(共12张PPT)
第二章 不等式
一、选择题
1.(2017年)“x>4”是“(x-1)(x-4)>0”的 ( )
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】 B
【解析】 ∵“x>4” “(x-1)(x-4)>0”,但是“(x-1)(x-4)>0” “x>4”,
∴“x>4”是“(x-1)(x-4)>4”充分非必要条件.故选B.
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考题直通
2.(2018年)“x<-3”是“x2>9”的 ( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】 A
【解析】 x2>9 x<-3或x>3,x<-3 x<-3或x>3,反之不成立.故选A.
3.(2021年)“x<-1”是“|x|>1”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 x<-1 |x|>1;反之,不成立.故“x<-1”是“|x|>1”的充分不必要条件.故选A.
4.(2022年)“x>1”是“|x|>1”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 x>1 |x|>1;反之,不成立.故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件.故选A.
5.(2019年)不等式(x+1)(x-5)>0的解集是 ( )
A.[-1,5] B.(-1,5)
C.(-∞,-1]∪[5,+∞) D.(-∞,-1)∪(5,+∞)
【答案】 D
【解析】 由(x+1)(x-5)>0,解得x<-1或x>5.故选D.
6.(2020年)不等式x2-x-6<0的解集是 ( )
A.{x|x<-3或x>2} B.{x|-3
C.{x|x<-2或x>3} D.{x|-2【答案】 D
【解析】 原不等式可化为(x+2)(x-3)<0,解得-27.(2021年)不等式x2-6x-7≤0的解集是 ( )
A.{x|-1C.{x|x<-1或x>7} D.{x|x≤-1或x≥7}
【答案】 B
【解析】 原不等式可化为(x-7)(x+1)≤0,解得-1≤x≤7.故选B.
8.(2023年)不等式x2-6x+5≥0的解集为 ( )
A.{x|15}
C.{x|1≤x≤5} D.{x|x≤1或x≥5}
【答案】 D
【解析】 原不等式可化为(x-1)(x-5)≥0,解得x≤1或x≥5.故选D.
9.(2024年)“x>0”是“x2>0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.充分必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】 A
【解析】 ∵x2>0,得x>0或x<0,∴x>0 x2>0;
反之,不成立.
故“x>0”是“x2>0”的充分不必要条件.故选A.
10.(2024年)函数f(x)=log2(3+2x-x2)的定义域为 ( )
A.[-1,3] B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-1,3) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
【答案】C
【解析】由3+2x-x2>0,化为x2-2x-3<0,解得-1二、填空题
11.(2013年)不等式x2-2x-3<0的解集为 .
【答案】 (-1,3)
【解析】 x2-2x-3<0等价于(x-3)(x+1)<0,解得-1第二章 不等式
一、选择题(每小题5分,共75分)
1.不等式-6x-18<0的解集是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.(-3,+∞) D.(-∞,-3)
第二章单元检测
【答案】 C
【答案】 C
3.如果a>0,ab<0,那么 ( )
A.b>0 B.b可大于也可等于0
C.b<0 D.b可为任意实数
【答案】 C
【答案】 C
5.若a+b>0,a<0,则 ( )
A.aC.a<-b【答案】 B
6.不等式x2+12x+36>0的解集是 ( )
A. B.R
C.(-∞,-6)∪(-6,+∞) D.(-∞,-6)∪(6,+∞)
【答案】 C
【答案】 C
8.不等式|2x-3|>5的解集是 ( )
A.(-1,4) B.(-∞,-1)∪(4,+∞)
C.(-∞,-1) D.(4,+∞)
【答案】 B
【答案】 C
10.已知a是实数,不等式x2-x+a≤0的解集是[-2,3],则a= ( )
A.6 B.-6 C.5 D.-5
【答案】 B
11.已知|x-a|≤b的解集是[-3,1],则a,b的值分别是 ( )
A.-1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.1,-2
【答案】 B
12.下列命题中是真命题的是 ( )
A.如果a>b,那么ac>bc B.如果a>b,那么ac2>bc2
C.如果ac2>bc2,那么a>b D.如果a>b,c>d,那么ac>bd
【答案】 C
13.若a<0,-1A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a
【答案】 D
14.若x>0,y>0,且x+y=8,则xy的最大值为 ( )
A.8 B.12 C.16 D.64
【答案】 C
15.若关于x的方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个不等的实数根,则k的取值范围是 ( )
A.(-2,1) B.[-2,1]
C.(-2,-1)∪(-1,1) D.[-2,-1)∪(-1,1]
【答案】 C
二、填空题(每小题5分,共25分)
16.“|a|>3”是“a>3”的 条件.
【答案】 必要不充分
17.不等式x2-2x+1<0的解集是 .
【答案】
18.不等式|2x-1|≤3的解集是 .
【答案】 [-1,2]
19.如果以x为未知数的方程mx2-(1-m)x+m=0有两个不等的实数根,那么m的取值范围是 .
【答案】 -3
三、解答题(共50分)
21.(12分)解下列不等式:
(1)|5x-3|>6; (2)|3x-1|-5<0.
22.(12分)解下列不等式:
(1)(x+3)(2x-3)>0; (2)(x-3)(x-4)<6.
【解】 (1)原不等式等价于(x+3)·(x-2)>0,解得x<-3或x>2.
故原不等式的解集是(-∞,-3)∪(2,+∞).
(2)原不等式等价于(x+1)(x-2)<0,解得-1 故原不等式的解集是(-1,2).(共36张PPT)
第二章 不等式
【考试内容】
1.不等式的性质与证明.
2.不等式的解法.
3.不等式的应用.
【考纲要求】
1.了解不等式的性质,会证明简单的不等式.
2.理解不等式解集的概念,掌握一元一次不等式、一元二次不等式以及分式不等式和含绝对值不等式的求解方法.
3.会解简单的不等式应用题.
【知识结构】
【五年分析】
考点 年份
2020 2021 2022 2023 2024
不等式的性质
均值定理
一元二次不等式 T4 T6 T10 T9、T10
含绝对值不等式 T8 T3
分式不等式
总分值 5 10 5 5 10
不等式:主要考查不等式的基本性质与不等式的解法, 以选择题形式出现.2020年、2021年和2023年直接考一元二次不等式.2022年和2024年没有单独的不等式考题,而是考查将不等式的解法与充要条件或与对数的定义域问题相结合求解.在考查函数定义域、函数单调性时,会出现考查不等式且多体现在二次不等式中.
§2.1 不等式的性质与证明
【复习目标】
1.掌握不等式的基本原理.
2.熟悉不等式的基本性质和推论.
3.能利用不等式的性质,运用作差法来解题.
【知识回顾】
1.不等式的定义
用不等号“>,≥,<,≤,≠”将两个数字表达式连接起来所得到的式子叫做不等式.
2.两个实数大小的比较
a-b>0 a>b;
a-b=0 a=b;
a-b<0 a
4.不等式的证明
作差法
(1)依据:a-b>0 a>b;
a-b=0 a=b;
a-b<0 a(2)证明步骤:作差—变形(常用方法有因式分解、配方等)—判号—结论.
【点评】 本题也可采用特殊值法,代入进行验证,如用a=-2,b=-1
(满足条件a【点评】 要正确应用不等式的相关性质进行解题.
【对点练习2】 设aA.a(a-b)2>b(a-b)2 B.a(a-b)2C.a(a-b)2≥b(a-b)2 D.a(a-b)2≤b(a-b)2
【答案】 B
【解析】 ∵a0,
∴a(a-b)2 ∴B选项正确.故本题应选B.
【例3】 若-1<α<β<3,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.-4<α-β<0 B.-4<α-β<-1
C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<3
【点评】 两个不等式方向相同,不能相减.
【对点练习3】 若-3<α<β<2,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.-5<α-β<0 B.-5<α-β<-3
C.-3<α-β<0 D.-3<α-β<2
【例4】 设x是任意实数,比较x2-x与3x-4的大小.
【解】 ∵x2-x-(3x-4)=x2-x-3x+4=x2-4x+4=(x-2)2≥0,
∴x2-x≥3x-4.
【点评】 本题要用作差比较法,作差以后要进行配方.
【对点练习4】 设x是任意实数,比较x2-x与x-3的大小.
【解】 ∵x2-x-(x-3)=x2-x-x+3=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,
∴x2-x>x-3.
【点评】 比较含根式的式子的大小,一般先平方,再用作差法比较大小.
【仿真训练】
一、选择题
1.如果a>b,那么 ( )
A.a-b<0 B.a-b可小于也可以等于0
C.a-b>0 D.a-b可为任意实数
【答案】 C
【答案】 C
3.如果a>0,ab≥0,那么 ( )
A.b≥0 B.b<0
C.b>0 D.b可为任意实数
【答案】 A
【答案】 D
5.若-ab是负值,则 ( )
A.a<0,b>0 B.a>0,b<0
C.a>0,b>0或a<0,b<0 D.a>0,b<0或a<0,b>0
【答案】 C
7.已知0A.2a>a2>a B.2a>a>a2
C.a2>2a>a D.a>a2>2a
10.若a+b>0,b<0,则 ( )
A.a>b>-a>-b B.a>-a>b>-b
C.a>-b>b>-a D.-a>-b>a>b
二、填空题
11.比较大小:x2+3 3x;a2+b2+3 2(a-b).
12.比较大小:a2+b2+10 6a-2b.
13.若615.“a>0且b>0”是“ab<0”的 条件.
三、解答题
16.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.
【解】 ∵(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=a2-2a-15-(a2-2a-8)=-7<0,
∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).
17.已知x≠0,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
【解】 ∵(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2,
∵x≠0,∴x2>0.
∴(x2+1)2>x4+x2+1.(共56张PPT)
§2.3 不等式的解法
【复习目标】
1.掌握一元一次不等式(组)、含绝对值的不等式、一元二次 不等式、分式不等式的解法.
2.会在数轴上表示不等式或不等式组的解集.
3.培养运算能力.
【说明】 我们经常用区间表示不等式的解集.区间是数轴上两点间(即介于两个实数之间)的一切实数所组成的集合.如实数集R可用区间(-∞,+∞)表示,其他区间表示如下表所示:
集合 {x|a≤x≤b} {x|a区间 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b]
集合 {x|x>a} {x|x区间 (a,+∞) (-∞,b) [a,+∞) (-∞,b]
(2)两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解集情况,可以归结为以下四种基本类型:
类型(设ax>b
xa
3.一元二次不等式的解法
一般的一元二次不等式可利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c的有关性质求解,具体见下表:
a>0,Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
的图像
一元二次方程
ax2+bx+c=0
的根 有两个不相等的实根
x=x1或x=x2 无实根
一元二次不等式的解集 不等式
ax2+bx+c>0
的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} R
不等式
ax2+bx+c<0
的解集 {x|x1【说明】 (1)解一元二次不等式的步骤:
①把二次项的系数a变为正的(如果a<0,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正).
②解对应的一元二次方程(先看能否因式分解,若不能,再看Δ,然后求根).
③求解一元二次不等式(根据一元二次方程的根及不等式的方向).
(2)当a>0且Δ>0时,一元二次不等式的解集的口诀为“小于号取中间,大于号取两边”.
【点评】 求不等式组的解集,应先求各个不等式的解集,再求这些不等式的解集的交集,解集的交集即为不等式组的解集.
【例2】 解下列不等式:
(1)|x-2|>3; (2)|3x-5|<8; (3)|1-2x|≤5.
【点评】 第(3)题中注意除以负数要改变方向,此题也可先把
|1-2x|≤5化为|2x-1|≤5形式再求解,这样就避免了除以负数.
【对点练习2】 解下列不等式:
(1)|2x+1|>5; (2)|5x+2|<4; (3)|2-3x|≤7.
【例3】 解下列不等式:
(1)(3x-4)(2x+1)>0; (2)-x2-x+12>0.
【点评】 形如(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0的一元二次不等式用穿根法.口诀:小于号取中间,大于号取两边.
(2)不等式两边同乘以-1,得x2+x-12<0,
可化为(x-3)(x+4)<0,解得-4∴原不等式的解集为(-4,3).
【点评】 在解一元二次不等式时,如果二次项系数是负数,一般先在不等式的两边同乘以-1,使二次项系数变成正数,并改变不等号方向,然后再求解.
【例3】 解下列不等式:
(1)(3x-4)(2x+1)>0; (2)-x2-x+12>0.
【对点练习3】 解下列不等式:
(1)(x-5)(2x+3)>0; (2)-x2+5x+36>0.
【例4】 解不等式:-x2≤-6x+2.
【点评】 先用求根公式将x2-6x+2=0的根求出来,再用穿根法.口诀:大于号取两边.
【对点练习4】 解不等式:-x2≥-3x-2.
【仿真训练一】
一、选择题
1.不等式-8≤x<15写成区间形式是 ( )
A.(15,-8) B.(-8,15] C.[-8,15) D.[-8,15]
【答案】 C
2.不等式-2x>-6的解集是 ( )
A.(3,+∞) B.(-3,+∞)
C.(-∞,3) D.(-∞,-3)
【答案】 C
3.不等式3-2x≤9+4x的解集是 ( )
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,-1] D.(-∞,1]
【答案】 A
4.不等式2(2x+3)>5(x+1)的解集是 ( )
A.(1,+∞) B.(-1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,-1)
【答案】 C
5.不等式18-3(x+7)≥0的解集是 ( )
A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)
C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]
【答案】 D
6.不等式|x+3|>5的解集是 ( )
A.(2,+∞) B.(-∞,-8)∪(2,+∞)
C.(0,+∞) D.(-8,2)
7.已知不等式|x-a|A.-2,-4 B.2,-4
C.-2,4 D.2,4
9.设集合M={x|1≤x≤3},N={x||x-3|≤1},则M∩N= ( )
A.[1,4] B.[2,3]
C.[1,2] D.[3,4]
二、填空题
11.不等式|x-1|>0解集是 ,不等式|x-1|≥0的解集是 .
12.不等式|5x+3|>2的解集是 .
13.不等式|3-2x|-7≤0的解集是 .
14.不等式|3x-1|-3≥0的解集是 .
15.不等式3≥|5-2x|的解集是 .
18.解下列不等式:
(1)3≤|5-2x|; (2)2|x+1|-3<0.
【答案】 B
2.不等式x2-4x+3<0的解集是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,1)
C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
3.不等式x2 -1≤0的解集是 ( )
A.[-1,1] B.(-1,1]
C.[-1,1) D.(-∞,-1]∪(1,+∞)
7.不等式x-x2≤0的解集是 ( )
A.(0,1] B.[0,1]
C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,0)∪[1,+∞)
8.已知关于x的不等式x2-ax+a>0的解集为实数集R,则a的取值范围是 ( )
A.(0,4) B.[2,+∞)
C.[0,2) D.(-∞,0)∪(4,+∞)
9.不等式x2+6x+9>0的解集是 ( )
A. B.R
C.(-∞,-3)∪(-3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
10.若函数y=x2+(a-2)x+(5-a)对任意实数x恒取正值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-4,4) B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.[-4,4] D.(-∞,-4]∪[4,+∞)
12.不等式x2 -6x+8≥0的解集是 .
13.已知函数y=-x2+x+12,那么当x∈ 时,y>0;当x∈_______ 时,y=0;当x∈ 时,y<0.
14.不等式2x2+4>x2+6的解集是 .
15.如果以x为未知数的方程mx2-(1-m)x+m=0没有实数根,那么m的取值范围是 .
三、解答题
16.解下列不等式:
(1)(7x+3)(4-3x)>0; (2)x2-3x-18>0.(共28张PPT)
§2.2 均值定理
【复习目标】
1.掌握均值定理.
2.会用均值定理求最值.
3.会解不等式的应用题.
【例题精解】
【例1】 (1)若x>0,y>0,x+y=4,则xy的最大值是 .
(2)若x>0,y>0,xy=9,则x+y的最小值是 .
【对点练习1】 (1)若x>0,y>0,x+y=12,则xy的最大值是 .
(2)若x>0,y>0,xy=20,则x+y的最小值是 .
【例2】 当0【点评】 由于x+(4-x)=4为定值,且依题意有x>0,4-x>0,故可用均值定理求最值.
【对点练习2】 当0【仿真训练】
一、选择题
1.若x>0,y>0,x+y=4,则xy的最大值是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】 C
2.若x>0,y>0,xy=16,则x+y的最小值是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】 D
【答案】 D
【答案】 C
【答案】 D
8.已知0A.7 B.12 C.15 D.16
14.已知018.当0