(共38张PPT)
方程与方程的解法
【复习目标】
1.理解一元一次方程、一元二次方程、分式方程、根式方程的概念及解法.
2.能灵活运用一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系解决有关问题.
【知识回顾】
1.方程:含有未知数的等式叫做方程.方程可作如下分类:
代数方程
3.分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.其解法:在方程两边都乘以最简公分母,约去分母,化分式方程为整式方程,再求整式方程的解.
4.无理方程:根号内含有未知数的方程叫做无理方程.其解法:方程两边同时进行n次方运算,将无理方程化为有理方程求解.
【注意】 解分式方程和无理方程有可能产生增根,因此必须要验根.
【例题精解】
【例1】 解方程:3x2-7x-6=0.
【点评】 本题可利用十字相乘法进行求解.
【对点练习1】 解方程:x2-5x-24=0.
【解】 ∵原方程可化为(x-8)(x+3)=0,
得x-8=0或x+3=0,
∴原方程的解为x1=8或x2=-3.
【例2】 解方程:2x2+4x-5=0.
【点评】 本题可利用求根公式进行求解,求解时要注意a,b,c的符号.
【对点练习2】 解方程:x2+2x-6=0.
【例3】 当k是什么值时,一元二次方程(k-1)x2+2kx+k+3=0:
(1)有两个不相等的实数根
(2)有两个相等的实数根
(3)没有实数根
【解】 由题可知a=k-1,b=2k,c=k+3,
Δ=b2-4ac=(2k)2-4(k-1)(k+3)
=4k2-4(k2+2k-3)
=4k2-4k2-8k+12
=-8k+12.
【点评】 利用根的判别式Δ解题时,必须检验二次项系数a≠0.
【对点练习3】 当m是什么值时,一元二次方程mx2+(2m+1)x+m-2=0:
(1)有两个不相等的实数根
(2)有两个相等的实数根
(3)没有实数根
【解】 由题可知a=m,b=2m+1,c=m-2,
Δ=b2-4ac=(2m+1)2-4m(m-2)
=4m2+4m+1-4m2+8m
=12m+1.
【解】 去分母,即方程两边同时乘以(x2-1),得x(x+1)-2(x-1)=4,
整理得x2-x-2=0,即(x-2)(x+1)=0.
解得x1=2或x2=-1.
经检验,x=-1是增根,x=2是原方程的根.
故原方程的解是x=2.
【点评】 本题可用去分母法进行求解,即在方程两边同时乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程进行求解,注意要验根.
【解】 去分母,即方程两边同时乘以(x2-4),
得x(x-2)+3(x+2)=12,
整理得x2+x-6=0,即(x-2)(x+3)=0,
解得x1=2或x2=-3.
经检验,x=2是增根,x=-3是原方程的根.
故原方程的解是x=-3.
【解】 方程两边同时平方得x+6=x2,
即x2-x-6=0,(x-3)(x+2)=0,
解得x1=3或x2=-2.
经检验,x=3是增根,x=-2是原方程的根.
故原方程的解是x=-2.
【点评】 本题可用两边平方法,将无理方程化为有理方程进行求解,注意要验根.
【解】 方程两边同时平方得x+12=x2,
即x2-x-12=0,(x-4)(x+3)=0,
解得x1=4,x2=-3.
经检验,x=4是增根,x=-3是原方程的根.
故原方程的解是x=-3.
【答案】 D
2.方程x2-7x-8=0的解为 ( )
A.x1=-2,x2=4 B.x1=-4,x2=2
C.x1=8,x2=-1 D.x1=-8,x2=1
【答案】 C
3.方程(x-1)(x+2)=-2的解为 ( )
A.x1=1,x2=-2 B.x1=0,x2=1
C.x1=0,x2=-1 D.x1=1,x2=-1
【答案】 C
4.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的充要条件是 ( )
A.m≠-1 B.m≠2
C.m≠-1且m≠2 D.m=-1或m≠2
【答案】 C
【答案】 D
6.已知方程3x2+(m+4)x+(m+1)=0的两根互为相反数,则m的值是 ( )
A.4 B.-4 C.1 D.-1
【答案】 B
7.在下列方程中,以5和4为根的一元二次方程是 ( )
A.x2+9x+20=0 B.x2-9x+20=0
C.x2+9x-20=0 D.x2-9x-20=0
二、填空题
11.已知关于x的方程x2+2kx+k2=0的一个根是-3,那么k= .
【答案】 3
12.一元二次方程2(1-x2)=x-1的实数根是 .
【答案】 4
15.方程2x2-x-6=0的实数根为 .
三、解答题
16.解方程:2x2-3x-4=0.
17.不解方程,判断下列方程的根的情况.
(1)x2+3x-18=0; (2)x2-2x+1=0;
(3)x2-2ax=0; (4)5x2-7x+5=0.
【解】 (1)∵Δ=9+4×18=81>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)∵Δ=(-2)2-4×1=0,
∴原方程有两个相等的实数根.
(3)∵Δ=4a2≥0,
∴原方程有两个实数根.
(4)∵Δ=(-7)2-4×5×5=-51<0,
∴原方程没有实数根.
20.解方程:4x2+2x-1=0.(共38张PPT)
代数式与代数式的运算
【复习目标】
1.理解整式、分式、二次根式的概念.
2.能熟练地进行整式、分式、根式的四则运算,会进行分母有理化.
【知识回顾】
1.代数式:由运算符号把数及表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
代数式可作如下分类:
2.整式:单项式和多项式统称为整式.
3.整式的运算
(1)整式的加减:实质上是合并同类项(所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项),遇括号,一般先去括号.
(2)整式的乘法:包括单项式乘多项式、多项式乘多项式,它的运算顺序是:先用一个多项式(或单项式)乘以另一个多项式的每项,再把所得的积相加.
4.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解.
(1)因式分解的方法:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、求根公式法等.(十字相乘法:借助十字交叉线分解系数,将二次三项式分解因式的方法.)
(2)因式分解常用的公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2;
a2-b2=(a+b)(a-b);
a3±b3=(a±b)(a2 ab+b2).
【点评】 本题首先根据乘法分配律去括号,然后合并同类项.
【例2】 用十字相乘法分解因式:3x2-5x-2.
【解】∵3x2-5x-2,
1x -2
3x 1
(1x)×1+(3x)×(-2)=-5x,
∴3x2-5x-2=(x-2)(3x+1).
【点评】 十字相乘法:借助十字交叉线分解系数,将二次三项式分解因式的方法.
【对点练习2】 用十字相乘法分解因式:x2-4x-12.
【解】 x2-4x-12=(x-6)(x+2).
【点评】 本题求出x的值后,要代入分母验算,把使分母为零的x的值舍去.
【点评】 分式的混合运算一般按分式的运算顺序、运算法则进行计算,要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子,以备约分或通分使用,避免运算烦琐.
【点评】 分母有理化的方法:一般地,分母有理化就是用分母的有理化因式同时去乘分子和分母,从而去掉分母中的根号.
【仿真训练】
一、选择题
1.下列各式中,是同类项的是 ( )
A.3x2y与-3xy2 B.3xy与-2yx
C.2x与2x2 D.5xy与2yz
【答案】 B
【答案】 B
【答案】 C
4.展开:(-a-2b)2= ( )
A.a2-4ab+b2 B.-a2+4ab+b2
C.a2+4ab+4b2 D.a2-2ab+4b2
【答案】 C
【答案】 D
【答案】 C
7.因式分解x2-7x+6的结果是 ( )
A.(x+3)(x+2) B.(x+6)(x+1)
C.(x-3)(x-2) D.(x-6)(x-1)
8.下列因式中,不能因式分解的是 ( )
A.x4+x3+x2+x B.4x2-y2+2x+y
C.x2+2y2 D.x4+6x2+9
12.因式分解:x3-2x2-3x= .
三、解答题
16.化简:x(2x+5)(5-2x)-4x(x-1)2.
【解】 原式=-x(4x2-25)-4x(x2-2x+1)=-8x3+8x2+21x.
17.因式分解:x2-y2-x+y.
【解】 原式=(x+y)(x-y)-(x-y)
=(x-y)(x+y-1).
18.用十字相乘法分解因式:3x2-5x+2.
【解】 ∵3x2-5x+2,
3x -2
1x -1
(3x)×(-1)+(1x)×(-2)=-5x,
∴原式=(3x-2)(x-1).(共37张PPT)
【知识结构】
实数与实数的运算
【复习目标】
1.理解实数、相反数、绝对值、平方根的概念.
2.会熟练地进行实数的加、减、乘、除、乘方的运算,会进行非负实数的开方运算.
【知识回顾】
1.实数:有理数和无理数统称为实数.
实数可作如下分类:
实数
有理数
无理数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
整数
分数
2.实数的运算
(1)在实数范围内,加、减、乘、除(零不能作除数)、乘方的运算都可以进行,其运算结果仍是实数,但开方运算不一定能进行,因为负数不能开偶次方.
(2)有理数的运算法则、定律在实数范围内都适用.
(3)在实数范围内进行的运算顺序是:不同级运算,先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,一般从左到右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
【点评】 无理数仅指无限不循环小数,一个数是什么数不是看形式,而是看结果.
【例2】 当a为实数时,|a|=a,则实数a在数轴上的对应点在( )
A.原点的右侧 B.原点的左侧
C.原点或原点的右侧 D.原点或原点的左侧
【解】 当实数a满足|a|=a时,则a≥0,实数a在数轴上的对应点在原点或原点的右侧.本题选C.
【点评】 要正确理解绝对值的概念,绝对值等于它本身的数必是非负数.此题容易遗漏a=0的情况.
【对点练习2】 当a为实数时,|a|=-a,则实数a在数轴上的对应点在( )
A.原点的右侧 B.原点的左侧
C.原点或原点的右侧 D.原点或原点的左侧
【答案】 D
【解析】当实数a满足|a|=-a时,则a≤0,实数a在数轴上的对应点在原点或原点的左侧.本题选D.
【例3】 若a为实数,下列代数式中,一定是负数的是 ( )
A.-a2 B.-(a+1)2 C.-|a| D.-(|-a|+1)
【解】 若a为实数,则a2≥0,|a|≥0,-a2≤0,-(a+1)2≤0,-|a|≤0,
-(|-a|+1) <0.本题选D.
【点评】 任何实数的平方是非负数,任何实数的绝对值是非负数.
【对点练习3】 若a为实数,下列代数式中,一定是正数的是( )
A.a2 B.(a-3)2 C.|a| D.|a|+3
【答案】 D
【解析】若a为实数,则a2≥0,|a|≥0,|a|+3≥3>0.本题选D.
【点评】 要正确理解平方根、算术平方根、立方根的概念.
【点评】 实数的运算,要先弄清楚按怎样的顺序进行,本题要注意零次幂的计算.
【点评】 实数的运算,要先弄清楚按怎样的顺序进行,本题要注意零次幂的计算.
【答案】 C
【答案】 A
【答案】 C
【答案】 D
【答案】 B
【答案】 B
二、填空题
11.一个正数的平方根是2a-1与-a+2,则a的值是 .
12.|3-π|+|4-π|的计算结果是 .
14.使“|a-b|=b-a”成立的条件是 .
