(共25张PPT)
第五章 数 列
一、选择题(每小题 5分,共75 分)
1.若数列的通项公式是an=1+2n,则a5= ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
第五章单元检测
【答案】 A
【答案】 B
【答案】 B
【答案】 D
【答案】 C
【答案】 A
7.在等差数列{an}中,若a2+a5=19,S5=40,则a10为 ( )
A.27 B.28 C.29 D.30
【答案】 C
8.在等差数列{an}中,若a6=30,则a3+a9= ( )
A.20 B.40 C.60 D.80
【答案】 C
9.设{an}是等差数列,若a2和a3是方程x2-5x+6=0的两个根,则a1+a4=( )
A.2 B.3 C.5 D.6
【答案】 C
10.在等比数列{an}中,若a1+a2=10,a3+a4=40,则a5+a6= ( )
A.160 B.±160 C.70 D.±70
【答案】 A
【答案】 A
12.在等差数列{an}中,若a2+a10+a14+a18=8,则a11= ( )
A.2 B.-1 C.0 D.不确定
【答案】 A
13.在等比数列{an}中,若a3a5=5,则a1a2a6a7= ( )
A.10 B.25 C.50 D.75
【答案】 B
【答案】 A
15.已知数列的前n项和为Sn=3n2+2n,则an= ( )
A.6n+5 B.6n-1 C.3n+2 D.2n+3
【答案】 B
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
16.已知数列的通项为an=(-1)n+2n,则a25+a30= .
【答案】 110
17.通项公式为an=3n-2的数列是首项为 ,公差为_____ 的等差数列.
【答案】 1 3
20.在等差数列{an}中,若a7+a9=16,a4=1,则a12= .
【答案】 15
三、解答题(共50分)
21.(10分)已知数列{an}是等差数列,且a1=3,a1+a2+a3=15,求数列的通项公式an和前n项和Sn.(共54张PPT)
§5.2 等差数列
【复习目标】
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.掌握等差中项的概念和性质.
4.掌握等差数列的性质.
【知识回顾】
1.等差数列的定义
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,记为d,即d=an+1-an(n∈N+).
等差数列的一般形式为a1,a1+d,a1+2d,….
2.等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d.
【例题精解】
【例1】 求等差数列2,9,16,…的通项公式及第20项.
【解】 由题可知,a1=2,d=9-2=7,
则通项公式是an=2+(n-1)×7,即an=7n-5.
a20=7×20-5=135.
【点评】 根据等差数列的定义,由d=an+1-an求出公差,然后直接应用通项公式求得.
【对点练习1】 求等差数列3,5,7,…的通项公式及第21项.
【解】 ∵a1=3,d=5-3=2,
∴等差数列的通项公式是an=3+(n-1)×2,即an=2n+1.
∴a21=2×21+1=43.
【例2】 在等差数列{an}中.
(1)已知a6=12,d=2,求a1; (2)已知a6=-14,a1=1,求d;
(3)已知a5=-8,d=2,求S8; (4)已知a1=-1,d=-2,Sn=-324,求n.
【例3】 等差数列的第5项为0,第9项为12,求该数列的首项,公差及前20项的和.
【点评】 本题实际上是用待定系数法求a1和d.其实,这道题也可以直接运用等差数列的性质来求解:由a9-a5=4d求出d.
【对点练习3】 等差数列的第3项为9,第9项为3,求该数列的第12项及前9项的和.
【例4】 在等差数列{an}中,若a2=4,a5=13,则a6= .
【解】 由am-an=(m-n)d,得a5-a2=3d,即13-4=3d,解得d=3,
故a6=a5+d=13+3=16.
【对点练习4】 在等差数列{an}中,若a9=3,a11=13,
则a15= .
【答案】 33
【解析】 ∵a11-a9=2d=10,∴d=5.
∴a15=a11+4d=13+4×5=33.
【例5】 在等差数列{an}中:
(1)已知a3+a4+…+a8=60,则S10= ;
(2)已知a2=3,a99=27,则a3+a98= ;
(3)已知a3=5,则a1+2a4= .
【点评】
1.在等差数列{an}中,若2p=m+n,则2ap=am+an(p,m,n∈N+).
2.合理运用等差数列的性质,可减少计算量,甚至起到意想不到的效果.
【对点练习5】 在等差数列{an}中.
(1)已知a9=3,a93=37,则a4+a98= ;
(2)已知a3=5,则a2+a3+a4= ;
(3)已知a3+a4+a5+a6+a7=25,则S9= .
【例6】 在等差数列{an}中,已知d=2,an=1,Sn=-8,求a1和n.
【点评】 在a1,d,n,an,Sn五个量中,已知任意三个量可求出另两个量,即“知三求二”.
【答案】 D
2.已知等差数列{an}中,a1=1,d=3,那么当an=298时,项数n= ( )
A.98 B.99 C.100 D.101
【答案】 C
【答案】 D
4.已知12是x和9的等差中项,则x= ( )
A.17 B.15 C.14 D.11
【答案】 B
5.在等差数列-5,-9,-13,…中,-401位于 ( )
A.第100项 B.第101项
C.第102项 D.以上都不是
【答案】 A
6.一个等差数列的第五项a5=10,且a1+a2+a3=3,则 ( )
A.a1=-2,d=3 B.a1=2,d=-3
C.a1=-3,d=2 D.a1=3,d=-2
8.设等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d= ( )
A.2 B.3 C.6 D.7
10.在公差为d的等差数列{an}中,若S10=4S5,则a1∶d= ( )
A.4∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.1∶4
二、填空题
11.在等差数列{an}中,已知d=-2,n=10,an=-15,
则a1= ,Sn= .
12.已知等差数列11,8,…,则它的第8项是 ,第n+1项是 .
13.在-1和8之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,
则a+b= .
14.在等差数列{an}中,若a2=3,a5=12,则前10项和S10= .
15.在等差数列{an}中,已知a2=-5,a6=6+a4,那么a1= .
三、解答题
16.在等差数列{an}中,已知a8=-3,d=-3,求a1与S8.
17.在等差数列{an}中,已知a4=9,a9=-6,Sn=63,求n的值.
18.等差数列{an}中,若a15=33,a45=153,则377是这个数列的第几项
19.等差数列{an}中,若a8=-32,a20=28.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列从第几项开始为正数
【提高训练】
一、选择题
1.等差数列{an}中,a5=4,a9=10,则a13= ( )
A.25 B.16 C.14 D.12
2.若{an}是等差数列,且a2+a3+a10+a11=48,则a6+a7= ( )
A.16 B.20 C.24 D.28
3.在等差数列{an}中,已知a3+a18=20,则S20= ( )
A.140 B.160 C.180 D.200
4.在等差数列{an}中,已知a3+a9+a15+a17=4,则a11= ( )
A.1 B.-1 C.0 D.不能确定
5.在等差数列{an}中,前15项之和S15=60,则a8= ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
6.等差数列{an}中,若a5+a13=40,则a8+a9+a10= ( )
A.48 B.60 C.72 D.84
7.等差数列{an}中,若a5=20,a20=5,则a25= ( )
A.25 B.-15 C.100 D.0
8.在等差数列{an}中,已知a4=-1,a7=8,则首项a1与公差d分别为 ( )
A.a1=10,d=3 B.a1=-10,d=3
C.a1=3,d=-10 D.a1=3,d=10
9.在等差数列{an}中,若a5+a6+a7+a8+a9=50,则S13= ( )
A.65 B.100 C.130 D.260
10.在等差数列{an}中,若a4=6,a9=26,则S20= ( )
A.500 B.640 C.680 D.720
二、填空题
11.在等差数列{an}中,若a3=7,d=-1,则an= .
12.若三个连续正整数的和是69,则在它们后面的三个连续正整数的和是 .
13.在等差数列{an}中,若a4=18,a11=32,则d= ,
Sn= .
14.在等差数列{an}中,若a1,a2,a3,…,am的和为64,且am-1+a2=8,那么项数m= .
15.已知等差数列{an}的公差是正数,且a3a7=-12,a4+a6=-4,则S20= .
三、解答题
16.在等差数列{an}中,已知a6=5,a3+a8=5,求a1与d.
17.在等差数列{an}中,若a12=33,a22=63,求d和a32.
18.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=-3,a1·a3·a5=15,求数列的通项公式.(共27张PPT)
第五章 数 列
一、选择题
1.(2023年)已知数列{an}满足a1=1,an=2an-1+1(n>1),则a4=( )
A.15 B.13 C.11 D.9
考题直通
【答案】 A
【解析】 由题知,a2=2a1+1=2+1=3;a3=2a2+1=2×3+1=7;
a4=2a3+1=2×7+1=15.故选A.
2.(2022年)若数列{an}满足a1=1,an=3an-1-1(n>1),则a4= ( )
A.2 B.5 C.14 D.41
【答案】 C
【解析】 a1=1,a2=3a1-1=3-1=2,a3=3a2-1=6-1=5,
a4=3a3-1=15-1=14.故选C.
4.(2020年)已知数列{an}为递增的等差数列,a1=2,若a1,a2,a4成等比数列,则{an}的公差为 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
5.(2024年)已知数列{an}满足an+1=3an,a1=1,则a3= ( )
A.1 B.3 C.6 D.9
6.(2021年)已知数列{an}满足an+1+2an=0,a3=1,则a8= ( )
A.8 B.-8 C.32 D.-32
7.(2019年)若等差数列{an}的前n项和Sn=n2+a(a∈R),则a= ( )
A.-1 B.2 C.1 D.0
【答案】 D
【解析】 a1=S1=1+a;n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+a)-[(n-1)2+a]=2n-1.由题知,应有a1满足an=2n-1,即1+a=2×1-1,解得a=0.故选D.
8.(2018年)设数列{an}的前n项和Sn=3n+1+a,若{an}为等比数列,则常数a= ( )
A.3 B.0 C.-3 D.-6
【答案】 C
【解析】 a1=S1=9+a;n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1+a)-(3n+a)=2·3n.
由题知,应有a1满足an=2·3n,即9+a=2×3,解得a=-3.故选C.
二、填空题
9.(2024年)已知数列{an}满足an+1=2an +1,a1=1,若an=7,则n= .
【答案】 3
【解析】 依题意,a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,故当n=3时,an=7.
∵a1>0,∴an+1-an=an+1>0,则数列{an}是递增数列,故填3.
事实上,数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*).
11.(2023年)在等差数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=14,则a2+a3= .
【答案】 7
【解析】 a2+a3=a1+a4=7.
14.(2021年)已知数列{an}的前n项和Sn=n(n+1),则a10= .
【答案】 20
【解析】 ∵Sn=n(n+1),
∴a10=S10-S9=10×(10+1)-9×(9+1)=20.
三、解答题
15.(2023年)已知等差数列{an}满足a1=1,a2+a4=10.
(1)求{an}的通项公式;
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意得,a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d=10.
∵a1=1,∴d=2.
∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)·2=2n-1(n∈N*).
17.(2019年)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=35,S8=104.
(1)求数列{an}的通项公式;
17.(2019年)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=35,S8=104.
(2)若数列{bn}为等比数列,且b1=a2,b2=a3+2,求数列{bn}的公比q及前n项和Tn.
18.(2022年)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3=9,且a1·a2=6.
(1)求{an}的通项公式;
19.(2020年)已知数列{an}为等差数列,a1=-2,a12=20.
(1)求{an}的通项公式;
【解】 (1)设公差为d,则a1+11d=a12,
即-2+11d=20,解得d=2.
则an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)·2=2n-4.
20.(2021年)已知等差数列{an}的首项a1=2,其前3项和S3=18;数列{bn}是等比数列,且b1=a3,b2=a8.
(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn;
20.(2021年)已知等差数列{an}的首项a1=2,其前3项和S3=18;数列{bn}是等比数列,且b1=a3,b2=a8.
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.(共56张PPT)
§5.3 等比数列
【复习目标】
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.掌握等比中项的概念和性质.
4.掌握等比数列的性质.
【例题精解】
【例1】 求等比数列1,2,4,…的通项公式及第11项.
【对点练习1】 求等比数列3,9,27,…的通项公式及第5项.
【例3】 在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=54,求q与S4.
【对点练习3】 在等比数列{an}中,已知a1=2,S3=26,求q与a3.
【例4】 在等比数列{an}中,已知a2=18,a4=8,求a1,q,S5.
【对点练习4】 已知各项为正数的等比数列{an}中,a6=192,
a8=768,求a1,q,S10.
【例5】 设{an}是等比数列,若a2=3,a4=6,则a8的值是 ( )
A.9 B.12 C.16 D.24
【对点练习5】 在等比数列{an}中,若a5=4,a7=6,则a9= .
【例6】 在等比数列{an}中,若a6a8=12,则a3a11= .
【解】 由等比数列的性质,“若m+n=p+q,则aman=apaq”,
得a3a11=a6a8=12.
【对点练习6】 在等比数列{an}中,若a1a7=6,则a3a5+a2a6= .
【答案】 12
【解析】 a3a5+a2a6=2a1a7=2×6=12.
【仿真训练】
一、选择题
1.下列有四个结论:
①由第1项起乘以相同常数得到后一项,这样所得到的数列一定为等比数列;
②常数列a,…,a一定为等比数列;
③等比数列{an}中,若公比q=1,则此数列各项相等;
④等比数列中,各项与公比都不能为零.
其中正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 C
【答案】 B
3.在等比数列{an}中,已知a4=16,q=-2,则a1= ( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
【答案】 B
4.在等比数列{an}中,已知a1=2,a5=32,则q= ( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.3或-3
【答案】 C
5.若9,a,b,243是等比数列,则a,b的值分别为 ( )
A.27,81 B.81,27 C.-27,81 D.27,-81
【答案】 A
6.在等比数列{an}中,已知a1=6,q=2,则S4= ( )
A.60 B.80 C.90 D.100
9.在等比数列{an}中,已知a1=1,q=2,则第5项至第10项的和为 ( )
A.63 B.992 C.1008 D.1023
10.若两个数的等差中项为20,等比中项为12,则这两个数为 ( )
A.18,22 B.9,16 C.4,36 D.16,24
二、填空题
11.在等比数列{an}中,若a1=1,an=64,q=2,则n= .
【答案】 7
12.在等比数列{an}中,若a1=3,q=-2,则a6= ,
S6= .
13.在等比数列中,若a1+a2+a3+a4+a5=5,a6+a7+a8+a9+a10=160,则公比q= .
14.在等比数列{an}中,若a4=8,q=2,则a1= ,
S5= .
15.已知{an}是各项为正数的等比数列,若a4-a3=8,a1a5=16,则{an}的公比q= .
【答案】 3
三、解答题
16.在等比数列{an}中,若a1=2,q=3,求a2,a3,a4,a5.
【解】 由an=a1qn-1,得
a2=a1q=2×3=6,
a3=a1q2=2×32=18,
a4=a1q3=2×33=54,
a5=a1q4=2×34=162.
18.在等比数列{an}中.
(1)已知a1=4,a2=20,求Sn;
(2)已知q=2,an=24,Sn=45,求a1和n.
20.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a1,a3,a6成等比数列,求公差d和Sn.
9.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10= ( )
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
10.在等比数列{an}中,若a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=8,则a10+a11+a12= ( )
A.256 B.512 C.1024 D.2048
二、填空题
11.在等比数列{an}中,若a3a7=4,则a5= .
12.在等比数列{an}中,若a4=1,a7=8,则a6与a10的等比中项是 .
13.若{an}是等比数列,且a2+a3=9,a4+a5=24,则a6+a7= .
14.在等比数列{an}中,若a5,a9是方程x2+5x+1=0的两根,则a7的值等于 .
15.在等比数列{an}中,若a4·a7+a5·a6=20,则此数列前10项的积为 .
三、解答题
16.在等比数列{an}中,已知a6=192,a8=768,求a1,q,S10.
17.在等比数列{an}中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,求a3和q.
18.在等比数列{an}中,已知a3=8,a6=64,求公比q与Sn.
19.已知数列{an}的首项a1=1,an=2an-1+n2-4n+2(n=2,3,…),数列{bn}的通项为bn=an+n2(n∈N*).
(1)证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn.(共38张PPT)
第五章 数 列
【考试内容】
1.数列的概念.
2.等差数列.
3.等比数列.
【考纲要求】
1.了解数列的概念;理解等差数列和等比数列的定义.
2.掌握等差中项公式、等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.掌握等比中项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式.
4.会解简单的数列综合题.
【知识结构】
【五年分析】
考点 年份
2020 2021 2022 2023 2024
数列前n项和性质 T19
等差、等比数列的定义 T7 T15 T23 T21 T5、T21
等差、等比数列的性质 T18 T23 T19
等差数列通项与前n项和 T23 T23 T21 T5、T21
等比数列通项与前n项和 T23 T15、 T23 T23
递推公式求值 T8 T13 T19
通项公式求值 T18
总分值 22 22 22 22 22
数列:数列内容所占比例较大,且相对稳定,近五年的分值都是22分.从考查的内容来看,几乎每年等差、等比都有一道,并且都是考查性质，通项公式，等差、等比中项或前n项和公式等基础知识,还有一个特点就是,每年都有一道综合性较强的题目,有前n项和公式与性质的综合,有等差与等比的综合.简单的递推式是多年的热点.
§5.1 数 列
【复习目标】
1.了解数列的分类.
2.理解数列的定义、通项公式、递推公式的概念及意义.
3.能根据首项和递推公式写出数列的任意一项.
4.能根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式.
【知识回顾】
1.定义:按一定次序排列的一列数a1,a2,a3,…,an,…叫做数列,简记为{an}.其中排在第n个位置的那一项叫做数列的第n项,记为an.
【说明】 (1)若次序不同,则数列就不同.
(2)数列的项与它的项数是不同的概念:数列的项是指这个数列中的某一个确定的数;而项数是指这个数在数列中的位置序号.
2.通项公式:一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系式叫做这个数列的通项公式.
【说明】 (1)根据通项公式就可写出数列的任意一项.
(2)并非所有的数列都能写出它的通项公式.
(3)有些数列的通项公式的形式不一定是唯一的.
如-1,1,-1,1,…的通项公式可写成an=(-1)n,也可写成an=(-1)n+2.
3.数列的递推公式:用含有数列前面的若干项的表达式来表示后面的某一项的公式,称为数列的递推公式,如an+1=2an+1.
【说明】 已知首项和递推公式,实际上也确定了数列.
4.数列的分类
(1)按项数分:有穷数列(项数有限)、无穷数列(项数无限).
(2)按项与项的大小分:递增数列(an
an+1).
(3)常数列:数列的所有项都是同一个常数.
【点评】 数列的通项公式是函数关系式,其表达式可能是分段函数.
【对点练习2】 已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=n,求数列{an}的第4项.
【解】 ∵an+1=an+n,
∴a2=a1+1=2,a3=a2+2=4,a4=a3+3=7.
【点评】 通项公式和递推公式是给定数列的两种常见形式,且各有特点:通项公式是an和n之间的函数关系式,已知通项公式,可直接求出数列任一项;递推公式是数列前后若干项之间的关系式,已知递推公式和前若干项,可逐步递推求出数列的项.
【例4】 已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+n,求数列{an}的通项公式.
【解】 当n=1时,a1=S1=3×12+1=4;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+n-[3(n-1)2+(n-1)]=6n-2.
又a1=6×1-2=4,
故数列的通项公式为an=6n-2.
【点评】 已知Sn,求an时,需分n=1和n≥2两种情况进行运算,然后验证二者能否统一,若不统一则需要分开表示.
【对点练习4】 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n,求数列{an}的通项公式.
【解】 当n=1时,a1=S1=12-2=-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-[(n-1)2-2(n-1)]=2n-3.
又a1=2×1-3=-1.
故数列的通项公式为an=2n-3.
【仿真训练】
一、选择题
1.若数列的通项公式是an=4n-1,则a6= ( )
A.21 B.22 C.23 D.24
【答案】 C
【答案】 B
【答案】 B
4.已知数列{an}的首项a1=1,且an=2an-1+1(n≥2),则a5= ( )
A.7 B.15 C.31 D.30
【答案】 C
5.若数列{an}的通项公式为an=n(n+1),则380是这个数列的第___ 项. ( )
A.20 B.19 C.18 D.21
【答案】 B
10.若数列{an}的前n项和公式为Sn=n2+n,则a5= ( )
A.40 B.30 C.20 D.10
13.数列{an}的第n项an=n(n+2),则a8+a10= .
14.已知a1=2,an+1=2an+3,则a4= .
17.数列{an}的通项公式an=-4n+45, 求数列从哪项开始为负.
【解】 由-4n+45<0,解得n>11.25.
因为n∈N+,所以n=12.
故数列从第12项开始为负的.
19.在数列{an}中,Sn表示前n项之和,且Sn=n2+2n,求数列的通项公式an.
【解】 当n=1时,a1=S1=12+2×1=3.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.
又a1=2×1+1=3,
故数列的通项公式为an=2n+1.