(共33张PPT)
第三章 函 数
【考试内容】
1.函数的概念.
2.函数的单调性和奇偶性.
3.二次函数.
【考纲要求】
1.理解函数的定义及记号;了解函数的三种表示法和分段函数.
2.理解函数的单调性和奇偶性,能判断一些简单函数的奇偶性和单调性.
3.掌握二次函数的图像和性质及其简单应用.
【知识结构】
【五年分析】
函数:主要考查函数的基础知识,除2023年外,定义域年年考,且难度较小;函数求值多以分段函数体现;指数、对数计算较为常见,函数的奇偶性、单调性也是重要考点.
考点 年份
2020 2021 2022 2023 2024
求函数值 T13 T2 T13
求函数的定义域 T2 T2 T4 T10
二次函数及其图像 T22 T21 T21 T23 T22
函数的单调性 T4
函数的奇偶性 T14 T3
总分值 17 27 22 17 27
§3.1 函数的概念
【复习目标】
1.理解函数的概念.
2.对给定的函数,会求函数值.
3.掌握求函数定义域的基本方法.
4.掌握求函数值域的基本方法.
【知识回顾】
1.函数的定义
如果在某变化过程中,有两个变量x和y,对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则f,y 都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数.
其中x叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,和x对应的y值叫做函数值,所有函数值的集合叫做函数的值域.
2.函数的三要素
定义域、值域和对应法则是函数的三要素.
【说明】 (1)求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的x的取值范围.
(2)函数的定义域必须表示成集合或区间的形式.
3.分段函数
在函数定义域内,若对于自变量x的不同取值区间有不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.
【例题精解】
【例1】 已知函数f(x)=2x2-x+3,则f(-1)= ,f(-x)=
,-f(x)= ;若f(b)=9,则b= .
【点评】 本题主要考查求函数值,解题时只需要把自变量代入相应的解析式进行求值即可.
【对点练习1】 已知函数f(x)=x2-3x-2,则f(-1)= ,
f(-x)= ,-f(x)= ;若f(b)=8,则b= .
【答案】 2 x2+3x-2 -x2+3x+2 -2或5
【解析】 f(-1)=(-1)2-3×(-1)-2=2;
f(-x)=(-x)2-3(-x)-2=x2+3x-2;
-f(x)=-x2+3x+2;
由b2-3b-2=8,解得b=-2或b=5.
【点评】 本题主要考查分段函数的求值,求值时需看清自变量所属范围,利用对应表达式进行求值.对于复合函数的求值,我们可分步进行.
【解】 f(-2)=(-2)2+1=5,
f(3)=-3+6=3,
f(7)=-7+6=-1,
f[f(7)]=f(-1)=(-1)2+1=2.
【点评】 1.常见函数求定义域几种类型.
(1)分式:分母不能为零.
(2)根式:
①偶次根式中被开方数为非负实数(即被开方数要大于或等于零);
②奇次根式中被开方数可为任意实数.
2.某些题中x常受到不止一个条件的限制,此时求定义域,我们要列出关于x的等价不等式组.
(3)∵要使函数有意义,须当且仅当x2-3x-28≥0,此时解得x≤-4或x≥7,
∴函数的定义域为(-∞,-4]∪[7,+∞).
(4)∵要使函数有意义,须当且仅当x2-x-12>0,此时解得x<-3或x>4,
∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(4,+∞).
【解】 ∵f(m)=4,
∴当x≤0时,由-m+4=4,解得m=0;
当x>0时,由m2=4,解得m=2或m=-2(舍去).
综上所述,m=0或m=2.
【点评】 分段函数是近几年高考常考的考点.解此题时要注意两点:(1)此题函数分为两段,则根据f(m)=4列式时,应分别列各段函数的对应式;(2)求m的值时,注意求得的值要与原题中自变量的范围相符,舍去不合题意的解,如m=-2(舍去).
【解】 ∵f(a)=3,
∴当x>0时,由|2a+1|=3,解得a=1或a=-2(舍去),
当x≤0时,由a2+2a-5=3,解得a=-4或a=2(舍去).
综上所述,a=1或a=-4.
【仿真训练】
一、选择题
1.已知函数f(x)=3x-2,则f(2)= ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】 B
2.已知函数f(x)=x3+4x2+11x+7,则f(-1)= ( )
A.-1 B.7 C.1 D.19
【答案】 A
【答案】 D
【答案】 B
5.已知函数f(x)=x2+m,且f(2)=0,则f(3)= ( )
A.-4 B.4 C.5 D.9
【答案】 C
二、填空题
11.已知函数f(x)=x2+2x+1,则f(-2)= .
【答案】 15(共54张PPT)
§3.2 二次函数及其图像
【复习目标】
1.掌握二次函数图像的画法及图像的特征.
2.掌握二次函数的性质,能利用其性质解决实际问题.
3.会求二次函数在指定区间上的最大(小)值.
4.掌握二次函数、一元二次方程的关系.
【说明】 1.我们研究二次函数的性质时常用的方法有两种:
配方法和公式法.
2.无论是公式法还是配方法,我们利用它们都可以直接得出二次
函数的顶点坐标与对称轴,但我们讨论函数的最值与函数的单调
区间时一定要考虑图像的开口方向.
【例题精解】
【例1】 已知函数y=x2-4x+3.求:
(1)函数图像的开口方向;
(2)抛物线的顶点坐标及对称轴方程;
(3)函数的最值及取得最值时x的值;
(4)函数的单调区间.
【点评】 1.研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,有两种方法:(1)配方法;(2)公式法(公式法适用于不容易配方的题目).
2.注意:求函数的单调区间与函数最值时,需要考虑图像的开口方向.
【对点练习1】
(1)已知函数y=x2+6x+2.①确定函数图像的开口方向;②求抛物线的顶点坐标及对称轴方程;③求函数的最值及取得最值时x的值;④求函数的单调区间.
【解】 (1)①由a>0,可得函数图像的开口方向向上.
②由y=x2+6x+2=(x+3)2-7,
得顶点坐标为(-3,-7),对称轴方程为x=-3.
③当x=-3时,函数取得最小值为-7.
④函数的单调增区间为[-3,+∞),函数的单调减区间为(-∞,-3].
【对点练习1】
(2)已知函数y=-x2+4x+5.①确定函数图像的开口方向;②求抛物线的顶点坐标及对称轴方程;③求函数的最值及取得最值时x的值;④求函数的单调区间.
【解】 (2)①由a<0,可得函数图像的开口方向向下.
②由y=-x2+4x+5=-(x2-4x)+5=-(x-2)2+9,
得顶点坐标为(2,9),对称轴方程为x=2.
③当x=2时,函数取得最大值为9.
④函数的单调增区间为(-∞,2],函数的单调减区间为[2,+∞).
【例2】 已知函数f(x)=x2+bx+c,且f(1)=f(3)=0,则f(-1)=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【点评】 本题可利用待定系数法,根据f(1)=f(3)=0代入给定的函数表达式中,解方程组，求出相应系数的值后,再把系数回代得出函数表达式f(x)=x2-4x+3,最后求出f(-1)的值.
【对点练习2】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(0)=3,f(1)=
f(-3)=0,求该函数的表达式.
【例3】 (1)求函数y=x2+4x+2在给定区间[-3,6]上的最值.
【解】 (1)图像法:
∵y=x2+4x+2=(x+2)2-2,
∴图像的对称轴为x=-2,且x=-2∈[-3,6].
由右图可得出,当x=-2时,ymin=-2.
当x=6时,ymax=(6+2)2-2=62.
【例3】 (1)求函数y=x2+4x+2在给定区间[-3,6]上的最值.
【解】 (1)代数法:
∵y=x2+4x+2=(x+2)2-2,
∴图像的对称轴为x=-2,且x=-2∈[-3,6].
∵当x=-2时,y=-2,当x=-3时,y=-1,当x=6时,y=62,
∴当x=-2时,ymin=-2,当x=6时,ymax=62.
(2)∵y=-x2+2x+5=-(x-1)2+6,
∴图像的对称轴为x=1,且x=1 [2,5].
由右图可得出,当x=2时,ymax=-(2-1)2+6=5,
当x=5时,ymin=-(5-1)2+6=-10.
【例3】 (2)求函数y=-x2+2x+5在给定区间[2,5]上的最值.
【点评】
1.利用图像法求二次函数在给定区间的最值,步骤如下:
(1)观察顶点横坐标是否出现在给定区间内;
(2)若顶点横坐标出现在给定区间内,则其中一个最值出现在顶点处,另一个出现在区间的端点处,若顶点横坐标不出现在给定区间内,则两个最值均出现在端点处;
(3)求最值时,需要结合图像的开口方向进行求值.
【点评】
2.利用代数法求二次函数在给定区间的最值,步骤如下:
(1)观察顶点横坐标是否出现在给定区间内;
(2)若顶点横坐标出现在给定区间内,则求三个自变量(给定区间的两个端点、顶点横坐标)所对应的函数值,在三个函数值中找出最大值、最小值;
(3)若顶点横坐标不出现在给定区间内,则求两个自变量(给定区间的两个端点)所对应的函数值,确定最大值、最小值.
【对点练习3】 (1)求函数y=x2+2x-5在给定区间[-3,0]上的最值;
(2)求函数y=x2+2x-5在给定区间[0,3]上的最值.
【解】 (1)y=x2+2x-5=(x+1)2-6,
可知对称轴为x=-1,且x=-1∈[-3,0].
∵当x=-1时,y=-6;当x=-3时,y=-2;当x=0时,y=-5,
∴当x=-1时,ymin=-6;
当x=-3时,ymax=-2.
(2)y=x2+2x-5=(x+1)2-6,
可知对称轴为x=-1,且x=-1 [0,3].
∵当x=0时,y=-5;当x=3时,y=10,
∴当x=0时,ymin=-5;
当x=3时,ymax=10.
【例4】 已知矩形周长为16,一边长为x,面积为S.求:
(1)S与x的关系式;
(2)S的最大值.
【解】 (1)周长为16,一边长为x,则另一边长为8-x,其中0故S=x(8-x),0(2)S=x(8-x)=-x2+8x=-(x2-8x+16)+16=-(x-4)2+16.
当x=4时,S有最大值为16.
答:S与x的关系式为S=x(8-x),0【对点练习4】 如下图,一个长为5,宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割,其中矩形的左上角是一个边长为x的正方形,求阴影部分面积的最小值.
【解】 设阴影部分的面积为S,其中0 则S=x2+(5-x)(3-x)=2x2-8x+15=2(x-2)2+7,
故当x=2时,S有最小值为7.
【仿真训练】
一、选择题
1.函数y=(x-2)2+3图像的顶点坐标是 ( )
A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3)
【答案】 A
2.二次函数y=x2-4x-7图像的顶点坐标是 ( )
A.(2,11) B.(-2,7) C.(2,-11) D.(2,-3)
【答案】 C
3.已知函数f(x)=x2+ax+2图像的对称轴为x=1,则函数的单调递减区间是 ( )
A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,2]
【答案】 C
4.已知函数f(x)=1+2x-x2,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)在区间(-∞,1]上是增函数
B.f(x)在区间(-∞,1]上是减函数
C.f(x)在区间[-1,+∞)上是增函数
D.f(x)在区间[-1,+∞)上是减函数
【答案】 A
【答案】 B
6.如果二次函数y=5x2+mx+4在区间(-∞,-1)上是减函数,在区间
(-1,+∞)上是增函数,则m= ( )
A.2 B.-2 C.10 D.-10
7.函数y=-2x2-4x-2的图像 ( )
A.开口方向向上,对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,0)
B.开口方向向上,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,0)
C.开口方向向下,对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,0)
D.开口方向向下,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,0)
9.已知函数f(x)=x2-2x-5,且x∈[0,4],则函数最小值和最大值分别为 ( )
A.-5,3 B.-6,3 C.-6,-5 D.-6,无最大值
10.已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过(1,0),(2,5)两点,则二次函数的解析式为 ( )
A.y=x2+2x-3 B.y=x2-2x-3
C.y=x2+2x+3 D.y=x2-2x+6
二、填空题
11.二次函数y=x2-6x+2图像的顶点坐标是 .
12.若函数f(x)=2x2+x-1,则f(x)的图像的对称轴是直线 .
13.已知函数y=-4x2+28x+1,则y有最 值为 .
【答案】 大 50
14.二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,1)上是减函数,在区间(1,+∞)上是增函数,则它的对称轴为 .
【答案】 x=1
15.已知二次函数f(x)=ax2+bx+3,且f(1)=0,f(-3)=0,则函数f(x)= .
三、解答题
16.已知二次函数y=-x2+4x-3.
(1)确定函数图像的开口方向;
(2)求抛物线的顶点坐标及对称轴;
(3)求函数的最值及取得最值时x的取值;
(4)求函数的单调区间.
17.已知二次函数f(x)=-x2+2(m-1)x+2m-m2.
(1)如果它的图像经过原点,求m的值.
(2)如果它的图像关于y轴对称,写出函数的关系式.
18.如下图,有长为24 m的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃,且花圃的长可借一段墙体(墙体的最大可用长度15 m),设AB的长为x m,所围的花圃面积为y m2,求花圃的最大面积.
【解】 由题可得y=x(24-3x).
∵0<24-3x≤15,
∴3≤x<8.
故y与x的函数关系式为y=x(24-3x),3≤x<8.
∵y=x(24-3x)=-3x2+24x=-3(x-4)2+48,且4∈[3,8),
∴当x=4时,花圃有最大面积为48 m2.
【提高训练】
一、选择题
1.函数y=(x+1)2+2图像的顶点坐标是 ( )
A.(1,2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(-1,-2)
【答案】 B
2.已知二次函数y=x2-2x+3,则函数图像的对称轴为 ( )
A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.x=-2
【答案】 A
【答案】 C
【答案】 B
5.函数f(x)=x2-2x的最小值是 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
【答案】 B
6.若函数f(x)=x2-2(b+1)x+3在区间(-∞,2]上是减函数,在区间[2,+∞)是增函数,则b= ( )
A.-3 B.1 C.-1 D.-2
【答案】 B
7.已知函数f(x)=ax2+bx+1的图像的对称轴为x=1,并且通过点
(-1,7),则 ( )
A.f(x)=2x2+4x+1 B.f(x)=2x2-4x+1
C.f(x)=-2x2+4x+1 D.f(x)=-2x2-4x+1
【答案】 B
8.函数f(x)=-x(x-2)的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
【答案】 C
9.若函数y=x2-6x-7,则它在[-2,4]上的最大值、最小值分别是 ( )
A.9,-15 B.12,-15 C.9,-16 D.9,-12
【答案】 C
10.若函数y=x2+2ax+3图像的对称轴为x=-1,则f(1)= ( )
A.6 B.-6 C.1 D.-1
【答案】 A
二、填空题
11.二次函数y=x2+6x-7图像的顶点坐标是 .
12.函数f(x)=x2+2x-6的单调递增区间是 .
13.若函数y=2x2+bx+3在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)是增函数,则b= .
【答案】 -8
14.函数f(x)=x(8-x)的最 值为 .
15.一个矩形的周长是18 cm,设它其中一边长为x cm,则矩形面积y与x的函数关系是 .
三、解答题
16.已知函数f(x)=(x-m)2+2.
(1)若函数f(x)的图像经过点(2,2),求函数的单调递增区间;
(2)若函数f(x)是偶函数,求m的值.
【解】 (1)∵函数f(x)的图像经过点(2,2),
∴(2-m)2+2=2.解得m=2,
故函数f(x)=(x-2)2+2.
∵函数图像的开口向上,
∴函数的单调递增区间为[2,+∞).
(2)∵f(x)=(x-m)2+2=x2-2mx+m2+2,
∴当函数为偶函数时,可得-2m=0,解得m=0.
17.已知二次函数y=x2+bx+3有最小值为-1,试求常数b的值.
18.已知两点A(2,0),B(0,4),点O为坐标原点,动点P(x,y)在线段AB(不含端点)上运动,过点P分别向x,y轴作垂线,垂足分别为M,N,求四边形PMON面积的最大值.(共33张PPT)
§3.4 函数的奇偶性
【复习目标】
1.理解和掌握函数奇偶性的概念.
2.掌握奇函数、偶函数的图像特征.
3.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.
4.能利用函数的奇偶性解决简单问题.
【知识回顾】
1.函数奇偶性的概念及图像特征
(1)概念
①奇函数:如果对于函数y=f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么这个函数叫奇函数.
②偶函数:如果对于函数y=f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么这个函数叫偶函数.
2.图像特征
奇函数的图像关于坐标原点成中心对称图形;反之,一个函数的图像关于坐标原点成中心对称图形,那么这个函数是奇函数 偶函数的图像关于y轴成轴对称图形;反之,一个函数的图像关于y轴成轴对称图形,那么这个函数是偶函数
2.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
①判断定义域是否关于原点对称,若定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数.
②若定义域关于原点对称,则判断f(-x)与f(x)的关系.若f(-x)=f(x),则函数为偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数为奇函数.
(2)图像判断法
若函数的图像关于坐标原点成中心对称图形,那么该函数是奇函数;若函数的图像关于y轴成轴对称图形,那么该函数是偶函数.
3.奇、偶函数的判断法则
(1)奇函数±奇函数=奇函数;
(2)偶函数±偶函数=偶函数;
(3)奇函数×偶函数=奇函数;
(4)奇函数×奇函数=偶函数;
(5)偶函数×偶函数=偶函数;
(6)奇函数±偶函数=非奇非偶函数.
【例题精解】
【例1】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2)=5,
则f(-2)= .
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=-8,
则f(-1)= .
【解】 (1)由函数f(x)是偶函数,可得f(-2)=f(2),即f(-2)=5.故答案为5.
(2)由函数f(x)是奇函数,可得f(-1)=-f(1),即f(-1)=8.故答案为8.
【点评】 由函数的奇偶性定义可得,如果函数y=f(x)为奇函数,则在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x);如果函数y=f(x)为偶函数,则在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x).
【对点练习1】 (1)已知函数f(x)是偶函数,且f(3)=-1,
则f(-3)= .
(2)已知函数f(x)是奇函数,且f(-1)=3,则f(1)= .
【答案】 (1)-1 (2)-3
【例2】 已知函数f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=x(x-1),则f(2)= ( )
A.-6 B.6 C.-2 D.2
【解】 ∵x<0,f(x)=x(x-1),∴f(-2)=-2×(-2-1)=6.
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(2)=-f(-2),即f(2)=-6.
故选A.
【点评】 此题设置了一个小陷阱,给出了当x<0时函数的表达式,却要求x=2>0时的函数值.我们应利用函数的奇偶性,由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(2)=-f(-2),先求出f(-2)的值,再根据f(2)=
-f(-2)得出答案.
【解】 A为偶函数,B为非奇非偶函数,C为奇函数,D为非奇非偶函数.故选C.
【对点练习3】 下列函数是偶函数的是 ( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=x2
C.f(x)=x3+1 D.f(x)=x-1
【答案】 B
【例4】 若函数f(x)=x3+(m-2)x2+x为奇函数,则实数m的值为( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
【解】 由题可得m-2=0,解得m=2.故选D.
【对点练习4】 若二次函数f(x)=2x2+(m-3)x+5为偶函数,则实数m= .
【答案】 3
【解析】 由m-3=0,解得m=3.
【例5】 已知函数f(x)是奇函数,且对于任意实数x,都有f(x+4)=f(x),若f(1)=1,则f(7)= ( )
A.-1 B.1 C.2 D.0
【解】 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,∴f(-1)=-1.
又∵f(x+4)=f(x),
∴f(-1+4)=f(-1),即f(3)=f(-1).
同理f(3+4)=f(3),即f(7)=f(3).
∴f(7)=f(3)=f(-1)=-1.故选A.
【点评】 本题综合考查了函数的奇偶性与函数的周期性.
【对点练习5】 若函数f(x)为奇函数,且对于任意实数x,都有f(x+4)=f(x),若f(-1)=3,则f(-3)= ( )
A.-3 B.3 C.4 D.-4
【答案】 A
【解析】 ∵f(x+4)=f(x),∴f(-1+4)=f(-1),即f(3)=f(-1)=3.又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(3)=3,∴f(-3)=-f(3)=-3.故选A.
【仿真训练】
一、选择题
1.下列函数中是奇函数的是 ( )
A.f(x)=x2-2x B.f(x)=2x+1
C.f(x)=x3+x D.f(x)=x2+1
【答案】 C
2.下列函数中是偶函数的是 ( )
A.f(x)=2x2-3 B.f(x)=x
C.f(x)=x3+2 D.f(x)=x2,x∈[0,1]
【答案】 A
3.若函数f(x)为偶函数,且f(-1)=2,则f(1)= ( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
【答案】 D
4.若函数f(x)=ax3+bx,且f(2)=5,则f(-2)= ( )
A.5 B.-5 C.2 D.-2
【答案】 B
5.已知函数f(x)是奇函数,且f(3)=2,则[f(-3)]3= ( )
A.-8 B.-1 C.1 D.8
【答案】 A
6.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=2x2-x,则f(-1)= ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
7.已知函数f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=x(x-1),则f(2)= ( )
A.-6 B.6 C.-2 D.2
8.若函数f(x)=x3+(m-3)x2+x为奇函数,则实数m的值为 ( )
A.-1 B.1 C.0 D.3
9.若函数f(x)=x2+(1-a)x-a为偶函数,则实数a的值为 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
10.若奇函数f(x)对于任意实数x,都有f(x+4)=f(x),若f(3)=3,则f(1)= ( )
A.-4 B.4 C.-3 D.3
二、填空题
11.已知函数f(x)是奇函数,且f(5)=16,则f(-5)= .
【答案】 -16
12.已知函数f(x)是偶函数,且f(1)=3,则f(-1)= .
13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)= .
【答案】 0
14.若函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则m= .
【答案】 ±1
15.已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2-6,则f(4)= .
【答案】 -10
17.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,
求f(-2)+f(0)的值.
【解】 ∵当x>0时,f(x)=x2+1,
∴f(2)=22+1=5.
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-2)=-f(2)=-5,f(0)=0.
则f(-2)+f(0)=-5+0=-5.
18.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(4-x)=f(x),若f(2)=3,求f(6)的值.
【解】 已知f(4-x)=f(x).
令x=6,可得f(4-6)=f(6),即f(6)=f(-2).
∵f(2)=3,f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-2)=-f(2)=-3.
则f(6)=-3.(共26张PPT)
第三章 函 数
【答案】 C
【解析】 f(1)=(1-2)3=-1,
f(2)=log22=1.
考题直通
【答案】 B
【解析】 f(-2)=2+(-2)=0,f(0)=20=1,则f(-2)+f(0)=0+1=1.
【答案】D
【解析】由t=f(-1)=e-1> 0,则f(t)=ln e-1=-1.
5.(2019年)函数y=lg(x+2)的定义域是 ( )
A.(-2,+∞) B.[-2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2]
【答案】 A
【解析】 由x+2>0,解得x>-2.
【答案】 D
【解析】 由x+2>0,解得x>-2.
【答案】 C
【解析】 由x+1≠0,解得x≠-1.
9.(2024年)函数f(x)=log2(3+2x-x2)的定义域为 ( )
A.[-1,3] B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-1,3) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
【答案】C
【解析】由3+2x-x2>0,即(x+1)(x-3)<0,解得-110.(2018年)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意实数x,都有f(x+4)=f(x).若f(-1)=3,则f(4)+f(5)= ( )
A.6 B.3 C.0 D.-3
【答案】 D
【解析】 f(0)=0,f(4)=f(0+4)=f(0)=0;f(-1)=3,f(1)=
-3,f(5)=f(1+4)=f(1)=-3.则f(4)+f(5)=0+(-3)=-3.
11.(2019年)已知函数y=f(x)(x∈R)为增函数,则下列关系正确的是 ( )
A.f(-2)>f(3) B.f(2)C.f(-2)f(0)
【答案】 B
【解析】 -2<3,则f(-2) 2<3,则f(2) -2>-3,则f(-2)>f(-3);
-1<0,则f(-1)12.(2019年)若函数f(x)=3x2+bx-1(b∈R)是偶函数,则f(-1)=( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
【答案】 C
【解析】 由题可知b=0,故f(x)=3x2-1.则f(-1)=3×(-1)2-1=2.
【答案】 D
【解析】由函数是偶函数,可得f(-3)=f(3),
由f(x)在[0,+∞)内单调递减,
可得-3【答案】 A
【解析】 依题意,f(-1)=-f(1)=-(21-1)=-1.
15.(2024年)下列函数为奇函数的是 ( )
A.y=cos x B.y=-x C.y=x2 D.y=2x
【答案】 B
【解析】 y=cosx和y=x2是偶函数,
y=-x是奇函数,
y=2x是非奇非偶函数.
17.(2021年)某花园由一面墙和AD,DC,CB三段篱笆围成,篱笆总长为16米,如图所示,其中四边形ABCD是矩形,DC是半圆弧,O为半圆的圆心,设|OC|=x米,|AD|=y米.
(1)将y表示为关于x的函数;
(2)当x为何值时,矩形ABCD的面积最大.
19.(2023年)如图,在△ABC中,∠B=90°,AC=10,BC=6,点D,E,F分别在AC,BC,AB边上,DE∥AB,DF⊥AB.
(1)若点D是AC边的中点,求DF的长;
(2)当点D在AC边上运动时,求矩形DFBE面积的最大值.
20.(2024年)如图,用长为18 m的篱笆围成一个一边靠墙的五边形苗圃ABCDE.已知EA⊥AB,CB⊥AB,∠D=120°,EA=CB.设CD=DE
=x(m),苗圃面积为S(m2).
(1)求S关于x的函数关系式,并写出该函数的定义域;
20.(2024年)如图,用长为18 m的篱笆围成一个一边靠墙的五边形苗圃ABCDE.已知EA⊥AB,CB⊥AB,∠D=120°,EA=CB.设CD=DE
=x(m),苗圃面积为S(m2).
(2)当x为何值时,苗圃面积最大 并求出最大面积.(共26张PPT)
第三章 函 数
一、选择题(每小题 6 分,共 90 分)
1.已知函数f(x)=2x-1,则f(2)= ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
第三章单元检测
【答案】 D
【答案】 B
【答案】 B
4.函数y=(x-3)2-1的顶点坐标是 ( )
A.(3,1) B.(-3,1) C.(3,-1) D.(-3,-1)
【答案】 C
【答案】 C
6.函数f(x)=x2-6x+7的 ( )
A.最小值为-2 B.最大值为-2
C.最小值为3 D.最大值为3
【答案】 A
7.函数y=-2x+3在R上是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.非单调函数 D.不能判断
【答案】 B
8.已知函数f(x)是偶函数,且f(1)=2,则[f(-1)]3= ( )
A.-8 B.-2 C.2 D.8
【答案】 D
9.下列函数是奇函数的是 ( )
A.f(x)=5x+3 B.f(x)=x2+1
C.f(x)=x3+x D.f(x)=x3-2
【答案】 C
10.已知函数f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=2x+1,则f(3)= ( )
A.-7 B.7 C.-5 D.5
【答案】 D
11.已知函数f(x)是R上的减函数,那么 ( )
A.f(5)>f(3)>f(1) B.f(5)>f(1)>f(3)
C.f(5)【答案】 C
12.若函数f(x)=ax2+bx+c满足f(0)=3,对称轴是直线x=-1,最小值为2,则该函数的表达式为 ( )
A.f(x)=x2-2x-3 B.f(x)=x2+2x-3
C.f(x)=x2-2x+3 D.f(x)=x2+2x+3
【答案】 D
13.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,在区间
(-∞,-2]上是减函数,则m= ( )
A.16 B.-16 C.8 D.-8
【答案】 B
14.若函数f(x)=x5+(m+2)x4+x3为奇函数,则实数m的值为 ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【答案】 C
15.已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x2-ax,且f(-1)=2,
则a= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】 A
【答案】 1
17.若函数f(x)=x2+a,且f(1)=0,则a的值为 .
【答案】 -1
18.已知函数f(x)在R上是减函数,且f(t)【答案】 (-1,+∞)
19.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)= .
【答案】 0
20.函数y=2x2-5x-3的单调递增区间是 .
22.(8分)已知函数f(x)=x2-2x-5.
(1)求f(1),f[f(1)]的值;
(2)若f(a)=10,求a的值.
【解】 (1)∵f(x)=x2-2x-5,
∴f(1)=12-2×1-5=-6,
f[f(1)]=f(-6)=(-6)2-2×(-6)-5=43.
(2)若f(a)=10,则a2-2a-5=10,
即a2-2a-15=0.
由(a-5)(a+3)=0,解得a=5或a=-3.
23.(8分)若函数f(x)在R上单调递减,且f(m2-2)>f(m),求m的取值
范围.
【解】 ∵函数f(x)在R上单调递减,且f(m2-2)>f(m),
∴m2-2 由(m-2)(m+1)<0,解得-1 ∴m的取值范围为(-1,2).
24.(8分)已知函数f(x)=x2+2.
(1)写出函数的顶点坐标;
(2)判断函数的奇偶性;
(3)写出函数的单调区间;
(4)求函数在区间[-1,2]上的最大值和最小值.
【解】 (1)函数的顶点坐标为(0,2).
(2)函数为偶函数.
(3)函数的单调递增区间为[0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).
(4)∵x=0∈[-1,2],且当x=0时,y=2;当x=-1时,y=3;当x=2时,y=6,
∴当x=0时,ymin=2;当x=2时,ymax=6.
25.(8分)如图所示,学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃,如果可供建造围墙的材料总长是60 m,求当宽为多长时,每个花圃的最大面积为多少.(共31张PPT)
§3.3 函数的单调性
【复习目标】
1.理解和掌握函数单调性的定义.
2.掌握判断和证明函数单调性的方法.
3.能利用函数的单调性解决简单问题.
2.图像特征
增函数:函数值y随自变量x的增大而增大,图像自左到右呈上升趋势(如图1所示) 减函数:函数值y随自变量x的增大而减小,图像自左到右呈下降趋势(如图2所示)
图1
图2
3.单调区间
如果函数在某个给定区间上是增函数或是减函数,就说函数在此区间上具有单调性,此区间叫做函数的单调区间.单调区间包括单调递增区间和单调递减区间.
【例题精解】
【例1】 函数y=x+3在R上是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.非单调函数 D.不能判断
【解】 因为y=x+3是一次函数,且k=1>0,所以函数y=x+3为增函数.故选A.
【点评】 此题是选择题,熟记常见函数的单调性可快速解题.一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当k>0时为增函数,当k<0时为减函数.利用结论判断函数的单调性时,必须先明确函数的类型,再结合结论解题.
【答案】 A
【点评】 熟记一次函数的单调性.一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当k>0时函数为增函数,当k<0时函数为减函数.
【对点练习2】 已知函数y=(k+2)x+2在R上是减函数,则k的取值范围是 ( )
A.(2,+∞) B.(-2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,-2)
【答案】 D
【解析】 由k+2<0,解得k<-2.故选D.
【例3】 已知函数f(x)是R上的减函数,那么 ( )
A.f(3)>f(2)>f(1) B.f(3)>f(1)>f(2)
C.f(3)【解】 ∵函数f(x)是R上的减函数,且3>2>1,
∴f(3)【点评】 根据减函数的定义解题,当x1>x2>x3,有f(x1)【对点练习3】 若函数y=f(x)在R上是增函数,那么 ( )
A.f(-1)f(-3)
C.f(-1)=f(-3) D.不能判断
【答案】 B
【解析】 -1>-3,y=f(x)在R上是增函数,则f(-1)>f(-3).故选B.
【例4】 函数y=f(x)在R上是增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-3) B.(0,+∞)
C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
【解】 ∵函数y=f(x)在R上是增函数,且f(2m)>f(-m+9),
∴2m>-m+9,即3m>9.解得m>3.故选C.
【点评】 根据题意及函数单调性的定义可得,如果y=f(x)在R上是增函数,那么当f(x1)>f(x2)时,有x1>x2.则f(2m)>f(-m+9)可转化为2m>-m+9,进而可解得m的取值范围.
【对点练习4】 若函数y=f(x)在R上是减函数,且f(2m-1)【解】 ∵函数y=f(x)在R上是减函数,且f(2m-1)∴由2m-1>3m+1,解得m<-2.
故实数m的取值范围为(-∞,-2).
【仿真训练】
一、选择题
1.下列命题正确的是 ( )
A.函数y=kx-1,当k>0时,在区间(-∞,+∞)上是减函数
B.函数y=kx-1,当k<0时,在区间(-∞,+∞)上是增函数
C.函数y=kx-1,当k>0时,在区间(-∞,+∞)上是增函数
D.函数y=kx-1,当k>0时,在区间[0,+∞)上是减函数
【答案】 C
2.函数f(x)=-3x+1在R上是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.非单调函数 D.不能判断
【答案】 B
3.函数f(x)=5x2在R上是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.非单调函数 D.不能判断
【答案】 C
【答案】 C
【答案】 D
6.函数y=x2+3在区间(-∞,0]上是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.非单调函数 D.不能判断
7.函数y=(x-3)2+2的单调减区间是 ( )
A.(-∞,3] B.[3,+∞) C.(-∞,2] D.[2,+∞)
9.若函数f(x)在R上具有单调性,且满足f(2)>f(3),则f(x)是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.非单调函数 D.不能判断
二、填空题
11.函数f(x)=x2+1的单调增区间是 ,单调减区间是 .
12.若y=(3k-1)x+k是R上的减函数,则k的取值范围为 .
【答案】 (-1,+∞)
14.已知函数f(x)在R上是减函数,且f(a)>f(2),则a的取值范围为 .
【答案】 (-∞,2)
15.已知函数f(x)在R上是增函数,且f(t)>f(1-2t),则t的取值范围为 .
三、解答题
16.已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数,且f(-2)=3,
f(2m-3)<3,求m的取值范围.
17.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递减函数,
且f(2x-3)>f(5x-6),求x的取值范围.
18.已知函数f(x)=x3+2x为增函数,且f(2a-1)-f(a)>0,求a的取值范围.
【解】 ∵f(2a-1)-f(a)>0,
∴f(2a-1)>f(a).
又∵f(x)=x3+2x为增函数,
∴由2a-1>a，解得a>1
∴a的取值范围为(1,+∞).
