(共27张PPT)
§7.2 数乘向量
【复习目标】
1.掌握数乘向量的概念、意义及运算.
2.掌握轴上向量的坐标及其运算.
(2)几何意义:λa是把向量a沿a的方向或a的反向放大或缩小而得到.
(3)运算律.
若λ,μ为实数,则:
①λ(μ a)=(λμ)·a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.
【说明】 数乘向量的运算律与实数的运算律类似.
【点评】 向量的加法、减法与数乘向量的综合运算,叫做向量的线性运算.此题均为向量的线性运算,其方法类似于实数范围内代数式的运算.
【答案】 (1)-2a (2)-4a+9b
【点评】 解含未知向量的方程与解一元一次方程一样.
【点评】 此题是轴上向量的坐标(也叫数量)运算,用终点坐标减起点坐标即可;向量的长度就等于数量的绝对值.
【答案】 -2 5
【答案】 B
【答案】 C
【答案】 B
4.下列不一定属于平行向量的一组是 ( )
A.a与b B.b与-2b C.a与2a D.a与-a
【答案】 A
【答案】 A
8.设数轴上两点A,B的坐标分别为x1,x2,且x2=-5,|AB|=2,则x1= ( )
A.3 B.7 C.3或7 D.-3或-7
10.已知向量a=e1+2e2,b=2e1-e2,则向量与a+2b与2a-b( )
A.一定共线 B.一定不共线
C.仅当e1与e2共线时共线 D.仅当e1=e2时共线
二、填空题
11.5(a-2b)+(2a+3b)= .
12.若向量a=e1+e2,b=e1-e2,则a+2b= .
14.已知向量a,b为起点相同的两个不共线向量,若a∥c,b∥c,则c= . (共14张PPT)
第七章 平面向量
考题直通
2.(2019年)已知向量a=(x,-3),b=(3,1),若a⊥b,则x= ( )
A.-9 B.9 C.-1 D.1
【答案】 D
【解析】 根据向量垂直条件,得3x+(-3)×1=0,解得x=1.故选D.
【答案】 A
【解析】 ∵向量a=(1,x),b=(2,4),且a∥b,
∴根据向量平行条件,得1×4-2x=0,解得x=2.故选A.
6.(2023年)设向量a=(x,2),b=(3,1-x),若a⊥b,则x= ( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
【答案】 D
【解析】 由题知3x+2(1-x)=0,解得x=-2.故选D.
7.(2024年)已知向量a=(-1,1),b=(1,5),则2a+b= ( )
A.(-3,6) B.(-1,7)
C.(-1,-3) D.(-2,10)
【答案】 B
【解析】 2a+2b=2(-1,1)+(1,5)=(-2,2)+(1,5)=(-1,7).故选B.
二、填空题
8.(2018年)已知向量a=(4,3),b=(x,4),若a⊥b,则|b|= .
10.(2020年)设向量a=(1,-2),b=(x,-4),若a⊥b,则x= .
【答案】 -8
【解析】 ∵a⊥b,
∴1·x+(-2)×(-4)=0,解得x=-8.
11.(2021年)已知向量a=(x-3,2),b=(1,x),若a⊥b,则x= .
【答案】 1
【解析】 ∵a⊥b,
∴(x-3)×1+2x=0,解得x=1.
12.(2022年)已知向量a=(1,1),b=(3,-4),设a,b的夹角为θ,则
cos θ= .(共25张PPT)
第七章 平面向量
一、选择题(每小题5分,共75分)
1.若非零向量a与b共线,则以下说法正确的是 ( )
A.a与b必须在同一条直线上
B.a与b平行,且方向必须相同
C.a与b平行,且方向必须相反
D.a与b平行
第七章单元检测
【答案】 D
【答案】 A
【答案】 B
【答案】 B
【答案】 D
【答案】 B
7.已知向量a=(3,1),b=(-2,5),则3a-2b= ( )
A.(2,7) B.(13,-7) C.(2,-7) D.(13,13)
【答案】 B
【答案】 A
【答案】 C
【答案】 D
【答案】 A
【答案】 B
【答案】 B
【答案】 D
15.已知向量a=(x,4),b=(-3,2),若(a+b)⊥2b,则x= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】 C
【答案】 (11,-11)
18.已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),则顶点D的坐标为 .
【答案】 (2,2)
20.已知两非零向量a和b,若|a+b|=|a-b|成立,则a·b= .
【答案】 0
24.(14分)已知向量a=(1,2),b=(-3,2),求分别满足下列条件时k的值.
(1)ka+b与a-3b垂直时;
(2)ka+b与a-3b平行时.(共25张PPT)
§7.3 向量的内积及其运算
【复习目标】
1.理解向量内积的概念与性质,特别要理解向量夹角的概念.
2.掌握向量内积的运算律,能用向量的内积解简单平面几何问题.
2.向量内积的运算律
(1)a·b=b·a;
(2)λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
【说明】 一般地,(a·b)·c≠a·(b·c).也就是说,向量内积没有“乘法的结合律”.
【例题精解】
【例1】 已知|a|=2,|b|=5,
=60°.求:
(1)a·b;
(2)(2a+b)(a-2b).
【点评】 运用向量内积的定义公式、向量内积运算律求解.
【对点练习1】 已知|a|=3,|b|=2,=30°.求:
(1)a·b;
(2)2a·(a+b).
【例2】 已知a·b=-8,|a||b|=16,求.
【对点练习2】 已知a·b=8,|a|=|b|=4,则= .
【例3】 已知|a|=6,|b|=8,=120°,求|a+b|2.
【解】 |a+b|2=(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2
=36+2×6×8×cos 120°+64=52.
【点评】 写出|a+b|2=(a+b)·(a+b)这一关系式,是解题的切入点.
【对点练习3】 已知|a|=1,|b|=2,=60°,求|a+b|.
【仿真训练】
一、选择题
1.若向量a与b是表示不同的非零向量,则下列命题为真命题的是 ( )
A.a·b表示一个向量 B.a·b表示一个实数
C.a·b=|a|·|b| D.的范围是(0,π)
【答案】 B
【答案】 A
【答案】 A
4.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a= ( )
A.3 B.9 C.12 D.13
【答案】 D
【答案】 A
6.若a与b均为单位向量,则下列命题为真命题的是 ( )
A.a=b B.a·b=1
C.若a∥b,则a=b D.|a|2=|b|2
8.已知|a|2=1,|b|2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.若a⊥b,则一定有 ( )
A.|a+b|=|a|+|b| B.|a+b|=|a|-|b|
C.|a+b|=|a-b| D.|a-b|=|a|+|b|
二、填空题
11.若|a|=3,|b|=4,=120°,则2a·b= .
12.若a·b=-8,|a|=4,|b|=2,则= .
14.已知|a|=3,|b|=2,=120°,则|a+b|= . (共27张PPT)
§7.4 向量的直角坐标运算
【复习目标】
1.理解向量的直角坐标的概念.
2.掌握向量的直角坐标运算.
3.理解掌握距离公式、中点坐标公式及其应用.
【例题精解】
【例1】 已知向量a=(2,1),b=(-3,4).
(1)求3a-4b;
(2)若2a+x=b,求x.
【解】 (1)3a-4b=3(2,1)-4(-3,4)=(6,3)-(-12,16)=(18,-13).
(2)由2a+x=b,得x=b-2a=(-3,4)-2(2,1)=(-3,4)-(4,2)=(-7,2).
【点评】 先用“向量的直角坐标”替换“相对应的向量”,再根据向量的加法、减法、数乘的坐标运算公式进行计算.
【对点练习1】 已知向量a=(2,-3),b=(1,3).
(1)求2a-b;
(2)若a-x=b,求x.
【解】 (1)2a-b=2(2,-3)-(1,3)=(4,-6)-(1,3)=(3,-9).
(2)由a-x=b,得x=a-b=(2,-3)-(1,3)=(1,-6).
【点评】 “已知两向量的直角坐标,求夹角”,只需求出|a|,|b|和a·b,再用向量夹角公式即可.
【对点练习2】 已知向量a=(-3,1),b=(2,1),求.
【点评】 此题考查向量平行、垂直条件的坐标表示形式.
【仿真训练】
一、选择题
1.若向量a=(2,3),b=(-1,2),则2a-3b= ( )
A.(7,0) B.(1,0) C.(3,1) D.(1,5)
【答案】 A
【答案】 B
3.已知点A(2,3),B(-6,1),则线段AB的中点坐标是 ( )
A.(4,1) B.(-4,2) C.(-2,2) D.(-4,4)
【答案】 C
【答案】 D
5.若向量a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是 ( )
A.m=2,n=1 B.m=2,n=-1
C.m=-2,n=1 D.m=-2,n=-1
【答案】 A
9.若x轴上一点A与点B(3,12)的距离等于13,则点A的坐标是 ( )
A.(-2,0)或(5,0) B.(8,9)或(10,0)
C.(-2,0)或(8,0) D.(0,0)或(10,0)
12.已知a=(4,1),b=(1,-1),则a·b= .
【答案】 3
13.设向量a=(4,-1),b=(2,x),若a⊥b,则|b|= .
14.若点A(-3,y),B(x,5)的连线的中点坐标为(-2,1),则x= ,y= .
15.已知a=(2,-sin θ),b=(3,2cos θ),若a∥b,则tan θ= .(共34张PPT)
第七章 平面向量
【考试内容】
1.向量的概念;向量的运算.
2.轴上向量的坐标及其运算;平面向量的直角坐标运算.
3.两个向量平行(共线)的条件;两个向量垂直的条件.
4.中点坐标公式;两点间距离公式.
【考纲要求】
1.理解向量的概念、向量的长度(模)和单位向量,理解相等向量、负向量、平行(共线)向量的意义.
2.掌握向量的加法与减法运算及其运算法则.
3.理解数乘向量的运算及其运算法则.掌握两个向量平行(共线)的条件.
4.理解向量的数量积(内积)及其运算法则.掌握两个向量垂直的条件.
5.理解平面向量坐标的概念、掌握平面向量的坐标运算.
6.掌握中点坐标公式和两点间距离公式.
【知识结构】
【五年分析】
考点 年份
2020 2021 2022 2023 2024
向量概念及向量的加、减法运算
数乘向量
向量的内积及其运算 T13 T17 T18
向量的直角坐标运算 T12、T16 T12 T6 T8 T8
总分值 10 10 10 5 10
平面向量:主要考查向量的基本概念、基本运算与基本性质,考查内容越来越集中、考查难度越来越低、考查方向越来越明确,几乎都是以向量直角坐标的运算形式出现.其中向量的加减法、向量的平行与垂直、向量的长度、向量的内积、向量的夹角是重要考查对象.考查题型也只是选择或填空题.
§7.1 向量的概念及向量的加、减法运算
【复习目标】
1.理解向量的概念.
2.掌握向量的加法、减法运算;能熟练地运用三角形法则和平行四边形法则作图和计算.
3.能准确运用以上知识解决实际生活中与向量有关的问题.
(4)几个重要概念.
①零向量:长度等于0的向量叫零向量.
②单位向量:长度等于“1个单位”的向量叫单位向量.
③相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
④相反向量:长度相等且方向相反的向量叫相反向量.
⑤平行向量(共线向量):表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则称这些向量为平行向量(也叫共线向量).
【说明】 ①零向量的方向是任意的.
②零向量与任何向量都是平行向量.
③任何一个向量a的相反向量都可以记为-a.
④表示平行向量的有向线段所在的直线平行或重合,即平行向量的方向只能相同或相反.
⑤相等向量、相反向量一定是平行向量;反之,不成立.
⑥零向量与单位向量只体现向量的长度特征;平行向量只体现向量之间的方向关系;相等向量、相反向量同时体现向量之间的长度与方向关系.
【点评】 首尾连接的两个向量的和向量等于第一个向量的始点指向第二个向量的终点;共始点的两个向量的和等于这一始点出发的对角线对应的向量(向量加法的平行四边形法则);共始点的两个向量的差向量等于减向量的终点指向被减向量的终点.
【答案】 B
【仿真训练】
一、选择题
1.下列对“向量”描述正确的是 ( )
A.只有大小 B.只有方向
C.既有大小又有方向 D.既无大小又无方向
【答案】 C
2.下列命题正确的是 ( )
A.平行向量所在的直线平行或重合
B.共线向量所在的直线一定重合
C.单位向量都相等
D.方向相反的向量互为相反向量
【答案】 A
【答案】 D
13.设a表示“向东走3 km”,b表示“向北走3 km”,则a+b表示 .