2）同分母分式加减，分母不变，分子相加减，需要注意的是分数线具有括号的作用，尤其是减法运算中，最好给减式的分子先带上括号，再去括号，避免出现符号错误；若是异分母分式加减，必须先通分，再按照上述方法进行加减运算.
19．（2025九下·杭州开学考）随机抽取某校七年级部分同学的跳高测试成绩，得到如下频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
（1）该组数据中，中位数所在组的频数是多少？请写出该组的边界值．
（2）若该校七年级总共有360名学生，那么跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的大约有多少人？
【答案】（1）解：参加测试的总人数为（人，
把这54人的成绩从小到大排列，排在中间的两个数落在这一组，
故中位数所在组的频数是20；
组距为，
这一组的边界值是；
答： 中位数所在组的频数是 20；这一组的边界值是
（2）解：（人），
答：跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的大约有220人
【知识点】频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）求中位数必须先对数据进行大小排序，再取最中间的一个数据或两个数据的平均值；因为相邻两组频数之间相差0.10，它的一半为0.05，给每组数据分别加减0.05即可得到边界值；
（2）先求出成绩大于或等于1.29的占比，再乘以样本容量360即可解答．
20．（2025九下·杭州开学考）如图，长方形ABCD中，.
（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①在BC边上取一点，使；
②在CD上作一点，使点到点和点的距离相等.
（2）在（1）的条件下，连接AF.若，求的面积.
【答案】（1）解： ① 如图所示，AE即为所求作；
② 如图所示，点F即为所求作；
（2）解：如图所示，连接EF，
平分
长方形中，
设，则，又
中，，则
中，
即：
解得：
答：的面积为
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
21．（2025九下·杭州开学考）一次函数为常数，且图象和反比例函数为常数，的图象交于点和点.
（1）求的值及一次函数的表达式.
（2）点为反比例函数图象上一点，点关于轴的对称点再向下平移4个单位得到点，点恰好落在反比例函数图象上，求点的坐标.
【答案】（1）解：因为反比例函数图象经过点，所以
因为点在反比例函数图象上，所以
由题意联立方程组得：，解得
所以一次函数的表达式为
答：的值为4，一次函数的表达式为
（2）解：设点，则点 的坐标为，由题意知：
解得：
所以，即
答： 点的坐为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）反比例函数的表达式可利用直接求出，因为点在反比例函数的图象上，则，因为点也在反比例函数图象上，所以，又因为点都在一次函数的图象上，可利用待定系数法联立方程组求出系数的值；
（2）由于点是由点平移得到的，可先设出点的坐标，则可表示出点的坐标，又已知点都在双曲线上，则这两点的横纵坐标之积相等，即列出方程可先求出点的纵坐标，再代入到中求出横坐标即可.
22．（2025九下·杭州开学考）如图，在正方形ABCD中，为对角线AC上一动点，连接DE，过点作DE，交射线BC于点，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形.
（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）证明：如图所示，分别连接EB、DF。
四边形是正方形
正方形中、矩形中
正方形中、矩形中
，即
矩形是正方形
（2）答：是个定值，这个定值为4，理由如下：
如图所示，连接CG。
四边形和四边形是正方形
，即
正方形中，
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）因为邻边相等的矩形是正方形，因此只需证明矩形中的一组邻边即可，由于正方形是轴对称图形，因此连接可得，此时转化为证明是等腰三角形，由于正方形和矩形中对边平行，可通过平行线的性质得出一组等角即，再利用等角的余角相等可得出，则有。
（2）由（1）知四边形是正方形，则可证，所以有，从而把转化到对角线上，且有，直接利用勾股定理求出即可。
23．（2025九下·杭州开学考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，.
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出的取值范围；
（2）若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：①当t=0时，将点A(3，0)代入抛物线解析式得9a+3(a-3)-3=0，得a=1，此时抛物线的解析式为y=x2-2x-3，对称轴为x=1；
②，即有m2-2m-3≧0，即(m+1)(m-3)≧0，
故或解得m≧3或m≦-1；
（2）解：t>0即有9a+3(a-3)-3>0，得a>1，对于抛物线，其对称轴为直线x=<1，即可知抛物线开口向上，且对称轴在直线x=1的左侧，
m>n，m+n>2
当m>n>1时，二次函数在x>1时y随x的增大而增大，p>q；
当m>1，n<1时，注意到m+n>2即有m>2-n，n<1，故2-n>1，故p>q
综上所述，p>q
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】(1)t=0时直接代入抛物线解析式可得a=1，再分类讨论解不等式；
(2)由题意可得a的范围，同时可知对称轴的位置，再由且 可得p和q的大小关系.
24．（2025九下·杭州开学考）如图，在正方形中，以为直径作半圆，点为半圆上一点，连结并延长交边于点，连结并延长交边于点，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求的最小值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
是的直径，
，
，
，
（2）解：如图1，连接、，
是的直径，且，
，，
，
，
，
，
的最小值为
（3）解：如图2，连接，
，
四点共圆，
，
，
由（1）得，
，又，
，又正方形中
，即点为的黄金分割点且
，
答：的值为
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；圆-动点问题；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
1 / 1浙江省杭州市西湖区紫金港中学2024-2025学年九年级下学期数学开学考试题试卷
1．（2025九下·杭州开学考）下列各数是负整数的是（ ）
A． B． C．-2 D．
2．（2025九下·杭州开学考） 2024 年 4 月神舟十八号载人飞船发射成功， 标志着我国在航天领域的加速发展. 下列各航天标志中， 属于中心对称图形的是 ( )
A． B．
C． D．
3．（2025九下·杭州开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九下·杭州开学考）在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字，，0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九下·杭州开学考）如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
6．（2025九下·杭州开学考）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.求男生有多少人？设男生有人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025九下·杭州开学考） 下列说法正确的是 ( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．一组对角相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
8．（2025九下·杭州开学考）在平面直角坐标系中，有一点，以原点为圆心，5为半径作，则点与的位置关系是（ ）
A．点A在内 B．点A在外 C．点A在上 D．无法确定
9．（2025九下·杭州开学考）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
10．（2025九下·杭州开学考）已知二次函数（其中是常数，且）的图象过点（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2025九下·杭州开学考） 要使二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 .
12．（2025九下·杭州开学考）分解因式： ．
13．（2025九下·杭州开学考）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ．
14．（2025九下·杭州开学考）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点，交BD于点．再以点为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点，连接DE．则 度．
15．（2025九下·杭州开学考）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝ ．
16．（2025九下·杭州开学考）如图，AB为半圆直径，AB=2，点C为半圆上一点，点D和点B关于直线AC对称，连结AD交于点， 连结CE．设BC=x，AE=y，则y关于x的函数关系式为 .
17．（2025九下·杭州开学考）计算：
（1）；
（2）.
18．（2025九下·杭州开学考）
（1）解方程组；
（2）计算：.
19．（2025九下·杭州开学考）随机抽取某校七年级部分同学的跳高测试成绩，得到如下频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
（1）该组数据中，中位数所在组的频数是多少？请写出该组的边界值．
（2）若该校七年级总共有360名学生，那么跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的大约有多少人？
20．（2025九下·杭州开学考）如图，长方形ABCD中，.
（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①在BC边上取一点，使；
②在CD上作一点，使点到点和点的距离相等.
（2）在（1）的条件下，连接AF.若，求的面积.
21．（2025九下·杭州开学考）一次函数为常数，且图象和反比例函数为常数，的图象交于点和点.
（1）求的值及一次函数的表达式.
（2）点为反比例函数图象上一点，点关于轴的对称点再向下平移4个单位得到点，点恰好落在反比例函数图象上，求点的坐标.
22．（2025九下·杭州开学考）如图，在正方形ABCD中，为对角线AC上一动点，连接DE，过点作DE，交射线BC于点，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形.
（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
23．（2025九下·杭州开学考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，.
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出的取值范围；
（2）若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由.
24．（2025九下·杭州开学考）如图，在正方形中，以为直径作半圆，点为半圆上一点，连结并延长交边于点，连结并延长交边于点，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求的最小值；
（3）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；实数的相反数
【解析】【解答】解：A、是无理数，不符合题意；
B、是负分数，不符合题意；
C、是负整数，符合题意；
D、，是正整数，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】实数包括有理数和无理数，其中有理数包括整数和分数，其中整数又包括正整数、0和负整数，分数包括正分数和负分数；而无理数是无限不循环小数，常见的无理数包括、开不尽方的数等.
2．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后能够与自身重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、D的图形均不能找到这样的点，使图形绕该点旋转180°后能够与自身重合，所以不是中心对称图.
故答案案：C
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，结果错误；
B、，结果正确；
C、，结果错误；
D、，结果错误；
故答案为：B.
【分析】同底数的乘除法运算法则，底数不变，指数相加减，即、；幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，即；同底数幂的指数相同时是同类项，可以合并，但指数不同时，既不能合并，更不能对指数进行加减。
4．【答案】B
【知识点】无理数的概念；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：和都是无理数，这四个数乘积为无理数的情况有×2，×2共2种
而任意模出两球的情况有(0，2)，(0，)，(0，)，(，2)(，)(，2)共6种，故P=；
故答案为：B.
【分析】列出任意摸出两球的情况和乘积为无理数的情况，即可求出概率.
5．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示
主视图和左视图都是由4个正方形组成，俯视图由5个正方形组成，所以俯视图的面积最大．
故选：C．
【分析】
主视图是从正面看到物体的投影；左视图是从左面看得到物体的投影；俯视图从上面看得到物体的投影．
6．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设男生有人，则女生有人，由题意列方程：
故答案为：B.
【分析】设男生有人，则女生有人，则男生共植树棵，女生共植树棵，由等量关系男女学生共植树52棵可列方程。
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线等的平行四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意；
B、两组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断即可确定正确的选项.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点到圆心的距离，
，
点在上，
故选：C．
【分析】先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，进行判断即可.
9．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
【分析】顾名思义，反证法就是取原题设的相反条件进行论证．
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：因为当时，；当时，；
则抛物线的对称轴为直线，所以，即：；
所以；
则时，；当时，；
则 ，
当时，
当时，
故答案为：A.
【分析】若抛物线上两点的纵坐标相同，则这两点关于对称轴对称，对称轴所在的直线表达式可直接用这两点的横坐标和的一半表示，则可得出系数与的数量关系；再分别把已知三个点的横坐标代入到抛物线解析式中，可得到对应的纵坐标的值，再按照题目要求解答即可。
11．【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式 在实数范围内有意义，
∴1+x≥0，
∴x≥-1.
故答案为：x≥-1
【分析】二次根式有意义，则根号里面部分大于等于0，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为： ．
【分析】综合利用提取公因式法和平方差公式法分解因式即可得．
13．【答案】9
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
【分析】
由方程组解的概念可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可得到a与b的值，则所求代数式的值可求．
14．【答案】64
【知识点】平行线的性质；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：由尺规作图得：，
∵
∴
∴.
故答案为：64．
【分析】由尺规作图得，再根据平行线的性质得到，即可得到答案.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接DE，如图所示：
在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=∠BAC=30°，
同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，AC=2×sin60° a=a，DE=AC=a
∴AD=a，
∴sin（α+β）= =．
故答案为：．
【分析】连接DE，利用等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°、三角形内角和是180°以及等边对等角可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，根据特殊角的三角函数求出AC=a，而DE和AC都是两个完全一样的菱形的对角线，所以DE=AC，在直角三角形AED中，利用两直角边的平方之和等于斜边的平方可求出AD的长，再结合正弦的定义，求解即可．
16．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 点D和点B关于直线AC对称，
∴CD=BC=x，BD=2x
AD=AB=2，DE=2-y，
根据圆内接四边形的性质可得∠DEC=∠B，∠D=∠D，
∴△CDE∽△ADB
∴，即，解得：
故答案为：.
【分析】根据轴对称的性质得CD=BC=x，AD=AB=2，然后根据圆内接四边形的性质推出∠DEC=∠B，证明△CDE∽△ADB，然后根据相似三角形的性质得，即可得到答案.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先按照乘法分配律去括号，再按照二次根式的乘法运算法则即算术平方根的积等于积的算术平方根计算，并把所得的积化为最简二次根式，若有同类二次根式还需要合并；
（2）二次根式的混合运算顺序仍然是有括号先算括号内的算式，此时可灵活运用乘法公式，另外若被开方数是分数或含有开得尽方的因数，还需要化为最简二次根式，最后再合并同类二次根式即可。
18．【答案】（1）解：得：
解得：
把代入到方程中得：
所以方程组的解为
（2）解：原式
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）解二元一次方程组时，当两个方程中某一未知数的系数互为相反数或相等时，可直接采用加减消元法化二元一次方程组为一元一次方程，进而求出两个未知数的值；
（2）同分母分式加减，分母不变，分子相加减，需要注意的是分数线具有括号的作用，尤其是减法运算中，最好给减式的分子先带上括号，再去括号，避免出现符号错误；若是异分母分式加减，必须先通分，再按照上述方法进行加减运算.
19．【答案】（1）解：参加测试的总人数为（人，
把这54人的成绩从小到大排列，排在中间的两个数落在这一组，
故中位数所在组的频数是20；
组距为，
这一组的边界值是；
答： 中位数所在组的频数是 20；这一组的边界值是
（2）解：（人），
答：跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的大约有220人
【知识点】频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）求中位数必须先对数据进行大小排序，再取最中间的一个数据或两个数据的平均值；因为相邻两组频数之间相差0.10，它的一半为0.05，给每组数据分别加减0.05即可得到边界值；
（2）先求出成绩大于或等于1.29的占比，再乘以样本容量360即可解答．
20．【答案】（1）解： ① 如图所示，AE即为所求作；
② 如图所示，点F即为所求作；
（2）解：如图所示，连接EF，
平分
长方形中，
设，则，又
中，，则
中，
即：
解得：
答：的面积为
【知识点】勾股定理的应用；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
21．【答案】（1）解：因为反比例函数图象经过点，所以
因为点在反比例函数图象上，所以
由题意联立方程组得：，解得
所以一次函数的表达式为
答：的值为4，一次函数的表达式为
（2）解：设点，则点 的坐标为，由题意知：
解得：
所以，即
答： 点的坐为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）反比例函数的表达式可利用直接求出，因为点在反比例函数的图象上，则，因为点也在反比例函数图象上，所以，又因为点都在一次函数的图象上，可利用待定系数法联立方程组求出系数的值；
（2）由于点是由点平移得到的，可先设出点的坐标，则可表示出点的坐标，又已知点都在双曲线上，则这两点的横纵坐标之积相等，即列出方程可先求出点的纵坐标，再代入到中求出横坐标即可.
22．【答案】（1）证明：如图所示，分别连接EB、DF。
四边形是正方形
正方形中、矩形中
正方形中、矩形中
，即
矩形是正方形
（2）答：是个定值，这个定值为4，理由如下：
如图所示，连接CG。
四边形和四边形是正方形
，即
正方形中，
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）因为邻边相等的矩形是正方形，因此只需证明矩形中的一组邻边即可，由于正方形是轴对称图形，因此连接可得，此时转化为证明是等腰三角形，由于正方形和矩形中对边平行，可通过平行线的性质得出一组等角即，再利用等角的余角相等可得出，则有。
（2）由（1）知四边形是正方形，则可证，所以有，从而把转化到对角线上，且有，直接利用勾股定理求出即可。
23．【答案】（1）解：①当t=0时，将点A(3，0)代入抛物线解析式得9a+3(a-3)-3=0，得a=1，此时抛物线的解析式为y=x2-2x-3，对称轴为x=1；
②，即有m2-2m-3≧0，即(m+1)(m-3)≧0，
故或解得m≧3或m≦-1；
（2）解：t>0即有9a+3(a-3)-3>0，得a>1，对于抛物线，其对称轴为直线x=<1，即可知抛物线开口向上，且对称轴在直线x=1的左侧，
m>n，m+n>2
当m>n>1时，二次函数在x>1时y随x的增大而增大，p>q；
当m>1，n<1时，注意到m+n>2即有m>2-n，n<1，故2-n>1，故p>q
综上所述，p>q
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】(1)t=0时直接代入抛物线解析式可得a=1，再分类讨论解不等式；
(2)由题意可得a的范围，同时可知对称轴的位置，再由且 可得p和q的大小关系.
24．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
是的直径，
，
，
，
（2）解：如图1，连接、，
是的直径，且，
，，
，
，
，
，
的最小值为
（3）解：如图2，连接，
，
四点共圆，
，
，
由（1）得，
，又，
，又正方形中
，即点为的黄金分割点且
，
答：的值为
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；圆-动点问题；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
1 / 1
