(共23张PPT)
§4.5 反函数
【复习目标】
1.理解反函数的概念,掌握反函数的性质.
2.会求简单函数的反函数.
【知识回顾】
1.定义:已知一个函数y=f(x),设其定义域为A,值域为C,根据y=f(x)中y与x的关系,用y表示x,得x=φ(y),如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么就得到一个定义在C上的,以y为自变量的新函数x=φ(y),这个新函数叫做函数y=f(x)的反函数,通常记作x=f-1(y).
在函数x=f-1(y)中,y表示自变量,x表示因变量.但是习惯上,我们用x表示自变量,用y表示因变量.这样y=f(x)的反函数记作y=f-1(x),
函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.
2.函数y=f(x)和其反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.
3.函数的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域.
【例题精解】
【例1】 已知函数f(x)=100x-1,则f-1(10000)= .
【解】 ∵函数y=f(x)和其反函数y=f-1(x)的图像关于y=x对称,
∴求f-1(10000)亦即求100x-1=10000中x的值,解得x=3.
【对点练习1】 函数y=f(x)的图像过点(a,b),则其反函数y=f-1(x)的图像过点 .
【答案】 (b,a)
【例2】 已知一次函数y=kx+b的图像经过点(1,3),且其反函数的图像经过点(-3,-2),求这个一次函数.
【对点练习2】 已知函数f(x)=5x,则其反函数f-1(x)的定义域是 .
【答案】 (0,+∞)
【例3】 求下列函数的反函数:
(1)y=4x-3; (2)y=3x.
【对点练习3】 函数y=3x-1的反函数是 .
函数y=5x的反函数是 .
【答案】 B
2.下列函数中,不存在反函数的是 ( )
A.y=2x B.y=log2x C.y=x2 D.y=x2(x≤0)
【答案】 C
3.已知函数f(x)=3x,则函数f-1(x)的定义域是 ( )
A.(0,+∞) B.(5,+∞) C.(6,+∞) D.(-∞,+∞)
【答案】 A
4.函数y=3+2x-1的反函数的图像经过点 ( )
A.(2,5) B.(1,3) C.(5,2) D.(3,1)
【答案】 C
【答案】 A
6.若函数f(x)存在反函数,则f(x)一定不是 ( )
A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数
7.若y=g(x)的图像与y=3x的图像关于直线y-x=0对称,则 ( )
A.g(x)=log3x B.g(x)=-log3x
C.g(x)=3x D.g(x)=3-x
8.已知函数y=f(x)是函数y=ax的反函数,若f(8)=3,则a= ( )
A.2 B.3 C.4 D.8
二、填空题
9.若函数y=f(x)的图像经过点(0,1),则其反函数必过点 .
10.若函数f(x)=lg x,则f-1(x)= .
12.已知函数f(x)=10x-1,则f-1(1000)= .
【答案】 3
三、解答题
14.根据下列条件,求反函数.
(1)已知函数f(x)=log2x(x>0),求f-1(x);
(2)已知函数f(x)=2x+1,求f-1(x).
15.已知函数f(x)=ax+b的图像过点(1,3),其反函数f-1(x)的图像过点(2,0),求函数f(x)的解析式.(共25张PPT)
第四章 指数函数与的对数函数
第四章单元检测
【答案】 C
【答案】 B
【答案】 D
【答案】 D
【答案】 D
【答案】 D
【答案】 B
【答案】 C
【答案】 C
【答案】 B
【答案】 B
【答案】 A
【答案】 A
14.函数y=lg(x-1)的定义域是 ( )
A.(1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,1)
【答案】 A
【答案】 C
【答案】 -4
17.已知5a=2,25b=9,则5a-2b的值等于 .
18.已知log3x=3,则x= .
【答案】 27
【答案】 [1,+∞)
20.已知函数f(x)=log5(x-4)+3,则f(9)= .
【答案】 4
【解】 由题意,得3x+1=x-9,
解得x=-5.
22.(12分)解方程:log3(2x+3)=log3(x+9)
【解】 由题意,得2x+3=x+9,解得x=6,
经检验,x=6是原方程的解.
23.(14分)求函数y=log2(x2-4)的定义域.
【解】 要使得y=log2(x2-4)有意义,
必须使x2-4>0,即(x+2)(x-2)>0,
解得x<-2或x>2.
∴其定义域为{x|x<-2或x>2}.(共29张PPT)
§4.2 指数函数
【复习目标】
1.掌握指数函数的图像与性质.
2.能利用指数函数的性质解决问题.
【知识回顾】
1.函数y=ax(a>0且a≠1,x∈R)叫做指数函数.
2.一般地,指数函数y=ax(a>0,a≠1)在其底数a>1及0
a a>1 0图像
函数性质 (1)x∈R;(2)y>0;(3)函数的图像都通过点(0,1)
(4)在(-∞,+∞)上是增函数 (4)在(-∞,+∞)上是减函数
(5)当x>0时,y>1;
当x<0时,00时,0当x<0时,y>1
【例题精解】
【例1】 函数y=5-x是 ( )
A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数
【点评】 根据指数函数的性质可知,应选B.
【答案】 (1)B (2)A
【例2】 比较下列各小题中两个实数的大小.
(1)0.53和0.53.1; (2)3.145和3.146.
【解】 (1)∵函数y=0.5x在实数集上为减函数,3<3.1,
∴0.53>0.53.1.
(2)∵函数y=3.14x在实数集上为增函数,5<6,
∴3.145<3.146.
【点评】 根据指数函数的性质分析解答这题.
【答案】 > >
【例3】 已知指数函数f(x)=ax的图像过点(2,9),求f(3)的值.
【解】 ∵函数图像过点(2,9),∴f(2)=9,即a2=9.
∵9=(±3)2,且a>0,∴a=3.
因此,函数解析式为f(x)=3x.
∴f(3)=33=27.
【点评】 先求a的值，得到函数解析式,再求f(3)的值.
【解】 要使函数有意义,必须x-1≥0即x≥1,
∴函数的定义域为[1,+∞).
【解】 要使函数有意义,则需x+1≥0,得x≥-1,
故函数的定义域为[-1,+∞).
【仿真训练】
一、选择题
1.对于函数y=ax(a>0且a≠1),以下说法不正确的是 ( )
A.当a>1时是增函数 B.当0C.函数是非奇非偶函数 D.定义域与值域相同
【答案】 D
【答案】 C
3.函数y=2-x是 ( )
A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数
【答案】 D
4.函数y=5x与y=5-x的图像之间的关系是 ( )
A.关于原点对称 B.关于x轴对称
C.关于直线y=x对称 D.关于y轴对称
【答案】 D
5.若a∈(0,1),则下列不等式中正确的是 ( )
A.a0.8>a0.7 B.a0.81
【答案】 B
7.若指数函数y=ax是减函数,则下列不等式中,成立的是 ( )
A.a>1 B.a<1 C.00
10.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1,b是实数)的图像过点(1,7)与(0,4),则f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=5x+2 B.f(x)=4x+3
C.f(x)=3x+4 D.f(x)=2x+5
12.若函数f(x)=2x,则f(4)= .
13.当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax必过定点 .
【答案】 (0,1)
【答案】 [0,+∞)
15.若2x<4,则x的取值范围是 .
【答案】 (-∞,2)
三、解答题
16.作函数y=2x的图像.
【解】 略.(共34张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
【考试内容】
1.指数与指数函数.
2.对数及其运算,换底公式,对数函数,反函数.
【考纲要求】
1.了解n次根式的意义;理解有理指数幂的概念及运算性质.
2.理解指数函数的概念;理解指数函数的图像和性质.
3.理解对数的概念(含常用对数、自然对数的记号)及运算性质,能进行基本的对数运算.
4.理解对数函数的概念;理解对数函数的图像和性质.
5.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系;会求一些简单函数的反函数.
【知识结构】
【五年分析】
考点 年份
2020 2021 2022 2023 2024
指数、对数的运算 T10 T16 T16
指数函数图像与性质 T9
对数的概念 T5
对数函数定义域 T2 T10
对数函数单调性 T4
对数函数求值 T13 T13
指数函数求值、奇偶性 T2 T14
反函数(反函数与原函数关系) T3
总分值 10 15 10 15 15
指数函数、对数函数:分值在10分~15分之间.主要考查基本性质,如指数与对数运算,指数函数与对数函数的单调性、定义域;题型基本为选择题.考点:2020年对数函数定义域、反函数与原函数关系;2021年对数函数单调性、指数的运算、对数函数求值;2022年指数函数求值、对数的概念;2023年指数、对数的运算,指数函数的性质,指数函数求值,函数奇偶性的应用;2024年对数函数定义域、利用分段函数进行指数、对数运算和指数幂运算.
§4.1 指数的概念及运算
【复习目标】
了解n次根式的意义,掌握指数的运算性质,能熟练地进行指数运算.
3.实数指数幂的运算法则
(1)am·an=am+n.
(2)(am)n=am n.
(3)(a·b)n=an·bn.(注m,n∈R,a>0,b>0).
【对点练习1】 计算:
(-23)2= ;(-100)0= ;a-2·a9·a-5= .
【答案】 64 1 a2
【例2】 若5x=6,5y=8,则5x-y= .
【对点练习2】 若3a=2,9b=10,则3a+2b= .
【答案】 20
【例3】 如果a2m-1·am+2=a7,则m= .
【解】 ∵a2m-1·am+2=a3m+1=a7,∴3m+1=7.解得m=2.
【对点练习3】 如果a2m+1÷am+1=a5,则m= .
【答案】 5
【例4】 化简:(a2b3)-2·(a5b-2)0÷(a4b3)2.
【解】 (a2b3)-2·(a5b-2)0÷(a4b3)2=a-4b-6÷a8b6=a-4-8·b-6-6=a-12·b-12.
【解】 原式=4a.
【仿真训练】
一、选择题
1.(-a2)3的运算结果是 ( )
A.a5 B.-a5 C.a6 D.-a6
【答案】 D
【答案】 B
【答案】 B
【答案】 D
【答案】 D
6.下列计算正确的是 ( )
A.a2·a3=a6 B.a3÷a=a3
C.(a2)3=a6 D.(3a2)4=9a4
7.若(a2-9)0=1,则a必须满足 ( )
A.a≠3 B.a≠-3
C.a≠3或a≠-3 D.a≠3且a≠-3
8.如果am-1·am+1=a6,则m的值是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.m16可以写成 ( )
A.m8+m8 B.m8·m8 C.m2·m8 D.m4·m4
14.计算:23×2-5×26= .
【答案】 x2
17.若10x=3,10y=4,则10x-y= ;
若5b=2,25a=9,则52a+b= . (共14张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
考题直通
2.(2020年)已知函数f(x)=2x-1(x∈R)的反函数是g(x),则g(-3)= ( )
A.9 B.1 C.-1 D.-9
3.(2021年)下列函数在其定义域内单调递增的是 ( )
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=2-x D.y=lg x
【答案】 D
【解析】 由于a=10>1,故y=lg x为增函数.故选D.
【答案】 D
【解析】 由负数指数意义可知选D.
【答案】 C
【解析】 f(1)=(1-2)3=-1,f(2)=log22=1.故选C.
【答案】 B
【解析】 f(-2)=2+(-2)=0,f(0)=20=1,则f(-2)+f(0)=0+1=1.故选B.
7.(2022年)已知log2a=3,则a2= ( )
A.9 B.36 C.64 D.81
【答案】 C
【解析】 由log2a=3,得a=23=8,故a2=64.故选C.
8.(2023年)已知a=0.83,b=30.8,c=log30.8,则 ( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.a>c>b
【答案】 B
【解析】 由题可知,01,c<0,故b>a>c.
【答案】 A
【解析】 因为f(1)=21-1=1,且f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-1.
10.(2024年)函数f(x)=log2(3+2x-x2)的定义域为 ( )
A.[-1,3] B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-1,3) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
【答案】 C
【解析】 由3+2x-x2>0得(x+1)(x-3)<0,解得-1【答案】 A
【解析】 由t=f(-1)=e-1> 0,得f(t)=f(e-1)=ln e-1=-1.故选A.
二、填空题
12.(2023年)计算:log28= .
【答案】 3
【解析】 log28=log223=3log22=3.(共29张PPT)
§4.4 对数函数
【复习目标】
掌握对数函数的图像和性质,能利用对数函数的性质解决实际问题.
【知识回顾】
1.对数函数:形如y=logax(a>0,a≠1,x>0)的函数叫做对数函数.
2.一般地,对数函数y=logax(a>0,a≠1)在其底数a>1及0a a>1 0图像
函数性质 (1)x>0;(2)y∈R;(3)函数的图像都通过点(1,0)
(4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数
(5)当x>1时,y>0;
当01时,y<0;
当00
【例题精解】
【例1】 当a>1时,在同一个坐标系内,函数y=a-x与y=logax的图像是 ( )
A B C D
【点评】 因为a>1,所以函数y=a-x为减函数,y=logax为增函数.故选A.
【对点练习1】 函数y=logax(a>1)的图像大致是 ( )
A B C D
【答案】 A
【解】 (1)要使函数有意义,必须使x-1>0,解得x>1.
∴函数定义域为{x|x>1}.
(2)要使函数有意义,必须使 ,解得 .
∴函数定义域为 .
【点评】 请同学们分析它的解法,然后自己解第二小题及对点练习.
【例3】 已知loga3>loga2,确定a的取值范围.
【解】 根据对数函数意义与单调性,由loga3>loga2,得a>1.
【点评】 此题是已知两对数值的大小关系,确定某参数的取值范围,应用的主要知识有对数函数的意义与单调性.
【答案】 增 减
【例4】 已知方程lg(2x)+lg 5=2,则x= .
【解】 由lg(2x)+lg 5=lg(10x)=2,得10x=100,解得x=10.
【对点练习4】 已知方程lg x+lg 2=1,则x= .
【答案】 5
【答案】 C
【答案】 D
【答案】 B
【答案】 A
5.设a=log25,b=log20.5,c=log20.2,则a,b,c之间的大小关系是 ( )
A.b>a>c B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a
【答案】 C
6.若方程lg x+lg 5=2,则x= ( )
A.10 B.20 C.100 D.200
7.函数y=lg(x-1)的图像与x轴交点坐标是 ( )
A.(11,0) B.(10,0) C.(2,0) D.(1,0)
8.已知函数f(x)=log3(x-9)+|2-x|,则f(10)= ( )
A.6 B.8 C.9 D.11
10.在同一坐标系中,函数y=2-x与y=log2x的图像是 ( )
A B C D
12.函数y=logax的图像总是经过点 .
【答案】 (1,+∞)
14.如果log0.2a>log0.23,那么a的取值范围是 .
【答案】 (0,3)
15.已知函数f(x)=log5(x-4)+3,则f(9)= .
【答案】 4
16.不等式log2(x+1)<3的解集是 .
【答案】 (-1,7)
三、解答题
17.求下列函数的定义域:
(1)y=log0.5(2x-3); (2)y=log3(4-3x).
18.解下列方程:
(1)log3(2x+3)=log3(x+9); (2)log9(5x-1)=1.
【解】 (1)由2x+3=x+9,解得x=6.
经检验,x=6是原方程的解.
(2)由5x-1=9,得5x=10,解得x=2.
经检验,x=2是原方程的解.(共29张PPT)
§4.3 对数的概念及运算
【复习目标】
1.掌握对数的概念,能熟练地进行指数式和对数式的互化.
2.掌握积、商、幂的对数和对数的换底公式,能用公式进行化简、求值、证明.
【知识回顾】
1.对数的概念
如果ab=N(a>0且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数.
特别地，以10为底的对数叫做常用对数，log10N可简记作lg N.
以无理数e=2.71828…为底的对数叫做自然对数，logeN可简记作ln N.
2.对数的性质
(1)1的对数等于零,即loga1=0(a>0且a≠1).
(2)底的对数等于1,即logaa=1(a>0且a≠1).
(3)零和负数没有对数.
【点评】 根据指数式与对数式互化方法y=ax x=logay (x∈R,y>0,a>0且a≠1)解答.
【点评】 利用积、商、幂的对数运算公式解答.
【对点练习2】 计算:
(1)lg(100×103)= ;
(2)log36-log34+log318= .
【答案】 (1)5 (2)3
【例3】 已知lg 2=p,lg 3=q,用p,q表示下列各对数.
(1)lg 8; (2)lg 36.
【解】 (1)lg 8=lg 23=3lg 2=3p.
(2)lg 36=lg 4+lg 9=2lg 2+2lg 3=2p+2q.
【点评】 利用对数运算法则解答.
【对点练习3】 已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示下列各对数.
(1)lg 9= ; (2)lg 6= .
【答案】 (1)2b (2)a+b
【例4】 解下列方程:
(1)log3x=0; (2)log2(x-1)=1.
【解】 (1)由log3x=0,得x=30=1.经检验,x=1是原方程的解.
(2)由log2(x-1)=1,得x-1=21,则x=3.
经检验,x=3是原方程的解.
【点评】 根据对数的定义及性质解答.
【对点练习4】 已知log2(x2-3)=0,则x= .
【答案】 2
【仿真训练】
一、选择题
1.将32=9改写成对数形式是 ( )
A.log23=9 B.log32=9
C.log39=2 D.log93=2
【答案】 C
【答案】 C
【答案】 D
【答案】 C
5.计算:log62+log63= ( )
A.6 B.5 C.1 D.log65
【答案】 C
8.设x>0,y>0,a>0且a≠1,则下列等式中,正确的是 ( )
A.(ax)y=axy B.loga(x+y)=logax+logay
C.axy=axay D.loga(xy)=logax·logay
13.计算:log220-log25= .
【答案】 2
14.已知log3x=2,则x= .
【答案】 9
15.若lg 2=a,则lg 4= ;lg 5= .
【答案】 2a 1-a
三、解答题
16.计算:
(1)log2(47×25); (2)log315+log318-log310.
【解】 (1)log2(47×25)=log2(214×25)=log2219=19.
(2)log315+log318-log310=log3(15×18÷10)=log327=3.
17.解下列方程:
(1)log5x=0; (2)log2(x+3)=1.
【解】 (1)由log5x=0,得x=50=1,
经检验,x=1是原方程的解.
(2)由log2(x+3)=1,得x+3=2,x=-1,
经检验,x=-1是原方程的解.