广西南宁市第三中学2024-2025学年下学期九年级开学考试数学试卷
1．（2025九下·南宁开学考）冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室温度为零下，应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室温度为零下，应记作．
故答案为：B.
【分析】根据正负数表示相反意义的量解题．
2．（2025九下·南宁开学考）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，几何体的俯视图是：
故答案为：C．
【分析】根据从上面看到的几何图形判断解题．
3．（2025九下·南宁开学考）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：由交通路口由红灯、黄灯和绿灯三种，经过有交通信号灯的路口，遇到红灯这件事有可能发生，也有可能不会发生，所以它是随机事件.
故答案为：C.
【分析】随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
4．（2025九下·南宁开学考）2024年11月10日，合肥马拉松比赛（全线共42.195公里）在骆岗公园燃情开跑，共有119000人参加报名此次比赛．其中数字119000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为所有整数位的个数减1．
5．（2025九下·南宁开学考）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：，有两个未知数，不是一元一次方程，故A不符合题意；
不是整式方程，不是一元一次方程，故B不符合题意；
，含有2次项，不是一元一次方程，故C不符合题意；
，是一元一次方程，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做一元一次方程”逐项判断解题．
6．（2025九下·南宁开学考）如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用矩形的对角线相等解题即可．
7．（2025九下·南宁开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方法则逐项判断解题．
8．（2025九下·南宁开学考）如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
故答案为：B ．
【分析】连接，根据童虎所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两锐角互余解题．
9．（2025九下·南宁开学考）2021年我国新增高效节水灌溉面积188万，如果要使2021年至2023年三年新增高效节水灌溉面积总和为622.28万，设2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
10．（2025九下·南宁开学考）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由解析式可得：抛物线对称轴；
A、由双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限，可得，则，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾；
B、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意；
C、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾；
D、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的图象得到k的取值，然后再判断二次函数的图象解答即可．
11．（2025九下·南宁开学考）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在三角形纸片中，，，．
A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意；
B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
D、因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断解题即可．
12．（2025九下·南宁开学考）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，
由题意得：，
而，则，
抛物线的对称轴平行于轴，
且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
∵四边形的周长，且都是定长，
∴的值最小时，即四边形的周长最小，
则在抛物线中，令，则，
，
令，则，
解得：或，
，，
由平移的性质可得：
点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
∵点在点下方，且．
∴
故答案为：B．
【分析】将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，得到是平行四边形，即可得到，根据对称性得到，即可得到，故可得到是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，然后求出直线的解析式和抛物线的对称轴，解答即可．
13．（2025九下·南宁开学考）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求出x的取值范围即可．
14．（2025九下·南宁开学考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
15．（2025九下·南宁开学考）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于
【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
16．（2025九下·南宁开学考）如图，在边长为6的等边中，点P是内一点，过点P作，，，垂足分别为D，E，F，连接，若，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，则：，
∴当三点共线时，最小，
∵垂线段最短，
∴当时，取得最小值，如图，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到当时，取得最小值，利用勾股定理求出AE长，再根据角平分线的性质可得，即可得到，设，然后根据两角对应相等的两三角形相似得到，即可得到求出x值即可解题．
17．（2025九下·南宁开学考）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算算术平方根、负整数指数次幂和绝对值，然后相加解题；
（2）先运算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并同类项解题即可.
18．（2025九下·南宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出将向左平移2个单位得到的；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1；
（3）判断和是否是位似图形（直接写结果）若是直接写出位似中心点M的坐标．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：解：如图，
和是位似图形，
位似中心．
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作点A、B、O的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据位似的性质作点A、B、O的对应点，然后顺次连接即可；
（3）根据位似的定义得到位似中心即可解题．
（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）解：如图，
和是位似图形，
位似中心．
19．（2025九下·南宁开学考）为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）图1中∠α的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；
（3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
【答案】（1）40；（2）54°，补图详见解析；（3）7000；
解：（4）画树状图得：
∵共有12种情况，选中小明的有6种，
∴P（选中小明）＝
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：＝40（人）；
故答案为：40；
（2）根据题意得：∠α＝360°×＝54°，
C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
如图：
（3）根据题意得：
35000×＝7000（人），
答：不及格的人数为7000人．
故答案为：7000；
【分析】（1）根据B级学生数除以占比求出抽样学生数；
（2）用A级人数占比乘以360°求得∠α的度数；然后用抽样人数乘以C级占比求出C级的人数，补全统计图即可；
（3）利用D级的占比乘以全市九年级人数计算解题；
（4）画树状图得到所有等可能结果，找出符合要求的结果数，再根据概率公式计算解题．
20．（2025九下·南宁开学考）某快递公司采用A，B两种型号的数控机器人分拣快递，已知A型数控机器人比B型数控机器人每小时多分拣的快递．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．
（1）两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
（2）“6·18”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案．
【答案】（1）解：设一台B型数控机器人每小时分拣件快递，由题意，得：
，
解得：；
经检验是原方程的解，
，
答：一台A型数控机器人每小时分拣件快递，一台B型数控机器人每小时分拣件快递
（2）解：设需要台A型数控机器人，台型数控机器人，由题意，得：，∴，
∵为正整数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
故：共有3种方案：
方案一：型号机器人6台，型号机器人3台；
方案二：型号机器人4台，型号机器人6台；
方案三：型号机器人2台，型号机器人9台
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-工程问题
21．（2025九下·南宁开学考）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，大山高垂直于水平线于点D．
测量过程与 数据信息 1．在山脚A处测出山顶B的仰角； 2．沿着山坡前进到达C处； 3．在C处测出山顶B的仰角，山坡的坡角．（图中所有点均在同一平面内）
（参考数据：，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高度，即求线段的长．（注：请用（1）中坡面的水平距离和垂直距离的整数值进行计算）
【答案】（1）解：过点作，垂足为，如图，
在中，，
，
，
．
答：坡面AC的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：如图，延长交于点，设，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在Rt中，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，在中，运用三角函数的定义得到和解题；
（2）延长交于点，设，即可得到，，，，在Rt中，根据三角函数的定义求得x值解题．
（1）解：过点作，垂足为，如图，
在中，，
，
，
．
答：坡面AC的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：如图，延长交于点，设，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在Rt中，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
22．（2025九下·南宁开学考）函数探究课上，小明在刘老师的指导下对一个新函数进行研究，以下是他的研究过程，请补充完整．
（1）绘制函数图
①列表：下表是x与y的几组对应值．
… …
… …
填空：______，______；
②描点：根据表中的数值描点，在如图的平面直角坐标系中描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图象．
（2）探究函数性质
观察图像，请写出函数的两条性质：①______；②______．
（3）运用函数图象及性质
①根据函数图象，不等式的解集是______．
②若关于的方程有两个实数解，则的取值范围为______．
【答案】（1）解：①当时，，
当时，，
故答案为：．
②描点，如图所示，
③连线，如图所示，
（2）①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小
（3）①或；②
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）根据函数图象，可得①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小
故答案为：①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小．
（3）①根据函数图象可得不等式的解集是或；
故答案为：或．
②根据函数图象可知，关于的方程有两个实数解，则的取值范围为，
故答案为：．
【分析】（1）①将，代入函数解析式，求出y值即可；
②把x，y的值转化为坐标，描在平面直角坐标系中；
③运用平海的曲线连接各点解题；
（2）根据函数图象写出两条性质解题；
（3）①根据表格得到函数图象与的交点，利用函数图象解答即可；
②借助函数图象，解答即可．
（1）解：①当时，，
当时，，
故答案为：．
②描点，如图所示，
③连线，如图所示，
（2）根据函数图象，可得①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小
故答案为：①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小．
（3）①根据函数图象可得不等式的解集是或；
故答案为：或．
②根据函数图象可知，关于的方程有两个实数解，则的取值范围为，
故答案为：．
23．（2025九下·南宁开学考）【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？
小明探究后发现，当直线l时，的长最小．
请帮小明证明该结论：
【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______．
【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______．
（4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围．
【答案】解：（1）存在最小值，理由：证明：连接，如图1：
∵是的切线，
∴，
∴，其中为常数，
故当直线l时，最小，此时最小；
（2）；（3）；
（4）设直线和x轴正方向的夹角为，
设点，过点作于点，
∴，
则，
如图，过点A作直线l，
∴
∴，
∵为的切线，
∴，
∴面积，
∵
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
当直线l时，即点P、N重合时，最小，
此时，
∵，，
∴，
即，
解得：或
【知识点】切线的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）连接，如图：
由（1）知，，
∴当最小时，取得最小值，
∴当点P和点C重合时，为最小，此时，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大，
故
故答案为：；
（3）直线向下平移5个单位得到直线，
当，当，，
解得：，
∴点C、D的坐标分别为：，
∴，
设直线和的距离为h，过点B作于点M，连接，
∴，
∴，
对于直线，当，
∴，
∴，
∴，
而的最小值，
∴同上可得：，
∵四边形面积最小值，
故答案为：；
【分析】（1）根据切线的性质，利用勾股定理表示AP长，即可得到AP的值随着OP的值变化而变化，然后得到最小值即可；
（2）当点P和点C重合时，为最小，这时求得PE长，当点P和点B重合时，为最大，求出PE长解题即可解；
（3）根据四边形面积最小值解答即可；
（4）先得到面积，根据，即可得到，进而求出PA2的取值范围即可．
1 / 1广西南宁市第三中学2024-2025学年下学期九年级开学考试数学试卷
1．（2025九下·南宁开学考）冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室温度为零下，应记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九下·南宁开学考）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·南宁开学考）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
4．（2025九下·南宁开学考）2024年11月10日，合肥马拉松比赛（全线共42.195公里）在骆岗公园燃情开跑，共有119000人参加报名此次比赛．其中数字119000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九下·南宁开学考）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·南宁开学考）如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
7．（2025九下·南宁开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·南宁开学考）如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九下·南宁开学考）2021年我国新增高效节水灌溉面积188万，如果要使2021年至2023年三年新增高效节水灌溉面积总和为622.28万，设2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025九下·南宁开学考）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025九下·南宁开学考）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025九下·南宁开学考）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025九下·南宁开学考）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．（2025九下·南宁开学考）因式分解： ．
15．（2025九下·南宁开学考）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于
16．（2025九下·南宁开学考）如图，在边长为6的等边中，点P是内一点，过点P作，，，垂足分别为D，E，F，连接，若，则的最小值为 ．
17．（2025九下·南宁开学考）（1）计算：；
（2）化简：．
18．（2025九下·南宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出将向左平移2个单位得到的；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1；
（3）判断和是否是位似图形（直接写结果）若是直接写出位似中心点M的坐标．
19．（2025九下·南宁开学考）为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）图1中∠α的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；
（3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
20．（2025九下·南宁开学考）某快递公司采用A，B两种型号的数控机器人分拣快递，已知A型数控机器人比B型数控机器人每小时多分拣的快递．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．
（1）两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
（2）“6·18”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案．
21．（2025九下·南宁开学考）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，大山高垂直于水平线于点D．
测量过程与 数据信息 1．在山脚A处测出山顶B的仰角； 2．沿着山坡前进到达C处； 3．在C处测出山顶B的仰角，山坡的坡角．（图中所有点均在同一平面内）
（参考数据：，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高度，即求线段的长．（注：请用（1）中坡面的水平距离和垂直距离的整数值进行计算）
22．（2025九下·南宁开学考）函数探究课上，小明在刘老师的指导下对一个新函数进行研究，以下是他的研究过程，请补充完整．
（1）绘制函数图
①列表：下表是x与y的几组对应值．
… …
… …
填空：______，______；
②描点：根据表中的数值描点，在如图的平面直角坐标系中描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图象．
（2）探究函数性质
观察图像，请写出函数的两条性质：①______；②______．
（3）运用函数图象及性质
①根据函数图象，不等式的解集是______．
②若关于的方程有两个实数解，则的取值范围为______．
23．（2025九下·南宁开学考）【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？
小明探究后发现，当直线l时，的长最小．
请帮小明证明该结论：
【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______．
【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______．
（4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室温度为零下，应记作．
故答案为：B.
【分析】根据正负数表示相反意义的量解题．
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，几何体的俯视图是：
故答案为：C．
【分析】根据从上面看到的几何图形判断解题．
3．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：由交通路口由红灯、黄灯和绿灯三种，经过有交通信号灯的路口，遇到红灯这件事有可能发生，也有可能不会发生，所以它是随机事件.
故答案为：C.
【分析】随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为所有整数位的个数减1．
5．【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：，有两个未知数，不是一元一次方程，故A不符合题意；
不是整式方程，不是一元一次方程，故B不符合题意；
，含有2次项，不是一元一次方程，故C不符合题意；
，是一元一次方程，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做一元一次方程”逐项判断解题．
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用矩形的对角线相等解题即可．
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方法则逐项判断解题．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
故答案为：B ．
【分析】连接，根据童虎所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两锐角互余解题．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
10．【答案】B
【知识点】二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由解析式可得：抛物线对称轴；
A、由双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限，可得，则，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾；
B、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意；
C、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾；
D、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的图象得到k的取值，然后再判断二次函数的图象解答即可．
11．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在三角形纸片中，，，．
A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意；
B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
D、因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断解题即可．
12．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，
由题意得：，
而，则，
抛物线的对称轴平行于轴，
且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
∵四边形的周长，且都是定长，
∴的值最小时，即四边形的周长最小，
则在抛物线中，令，则，
，
令，则，
解得：或，
，，
由平移的性质可得：
点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
∵点在点下方，且．
∴
故答案为：B．
【分析】将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，得到是平行四边形，即可得到，根据对称性得到，即可得到，故可得到是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，然后求出直线的解析式和抛物线的对称轴，解答即可．
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求出x的取值范围即可．
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
15．【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
16．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，则：，
∴当三点共线时，最小，
∵垂线段最短，
∴当时，取得最小值，如图，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到当时，取得最小值，利用勾股定理求出AE长，再根据角平分线的性质可得，即可得到，设，然后根据两角对应相等的两三角形相似得到，即可得到求出x值即可解题．
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算算术平方根、负整数指数次幂和绝对值，然后相加解题；
（2）先运算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并同类项解题即可.
18．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：解：如图，
和是位似图形，
位似中心．
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作点A、B、O的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据位似的性质作点A、B、O的对应点，然后顺次连接即可；
（3）根据位似的定义得到位似中心即可解题．
（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）解：如图，
和是位似图形，
位似中心．
19．【答案】（1）40；（2）54°，补图详见解析；（3）7000；
解：（4）画树状图得：
∵共有12种情况，选中小明的有6种，
∴P（选中小明）＝
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：＝40（人）；
故答案为：40；
（2）根据题意得：∠α＝360°×＝54°，
C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
如图：
（3）根据题意得：
35000×＝7000（人），
答：不及格的人数为7000人．
故答案为：7000；
【分析】（1）根据B级学生数除以占比求出抽样学生数；
（2）用A级人数占比乘以360°求得∠α的度数；然后用抽样人数乘以C级占比求出C级的人数，补全统计图即可；
（3）利用D级的占比乘以全市九年级人数计算解题；
（4）画树状图得到所有等可能结果，找出符合要求的结果数，再根据概率公式计算解题．
20．【答案】（1）解：设一台B型数控机器人每小时分拣件快递，由题意，得：
，
解得：；
经检验是原方程的解，
，
答：一台A型数控机器人每小时分拣件快递，一台B型数控机器人每小时分拣件快递
（2）解：设需要台A型数控机器人，台型数控机器人，由题意，得：，∴，
∵为正整数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
故：共有3种方案：
方案一：型号机器人6台，型号机器人3台；
方案二：型号机器人4台，型号机器人6台；
方案三：型号机器人2台，型号机器人9台
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-工程问题
21．【答案】（1）解：过点作，垂足为，如图，
在中，，
，
，
．
答：坡面AC的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：如图，延长交于点，设，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在Rt中，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，在中，运用三角函数的定义得到和解题；
（2）延长交于点，设，即可得到，，，，在Rt中，根据三角函数的定义求得x值解题．
（1）解：过点作，垂足为，如图，
在中，，
，
，
．
答：坡面AC的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：如图，延长交于点，设，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在Rt中，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
22．【答案】（1）解：①当时，，
当时，，
故答案为：．
②描点，如图所示，
③连线，如图所示，
（2）①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小
（3）①或；②
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）根据函数图象，可得①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小
故答案为：①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小．
（3）①根据函数图象可得不等式的解集是或；
故答案为：或．
②根据函数图象可知，关于的方程有两个实数解，则的取值范围为，
故答案为：．
【分析】（1）①将，代入函数解析式，求出y值即可；
②把x，y的值转化为坐标，描在平面直角坐标系中；
③运用平海的曲线连接各点解题；
（2）根据函数图象写出两条性质解题；
（3）①根据表格得到函数图象与的交点，利用函数图象解答即可；
②借助函数图象，解答即可．
（1）解：①当时，，
当时，，
故答案为：．
②描点，如图所示，
③连线，如图所示，
（2）根据函数图象，可得①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小
故答案为：①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小．
（3）①根据函数图象可得不等式的解集是或；
故答案为：或．
②根据函数图象可知，关于的方程有两个实数解，则的取值范围为，
故答案为：．
23．【答案】解：（1）存在最小值，理由：证明：连接，如图1：
∵是的切线，
∴，
∴，其中为常数，
故当直线l时，最小，此时最小；
（2）；（3）；
（4）设直线和x轴正方向的夹角为，
设点，过点作于点，
∴，
则，
如图，过点A作直线l，
∴
∴，
∵为的切线，
∴，
∴面积，
∵
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
当直线l时，即点P、N重合时，最小，
此时，
∵，，
∴，
即，
解得：或
【知识点】切线的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）连接，如图：
由（1）知，，
∴当最小时，取得最小值，
∴当点P和点C重合时，为最小，此时，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大，
故
故答案为：；
（3）直线向下平移5个单位得到直线，
当，当，，
解得：，
∴点C、D的坐标分别为：，
∴，
设直线和的距离为h，过点B作于点M，连接，
∴，
∴，
对于直线，当，
∴，
∴，
∴，
而的最小值，
∴同上可得：，
∵四边形面积最小值，
故答案为：；
【分析】（1）根据切线的性质，利用勾股定理表示AP长，即可得到AP的值随着OP的值变化而变化，然后得到最小值即可；
（2）当点P和点C重合时，为最小，这时求得PE长，当点P和点B重合时，为最大，求出PE长解题即可解；
（3）根据四边形面积最小值解答即可；
（4）先得到面积，根据，即可得到，进而求出PA2的取值范围即可．
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