(共27张PPT)
第八章 平面解析几何
一、选择题(每小题5分,共75分)
1.已知直线过点A(-2,0)与B(-5,3),那么该直线的倾斜角为 ( )
A.45° B.75 ° C.135° D.150°
第八章单元检测
【答案】 C
2.若直线l过点(1,2),在y轴上的截距为1,则l的方程为 ( )
A.3x-y-1=0 B.3x-y+1=0
C.x-y-1=0 D.x-y+1=0
【答案】 D
3.直线2x+y+a=0和直线x+2y+b=0的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定(与a,b的取值有关)
【答案】 C
【答案】 C
5.以点P(1,3),Q(-5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ( )
A.12x+y+2=0 B.3x+y+4=0
C.3x-y+8=0 D.2x-y-6=0
【答案】 B
6.已知点P(3,-4)在方程x2-4x-2y+k=0的曲线上,那么k的值是( )
A.5 B.25 C.-25 D.-5
【答案】 D
7.过点(2,-1)且与直线3x+y-4=0平行的直线方程为 ( )
A.x+3y+5=0 B.3x-y-4=0
C.3x-3y-4=0 D.3x+y-5=0
【答案】 D
【答案】 D
9.直线y-2x+5=0与圆x2+y2-4x+2y+2=0的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交但不过圆心 D.相交且过圆心
【答案】 D
10.设点P为椭圆25x2+9y2=225上的一点,F1,F2是该椭圆的焦点,则|PF1|+|PF2|的值为 ( )
A.6 B.5 C.10 D.20
【答案】 C
【答案】 C
【答案】 D
13.抛物线x2=-8y的准线方程是 ( )
A.y=4 B.y=-4 C.y=2 D.y=-2
【答案】 C
【答案】 B
【答案】 B
17.设l是过点(0,-2)及点(1,2)的直线,则点(1,1)到直线l的距离是 .
18.已知点A(5,2)和B(-1,4),则以AB为直径的圆的方程是 .
【答案】 (x-2)2+(y-3)2=10
三、解答题(共50分)
21.(12分)已知圆的圆心是(-2,1),且和直线3x-4y-15=0相切,求圆的方程.
22.(10分)已知圆(x-1)2+(y+2)2=4与直线2x-y=2相交于A,B两点,求线段AB的垂直平分线的方程.
【解】 设所求线段AB的垂直平分线方程为x+2y+c=0,且直线过圆心,
将圆心(1,-2)代入上式得c=3,
故所求直线方程为x+2y+3=0.
(2)∵由椭圆的定义,可知
|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4,
∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8,
即|AF1|+|BF1|+|AB|=8,
∴|AF1|+|BF1|=8-|AB|=8-3=5.(共51张PPT)
§8.7 抛物线
【复习目标】
1.理解抛物线的定义.
2.掌握抛物线的标准方程和抛物线的简单几何性质.
3.会根据给定条件求抛物线的标准方程.
4.能根据有关抛物线的知识解决较简单的应用问题.
【知识回顾】
1.抛物线的定义
定义:平面内与一个定点F的距离和到一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
第二定义:平面内,与一个定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e(e=1)的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.常数e叫做抛物线的离心率.
【说明】 在定义中,必须明确定点F不在定直线l上,否则轨迹是过点F与直线l垂直的直线.椭圆、双曲线、抛物线的第二定义从文字的角度来看是一样的,它们的区别在于离心率e的取值范围不同,椭圆中01.抛物线中e=1.这一点在理解记忆时要注意.
2.抛物线的标准方程和性质
焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴
图形
标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
参数关系 p>0
几何性质 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0
对称性 对称轴:x轴 对称轴:x轴 对称轴:y轴 对称轴:y轴
焦点
顶点 原点:O(0,0)
准线
离心率 e=1
3.抛物线的标准方程的再认识
(1)p是指抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值恒大于0.
(2)只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式.
(3)由方程的一次项字母(x或y)来确定抛物线焦点所在的轴.由方程的一次项的系数来确定抛物线的开口方向:系数为正,则开口向轴的正方向;系数为负,则开口向轴的负方向.
【例题精解】
【例1】 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
(1)y2=20x; (2)x2=6y; (3)y2=-2x; (4)x2=-4y.
【点评】 抛物线的许多性质都是通过抛物线的标准方程体现出来的,所以求抛物线的焦点坐标和准线方程,一定要先把抛物线的方程化为标准形式,再“定位”,后“定量”.
【对点练习1】 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
(1)y2=10x; (2)x2=8y; (3)y2=-6x; (4)x2=-5y.
(3)抛物线的焦点到准线的距离是2,即p=2,所以抛物线的标准方程是x2=±4y或y2=±4x.
(4)当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线为y2=λx,把点A(2,4)代入所设方程得,42=2λ,16=2λ,λ=8,所以抛物线的标准方程是y2=8x.
当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线为x2=λy,把点A(2,4)代入所设方程,得22=4λ,4=4λ,λ=1,所以抛物线的标准方程是x2=y.
【点评】 抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程.若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多个解.
【对点练习2】 根据下列条件,写出抛物线的标准方程.
(1)焦点坐标是F(0,-2); (2)准线方程是y=3.
【例3】 若抛物线y2=8x上一点P到其焦点F的距离为4,则点P到y轴的距离为 .
【点评】 利用抛物线定义解有关抛物线的问题是最基本也是最重要的方法,这一点要牢记.
【对点练习3】 若抛物线y2=12x上一点P到其焦点F的距离为7,求点P到y轴的距离.
【例4】 已知抛物线的焦点与圆x2+y2+6x=0的圆心重合,则此抛物线的标准方程为 ( )
A.y2=12x B.y2=-12x C.y2=6x D.y2=-6x
【点评】 本题的关键是通过圆的方程确定抛物线的焦点,抛物线的标准方程只含一个系数p,因此只要利用焦点坐标确定p,就可以求出抛物线的标准方程.
【仿真训练】
一、选择题
1.下列抛物线图像中,其方程形式为x2=2py(p>0)的是 ( )
A B C D
【答案】 C
2.抛物线y2=8x的焦点坐标是 ( )
A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,-2) D.(0,2)
【答案】 B
3.抛物线x2=-4y的准线方程是 ( )
A.x=-1 B.x=1 C.y=-1 D.y=1
【答案】 C
4.抛物线x2=-8y的焦点坐标是 ( )
A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,-2) D.(0,2)
【答案】 C
5抛物线y2=4x的准线方程是 ( )
A.x=-1 B.x=1 C.y=-1 D.y=1
6.顶点为原点,焦点为F(0,-3)的抛物线的标准方程为 ( )
A.y2=-12x B.y2=12x C.x2=12y D.x2=-12y
【答案】 D
7.顶点为原点,准线为x=-4的抛物线的标准方程为 ( )
A.y2=16x B.y2=-16x C.x2=-16y D.x2=16y
8.顶点为原点,焦点为F(3,0)的抛物线的标准方程为 ( )
A.y2=-12x B.y2=12x C.x2=12y D.x2=-12y
【答案】 D
9.顶点为原点,准线为y=-4的抛物线的标准方程为 ( )
A.y2=16x B.y2=-16x C.x2=-16y D.x2=16y
【答案】 A
10.已知抛物线x2=12y和抛物线一点P(x,y),点P到焦点的距离为5,则点P 到准线的距离为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】 B
二、填空题
11.抛物线y2=2x的顶点坐标是 ,焦点坐标是 ,准线方程是 .
12.抛物线x2=-8y的顶点坐标是 ,焦点坐标是 ,准线方程是 .
【答案】 (0,0) (0,-2) y=2
13.顶点在原点,以y轴为对称轴,且过点P(3,4)的抛物线方程是 .
14.若抛物线y2=12x上的一点P(x,y)到焦点的距离为8,则点P到准线的距离为 .
【答案】 8
15.已知抛物线y2=-8x,则以此抛物线的焦点为圆心,半径为5的圆的标准方程是 .
【答案】 (x+2)2+y2=25
【提高训练】
一、选择题
1.顶点为原点,焦点为F(6,0)的抛物线的标准方程为 ( )
A.y2=-24x B.y2=24x C.x2=24y D.x2=-24y
【答案】 B
2.顶点为原点,准线为x=5的抛物线的标准方程为 ( )
A.y2=20x B.y2=-20x C.x2=-20y D.x2=20y
【答案】 B
3.顶点为原点,焦点为F(0,4)的抛物线的标准方程为 ( )
A.y2=-16x B.y2=16x C.x2=16y D.x2=-16y
【答案】 C
4.顶点为原点,准线为y=4的抛物线的标准方程为 ( )
A.y2=16x B.y2=-16x C.x2=-16y D.x2=16y
【答案】 C
【答案】 D
【答案】 D
【答案】 C
【答案】 D
9.若抛物线y2=4x上一点到准线的距离为8,则该点的横坐标是 ( )
A.7 B.6 C.-7 D.-6
【答案】 A
10.若抛物线y2=-4x上一点到焦点的距离为4,则它的横坐标是 ( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
【答案】 B
二、填空题
11.抛物线x=-2y2的顶点坐标是 ,焦点坐标是 ,准线方程是 .
12.抛物线4x2+y=0的顶点坐标是 ,焦点坐标是 ,准线方程是 .
13.抛物线y2=12x上的一点P到焦点的距离是9,则点P到准线的距离是 ,点P的坐标是 .
【答案】 9
14.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在y轴的负半轴上,抛物线上一点M(a,-3)到焦点的距离为5,求抛物线的标准方程为 .
【答案】 x2=-8y
三、解答题
15.求适合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)对称轴为y轴,经过点P(-6,-3);
(2)对称轴为坐标轴,经过点P(3,1).
【解】 (1)当抛物线的焦点在y轴上时,
设抛物线方程为x2=λy,
把点P(-6,-3)代入所设方程,(-6)2=-3λ,36=-3λ,得λ=-12,
∴抛物线的标准方程是x2=-12y.
17.已知抛物线y2=-16x上一点P(x,y)到焦点的距离为8,求点P的坐标.
18.过抛物线y2=-2x的焦点且斜率为2的直线l交抛物线于A,B两点,求:
(1)直线l的方程;
(2)线段AB的长度.
(共37张PPT)
§8.3 圆的方程
【复习目标】
1.熟练掌握圆的标准方程和一般方程.
2.能根据已知条件求圆的方程.
3.理解并掌握点与圆的位置关系.
【知识回顾】
1.定义:平面内,与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆,定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.
2.圆的标准方程
圆心在点C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
特殊地,圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程是x2+y2=r2.
【说明】 ①圆心和半径是圆的两个要素,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.只要圆心与半径明确了,圆就确定了,该圆的方程也就唯一确定了.
②求圆的方程的基本方法以待定系数法为主,应注意根据所给条件,明确应该使用标准方程还是一般方程.如果题目中给出了圆心坐标之间的关系或圆心的特殊位置关系时,一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标,一般用一般方程.
【例题精解】
【例1】 (1)圆(x-3)2+(y+2)2=3的圆心是 ,半径是 .
(2)圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心是 ,半径是 .
【点评】 判断两直线的位置关系,应将两直线方程化成一般式或斜截式的形式再进行比较.
【对点练习1】
(1)圆(x+4)2+(y-1)2=9的圆心是 ,半径是 .
(2)圆x2+y2-4x+6y-3=0的圆心是 ,半径是 .
【点评】 求圆的方程一般有两种方法:一是直接求出圆心与半径,二是待定系数法.注意用待定系数法时,常常需要解方程.
【对点练习2】 根据下列条件,求圆的方程.
(1)圆心在P(5,-4),半径为6;
(2)圆心C(-3,0),且过点A(1,3);
(3)以AB为直径,点A(9,4),B(3,2);
(4)过点(1,0)和(3,0),半径为2.
【点评】 本题关键在于准确找出圆心,再代入点到直线的距离公式.
【对点练习3】 圆x2+y2-6x-2y=0的圆心到直线x+2y-7=0的距离是 .
【例4】 点A(1,2)与圆x2+(y-1)2=1的位置关系是 ( )
A.点在圆内 B.点在圆外 C.点在圆上 D.无法判断
【点评】 本题关键是求出已知点与圆心间的距离,再跟半径进行比较.
【例5】 求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.
【点评】 因为利用圆的标准方程列方程组求解的计算过程很复杂,所以一般已知圆上三点,通常先用圆的一般方程,再代入已知点坐标得到的是关于D,E,F的一次方程,求解过程相对容易.
【对点练习5】 求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.
【答案】 D
2.圆x2+y2-8x+2y+12=0的圆心是 ( )
A.(4,-1) B.(4,1) C.(-4,1) D.(-4,-1)
【答案】 A
【答案】 C
4.圆心在点C(-2,-5),半径为3的圆的方程是 ( )
A.(x-2)2+(y-5)2=3 B.(x-2)2+(y-5)2=9
C.(x+2)2+(y+5)2=3 D.(x+2)2+(y+5)2=9
【答案】 D
6.已知圆的方程为(x+5)2+(y+4)2=16,则圆的面积为 ( )
A.8π B.16π C.32π D.256π
【答案】 B
9.点A(-1,2)与圆x2+y2-4x-6y+4=0位置关系是 ( )
A.点在圆内 B.点在圆外
C.点在圆上 D.无法判断
10.已知圆x2+y2+2x-4y-a=0的半径为3,则 ( )
A.a=8 B.a=4 C.a=2 D.a=14
【答案】 B
12.圆(x-2)2+(y+3)2=m+1的半径为2,则m= .
13.圆x2+y2-4x-6y+12=0化标准方程为 ,圆心是 ,半径是 .
14.已知圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=1,则点P(1,-6)到圆心的距离为 .
15.直线2x-4y+3=0经过圆(x+3)2+(y-b)2=5的圆心,则b= .
18.求过三点A(0,-2),B(3,4),C(1,1)的圆的方程.(共57张PPT)
§8.5 椭圆(2)
【复习目标】
1.掌握椭圆的几何性质.
2.能利用待定系数法和椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程.
3.理解直线与椭圆的位置关系,熟知弦长公式,能根据有关椭圆的知识解决较简单的应用问题.
【知识回顾】
1.椭圆的标准方程和几何性质:
定义 M为椭圆上的点,|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0)
焦点位置 x轴 y轴
图形
标准方程
参数关系 a2=b2+c2
标准方程
参数关系 a2=b2+c2
几何性质 范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a
对称性 对称轴为x轴、y轴;对称中心为原点
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,c),F2(0,-c)
顶点 A(±a,0),B(0,±b) A(0,±a),B(±b,0)
轴长 长轴长2a;短轴长2b
准线
离心率
【说明】 椭圆自身固有几何量所具有的性质与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.
【例题精解】
【例1】 求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、短轴长、顶点坐标、准线方程和离心率.
【点评】 椭圆自身固有几何量所具有的性质与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴的长为16,短轴的长为长轴的长的一半,焦点在x轴上;
(2)焦距等于12,离心率等于0.6,焦点在y轴上;
(3)焦点在x轴,长轴长是短轴长的三倍,且椭圆经过点P(3,0).
【点评】 先定位,再定量:椭圆的标准方程是由三个参数a,b,c及焦点位置唯一确定.因此我们需要求椭圆的标准方程时,先确定焦点位置,再运用待定系数法求a,b的值(其步骤是:先设方程、再求参数、最后写出方程).椭圆方程中的参数关系a2=b2+c2是椭圆一系列性质中应用最为广泛的,在解题时要引起足够的重视.
【解】 由已知得a2=25,a=5,
△MNF1的周长可看作四条线段|MF1|,|F1N|,|NF2|,|F2M|的和,
即周长L=|MF1|+|F1N|+|NF2|+|F2M|
=(|MF1|+|MF2|)+(|NF1|+|NF2|)
=4a=20.
【点评】 利用椭圆定义解有关椭圆问题是最基本也是最重要的方法,这一点要加以重视.
【解】 由已知,得a2=36,a=6.
△ABF1的周长可看作四条线段|AF1|,|F1B|,|AF2|,|F2B|的和,
即周长L=|AF1|+|F1B|+|AF2|+|F2B|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)
=4a=24.
【解】 由已知条件得a2=3,b2=2,
则c2=3-2=1,即c=1,
∵焦点在x轴上,
∴焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0).
由直线的点斜式方程得直线l的方程为y-0=1·(x-1),即y=x-1,
【点评】 求直线与圆锥曲线相交截得的弦长是一类重要的题型,可以建立方程组,求出两个交点坐标,再利用两点间距离公式即可求解;但解决这类问题常用的方法是运用弦长公式,同时巧用韦达定理,能达到简化运算的目的.
【答案】 D
【答案】 A
【答案】 B
【答案】 C
【答案】 D
【答案】 B
【答案】 D
13.中心在原点,焦点在y轴上,长轴长为12,短轴长为8,则椭圆的标准方程是 .
【答案】 A
【答案】 D
【答案】 A
【答案】 B
【答案】 B
【答案】 D
【答案】 A
【答案】 D
10.若方程16x2+ky2=16k表示椭圆,则k的取值范围是 ( )
A.(16,+∞) B.(0,+∞)
C.(0,16)∪(16,+∞) D.(0,16)
【答案】 C
二、填空题
11.椭圆9x2+y2=1的焦点坐标为 ,焦距为 ,长轴长为 ,短轴长为 ,四个顶点坐标为 , , , ,离心率为 ,准线方程为 .
【答案】 6
【答案】 18
15.若椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点构成一个等边三角形,则该椭圆的离心率e= .
(共63张PPT)
§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
【复习目标】
1.理解并掌握圆与直线的位置关系,会判断直线与圆的位置关系.
2.掌握圆与圆的位置关系,会判断圆与圆的位置关系.
3.能运用圆与直线、圆与圆的位置关系的知识,求解相关问题.
【知识回顾】
1.直线与圆的位置关系
直线l:Ax+By+C=0与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系,有两种判别方法.
(1)几何法.
设圆心到直线的距离为d,半径为r.
①d>r 直线与圆相离 圆与直线没有公共点.
②d=r 直线与圆相切 圆与直线有一个公共点.
③d【说明】 若从计算的繁简来考虑常使用几何法,而判别式法是解析几何中研究两曲线交点问题的通法,具有一般性.
当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离=d+r,最小距离=d-r,其中d为圆心到直线的距离.
2.圆的切线
(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x-a)(x0-a)
+(y-b)(y0-b)=r2.
特别地,过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x·x0+y·y0=r2.
(2)过圆外一点的圆的切线一定有两条,求切线方程,一般先设直线的斜率,再利用直线与圆相切,即d=r来求出斜率,注意这种解法需讨论斜率k存在和不存在两种情况.
【说明】 几何法只适用于直线与圆,而代数法是解析几何中直线被曲线截得的弦长的求解通法,具有一般性.另外也可以直接求直线与曲线的两个交点坐标,再运用两点间距离公式得到弦长,但此方法计算比较繁琐.
4.圆与圆的位置关系
圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=R2,d=|C1C2|.
(1)外离 d>R+r; (2)外切 d=R+r;
(3)相交 R-rr); (4)内切 d=R-r;
(5)内含 d【说明】 判断圆与圆的位置关系可如下图所示:
【例1】 已知圆(x-1)2+(y+2)2=6和直线2x+y-5=0.
(1)求圆心到直线2x+y-5=0的距离d;
(2)判断圆与直线的位置关系.
【点评】 解题关键是求出半径r和圆心到直线的距离d,根据直线与圆相切d=r、相交dr的定义来判断.通常利用几何法更简便.
【对点练习1】 已知圆(x-2)2+(y+3)2=10和直线3x-y+11=0.
(1)求圆心到直线3x-y+11=0的距离d;
(2)判断圆与直线的位置关系.
【例2】 求圆心在点C(1,3),且与直线3x-4y-6=0相切的圆的方程.
【点评】 此题已知圆心,欲求圆的方程,只要求出圆的半径即可,关键点是要抓住相切.
【例3】 已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线.
(1)有两个公共点;
(2)有一个公共点;
(3)没有公共点.
【点评】 交点个数也可以理解为直线与圆的位置关系,没有交点表示直线与圆相离,有一个交点表示直线与圆相切,有两个交点表示直线与圆相交.本题可采用几何法或判别式法来进行判断,但几何法的计算量相对少一点.
【对点练习3】 已知直线x+5y+C=0与圆x2+y2=25,当C为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点;
(2)有一个公共点;
(3)没有公共点.
【对点练习3】 已知直线x+5y+C=0与圆x2+y2=25,当C为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点;
(2)有一个公共点;
(3)没有公共点.
【对点练习3】 已知直线x+5y+C=0与圆x2+y2=25,当C为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点;
(2)有一个公共点;
(3)没有公共点.
【对点练习3】 已知直线x+5y+C=0与圆x2+y2=25,当C为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点;
(2)有一个公共点;
(3)没有公共点.
【例4】 已知圆(x-1)2+(y+1)2=25上一点P(5,2),求过点P的圆的切线方程.
【点评】 圆的切线垂直于过切点的半径是求圆的切线的切入点.两条直线垂直可通过斜率反映;也可从两个向量内积为零体现垂直的性质.利用向量知识也可以解决过直线上一点求圆的切线问题.
【例5】 求直线x-y=0被圆(x-3)2+(y-1)2=9所截得的弦长.
【对点练习5】 求直线3x-4y+5=0被圆x2+y2=4所截得的弦长.
【仿真训练】
一、选择题
1.直线x+2y-8=0与圆x2+y2=25的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心
【答案】 D
2.直线3x+4y-21=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心
【答案】 B
3.直线2x-y-5=0与圆x2+y2-4x+2y+2=0的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交但不过圆心 D.相交且过圆心
【答案】 D
4.已知直线x+y+m=0经过圆x2+y2-2x+6y=0的圆心,则m= ( )
A.2 B.-2 C.0 D.3
【答案】 A
6.圆心在(-1,2),且与直线3x-4y-4=0相切的圆的方程为 ( )
A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x+1)2+(y-2)2=16
C.(x-1)2+(y+2)2=9 D.(x-1)2+(y+2)2=16
【答案】 A
7.直线x=1与圆x2+y2=9的交点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.若直线x-2y+3=0与圆(x-3)2+(y+2)2=a相切,则a= ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
9.两圆x2+y2=9与(x-3)2+(y+4)2=16的位置关系是 ( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
【答案】 B
二、填空题
11.直线x+y=0与圆(x-2)2+y2=4的位置关系是 .
【答案】 相交
12.两个圆x2+y2=4和(x-5)2+y2=9的位置关系为 .
13.圆心在点C(-1,2),且和直线3x-4y+1=0相切的圆的方程为 .
14.若直线x-y-2=0与圆x2+y2=r2相切,则r= .
15.已知圆x2+(y+1)2=25上一点A(-4,2),则过点A的圆的切线方程为 .
三、解答题
16.已知点A(-2,3)和B(8,5),求以线段AB的中点为圆心,且与直线x+y-1=0相切的圆的标准方程.
17.已知圆的方程x2+y2-4x+8y+19=0,求:
(1)圆的圆心、半径和面积;
(2)与已知圆有相同圆心,且与直线x-2y-5=0相切的圆的方程.
【提高训练】
一、选择题
1.直线y=3x-5与圆(x+3)2+(y-1)2=8的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心
【答案】 A
2.直线4x-3y+10=0与圆x2+y2+2x-4y+3=0的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心
【答案】 C
【答案】 B
4.若直线3x+4y+k=0与圆x2+y2=4相切,则k的值为 ( )
A.-1或19 B.1或-19
C.1 D.±10
【答案】 D
5.与圆C1:(x-3)2+(y+1)2=5有相同圆心,且面积是圆C1面积4倍的圆的方程是 ( )
A.(x-3)2+(y+1)2=10 B.(x+1)2+(y-3)2=20
C.(x+1)2+(y-3)2=10 D.(x-3)2+(y+1)2=20
【答案】 D
6.若直线3x+4y+k=0与圆x2+y2-6x+5=0相切,则k= ( )
A.1或-19 B.10或-10
C.-1或-19 D.-1或19
【答案】 A
7.若圆x2+y2-2x+4y=3-2k-k2与直线2x+y+5=0相切,则k= ( )
A.3或-1 B.-3或1 C.2或-1 D.-2或1
【答案】 B
【答案】 D
【答案】 D
【答案】 C
二、填空题
11.圆x2+y2=13与直线x-y-1=0的位置关系为 .
【答案】 相交
【答案】 1
13.圆心在点C(2,1),且与直线5x+12y+4=0相切的圆的方程为 .
【答案】 (x-2)2+(y-1)2=4
14.圆x2+y2-4x+8y+4=0与圆x2+y2=4的位置关系是 .
【答案】 相交
三、解答题
16.求以两直线2x+y=0和2x-y-4=0的交点为圆心,且与直线2x-y+6=0相切的圆的标准方程.
18.在平面直角坐标系xOy中,直线x=1与圆x2+y2=9交于两点A和B,求以AB为直径的圆的方程.(共56张PPT)
§8.2 直线的位置关系
【复习目标】
1.掌握两条直线位置关系的条件,会用待定系数法求直线的方程.
2.掌握点到直线的距离公式,会求点到直线的距离、两条平行直线的距离.
【知识回顾】
1.两条直线的位置
条件 直线
一般式 斜截式
l1:A1x+B1y+C1=0
l2:A2x+B2y+C2=0
(设系数均不为零) l1:y=k1x+b1
l2:y=k2x+b2
位置关系 平行 k1=k2且b1≠b2
重合 k1=k2且b1=b2
相交 k1≠k2
垂直 A1A2+B1B2=0 k1·k2=-1
2.待定系数法求直线方程
已知直线l:Ax+By+C=0,则:
(1)与l平行的直线方程可设为Ax+By+D=0.
(2)与l垂直的直线方程可设为Bx-Ay+D=0.
【例题精解】
【例1】 已知直线l1:2y=x,直线l2:y+2x+1=0,则l1与l2 ( )
A.相交但不垂直 B. 相交且垂直
C.平行 D.重合
【点评】 判断两直线的位置关系,应将两直线方程化成一般式或斜截式的形式再进行比较.
【对点练习1】 两条直线l1:2x-3y-2=0与l2:4x-6y+5=0的位置关系是 ( )
A.垂直 B.平行 C.重合 D.不能确定
【例2】 过点P(1,2),且与直线x-3y+1=0平行的直线方程是 ( )
A.x-3y+5=0 B.x-3y+6=0
C.3x-y-1=0 D.3x-y+5=0
【点评】 作为选择题,此题可用验证排除的方法:与x-3y+1=0平行的直线是选项A,B中的一个,排除C,D.选项A,B中过点P(1,2)的直线是x-3y+5=0.故选A.做选择题时多灵活运用验证法或排除法,既快捷又简便.
【对点练习2】 过点P(3,4),且与直线3x-2y-7=0垂直的直线方程是 ( )
A.3x+2y-18=0 B.2x+3y+18=0
C.2x-3y+18=0 D.2x+3y-18=0
【答案】 D
【解析】 设所求直线方程为2x+3y+D=0.
∵所求直线过点P(3,4),
∴2×3+3×4+D=0,∴D=-18.
∴所求直线方程为2x+3y-18=0.故选D.
【例3】 以点P(1,3),Q(-5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ( )
A.12x+y+2=0 B.3x+y+4=0
C.3x-y+8=0 D.2x-y-6=0
【点评】 线段的垂直平分线经过PQ的中点,且与直线PQ垂直,因此根据两直线垂直关系,可求出所求垂直平分线的斜率.
【对点练习3】 已知点A(1,3)和点B(3,-1),则线段AB的垂直平分线的方程是 .
【对点练习4】 点P(1,1)到直线x+y-3=0的距离是 .
【例5】 设l是过点(0,-1)及点(1,0)的直线,则点(5,2)到直线l的距离是 .
【点评】 在点到直线的距离公式中,首先要知道点的坐标和直线方程.本题直线l的方程没有具体给出,因此应先求出直线l的方程,再代入公式求解.
【对点练习5】 在平面直角坐标系xOy中,给定两点A(2,0)和B(6,-3),那么点C(-1,3)到直线AB的距离为 .
【仿真训练】
一、选择题
1.直线2x-y+7=0和直线x+2y+1=0的位置关系是 ( )
A.平行 B.重合
C.相交且垂直 D.相交但不垂直
【答案】 C
2.直线l1:3x-y-2=0与l2:6x-2y=7的位置关系是 ( )
A.平行 B.重合
C.相交且垂直 D.相交但不垂直
【答案】 A
3.直线l1:3x+5y+1=0与l2:5x+3y=8的位置关系是 ( )
A.平行 B.重合
C.相交且垂直 D.相交但不垂直
【答案】 D
5.两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点坐标为 ( )
A.(1,4) B.(1,-4) C.(-1,4) D.(-1,-4)
6.过点P(1,2),且平行于直线y=-3x+2的直线方程是 ( )
A.x-3y+5=0 B.x-3y-5=0
C.3x+y+5=0 D.3x+y-5=0
7.过点P(1,2),且垂直于直线y=-3x+2的直线方程是 ( )
A.x-3y+5=0 B.x-3y-5=0
C.3x+y+5=0 D.3x+y-5=0
【答案】 C
10.已知A(3,1)和B(1,-5)两点,那么线段AB的垂直平分线的方程是 ( )
A.3x+y+4=0 B.x-3y+8=0
C.x+3y+4=0 D.3x-y-8=0
【答案】 C
12.经过点M(-1,0),且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为 .
13.经过点A(4,3),且与直线x-4y+3=0平行的直线方程为 .
14.点P(-3,-1)到直线l:6x-8y+7=0的距离是 .
15.两平行线3x+4y-10=0与3x+4y=0间的距离为 .
18.已知两点A(-7,4),B(-5,6),求线段AB的垂直平分线的方程.
2.下列两直线互相平行的是 ( )
A.2x+3y-1=0和2x+2y-2=0
B.y=-x和y=x-1
C.x-y+1=0和x-y+2=0
D.y=-2x+2和x-3y+2=0
4.下列与直线5x+3y-5=0垂直的直线方程是 ( )
A.x-3y=0 B.x+3y=0
C.3x-5y-30=0 D.5x+3y-30=0
5.若两直线2x+4y+3=0和mx+y-2=0相互垂直,则m= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.如果直线ax+8y+22=0和直线x+2ay-4=0平行,那么 ( )
A.a=2 B.a=-2
C.a=±2 D.a≠2且a≠-2
8.过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与已知直线y=-2x+1平行,则m的值为 ( )
A.-8 B.0 C.2 D.10
10.已知直线l在x轴上的截距为3,且平行于直线3x-4y+1=0,则直线l的方程为 ( )
A.3x-4y+9=0 B.3x-4y-9=0
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y+12=0
二、填空题
11.经过点A(-2,1),且与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为 .
12.经过点B(-5,-3),且与直线x+5y+7=0平行的直线方程为 .
13.直线2x+y+m=0和直线x+2y+n=0的位置关系是 .
15.过点A(-7,3),B(-1,1)的中点,且与直线x+4y+4=0垂直的直线方程为 .
三、解答题
16.已知两点A(2,1)和B(-4,3),求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距.
17.已知两点A(-2,0)和B(6,-8),求点C(-3,5)到直线AB的距离.
18.已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(0,4),求:
(1)直线AC的方程;
18.已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(0,4),求:
(2)AC边上中线所在的直线方程;
18.已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(0,4),求:
(3)AC边上的高所在的直线方程;
18.已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(0,4),求:
(4)过点A,且平行于BC的直线方程.(共40张PPT)
第八章 平面解析几何
【考试内容】
1.曲线方程;曲线的交点.
2.直线方程.
3.圆的标准方程和一般方程;圆的参数方程.
4.椭圆、双曲线和抛物线的标准方程及其几何性质.
【考纲要求】
1.理解曲线与方程的对应关系;掌握求曲线交点的方法.
2.理解直线的斜率和点斜式方程、斜截式方程、截距式方程、一般式方程,能根据条件求出直线方程.
3.理解两条直线的交点的求法;理解两条直线平行和垂直的条件;了解点到直线的距离公式.
4.掌握圆的标准方程和一般方程;了解圆的参数方程.
5.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
6.理解椭圆的标准方程和性质;了解双曲线和抛物线的标准方程和性质.
【知识结构】
【五年分析】
考点 年份
2020 2021 2022 2023 2024
直线的方程 T19 T5 T4
两直线的位置关系 T9 T19 T18
点到直线的距离 T9、T20
圆的方程 T20 T14 T15
直线与圆的位置关系 T20 T15
椭圆标准方程及性质 T24 T24 T24 T3 T11
双曲线标准方程及性质 T8 T7 T24 T24 T6
抛物线定义及标准方程 T11 T14 T13 T11 T24
总分值 34 34 29 39 34
解析几何:每年所占分值比重大,约为30分.选择题是得分的重点,考查的知识点都比较基础,难度系数不大,主要是考查对公式、性质的掌握情况.故对基础知识、基础题型的掌握程度是得分的关键.近5年,压轴题(第24题)均是本章的知识点,常与向量、最值、解三角形等知识相结合.2020年至2022年考查的是椭圆与直线的位置关系,近两年加入了双曲线、抛物线的知识,难度系数变大.
§8.1 直线的方程
【复习目标】
1.理解直线的倾斜角、斜率的概念,会求直线的倾斜角和斜率.
2.掌握直线方程的几种形式,会根据条件求直线的方程.
2.直线的方程
(1)直线方程一览表
名称 已知条件 直线方程 说明
点斜式 直线l上一点P(x0,y0),
斜率k y-y0=k(x-x0) 不能表示平行于y轴的直线(即斜率不存在)
斜截式 直线的斜率k,
直线在y轴上的截距b y=kx+b 不能表示平行于y轴的直线(即斜率不存在)
一般式 Ax+By+C=0
(A,B不同时为零) 可表示任何直线
(2)特殊的直线方程
①平行于y轴的直线方程:x=x0;
②平行于x轴的直线方程:y=y0;
③过原点的直线方程:y=kx.
【例题精解】
【例1】 经过A(-2,0),B(-5,3)两点的直线的斜率为 ,倾斜角为 .
【点评】 根据已知条件选取合适的斜率公式及0≤α<π,可唯一确定倾斜角.
【对点练习1】 过A(2,a),B(-1,4)两点的直线的斜率为1,则a= .
【点评】 根据直线的斜截式方程可直接得出斜率和在y轴上的截距,再由斜率的定义确定倾斜角.若给出的是直线的一般式方程,则应先化成斜截式方程再求解.
【对点练习2】 直线x+y-2=0的倾斜角为 ,在y轴上的截距为 .
【答案】 135° 2
【解析】 把直线x+y-2=0化成斜截式方程得y=-x+2,
则k=-1,即tan α=-1.
∵0°≤α<180°,∴α=135°,即倾斜角为135°,
∴令x=0,得y=2,即直线在y轴上的截距为2.
【例3】 已知直线y=mx+6的斜率为-2,则m= ,在y轴上的截距是 .
【解】 由直线斜截式方程知m=k=-2,
则直线方程为y=-2x+6.
令x=0,代入直线方程得y=6,即在y轴上的截距为6.
【点评】 根据直线的斜截式方程可直接得出斜率和在y轴上的截距.若给出的是直线一般式方程,则应先化成斜截式方程再求解.
【对点练习3】 已知直线ax-3y+5=0的斜率为1,则a= ,在y轴上的截距是 .
【例4】 根据已知条件,求下列直线的方程.
(1)经过点(1,2),斜率为3;
(2)斜率为2,在y轴上的截距为4;
(3)倾斜角是45°,且过点(1,-2);
(4)过点A(-1,2),B(2,4).
【点评】 理清三种不同形式的直线方程所需满足的条件,然后根据题目条件选取合适的直线方程再进行求解.
【对点练习4】
(1)经过点(3,-1),斜率为4的直线的点斜式方程为 ( )
A.y+1=4(x-3) B.y-1=4(x+3)
C.y=4x+4 D.y=4x+13
【答案】 (1)A (由直线的点斜式方程得y-(-1)=4(x-3).故选A.)
(3)经过点A(2,3)和B(4,7)的直线方程是 ( )
A.2x+y-7=0 B.2x-y+1=0
C.2x-y-1=0 D.x-2y+4=0
【仿真训练】
一、选择题
1.直线2x-y+4=0与x轴的交点是 ( )
A.(2,0) B.(-2,0) C.(0,-4) D.(0,4)
【答案】 B
【答案】 A
3.若直线经过点A(3,2)和点B(0,-1),则直线的斜率为 ( )
A.0 B.1 C.3 D.不存在
【答案】 B
4.直线6x+2y+1=0的斜率为 ( )
A.6 B.2 C.3 D.-3
5.直线3x+2y+6=0在y轴上的截距是 ( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
10.已知直线ax+4y+7=0的斜率为-2,则a= ( )
A.-8 B.8 C.-2 D.2
二、填空题
11.已知点A(2,-2)在直线3x+4y-m=0上,则m= .
12.若直线l的倾斜角是60°,则斜率k= .
13.若直线经过点A(4,-2)和点B(0,-1),则直线的斜率为 .
14.直线4x+y+4=0的斜率为 ,在y轴上的截距为 .
【答案】 -4 -4
17.已知直线过A(1,3),B(3,-1)两点,求直线AB的方程.
18.已知直线l过点(-3,1),且在y轴上的截距为-2,求直线l的方程.(共38张PPT)
§8.5 椭圆(1)
【复习目标】
1.理解并掌握椭圆的定义,理解椭圆的第二定义.
2.掌握椭圆的标准方程.
3.掌握a,b,c之间的关系,会由其中的两个求出第三个.
4.能根据a,b,c的值写出椭圆的标准方程.
5.会运用定义法、待定系数法和数形结合等方法解题.
【知识回顾】
1.定义:平面内,与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
第二定义:平面内,与一个定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e(0【说明】 在第一定义中,要注意到两个定点距离之和(记作2a)大于|F1F2|(记作2c),否则轨迹不是椭圆.当2a=2c时,轨迹是线段F1F2;当2a<2c时,轨迹不存在.
在第二定义中要注意02.椭圆的标准方程
定义 M为椭圆上的点,|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0)
焦点位置 x轴 y轴
图形
标准方程
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,c),F2(0,-c)
参数关系 a2=b2+c2(a>b>0)
3.椭圆的标准方程的再认识
(1)椭圆的标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1.
(2)椭圆的标准方程中,三个参数a,b,c满足a2=b2+c2.
(3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a,b,c的值.
(4)椭圆的标准方程中,焦点的位置由分母的大小来确定.
【例题精解】
【例1】 用椭圆的定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.
(1)到F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹;
(2)到F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹;
(3)到F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹.
【解】 (1)∵|MF1|+|MF2|=6,|F1F2|=4,即|MF1|+|MF2|>|F1F2|,
∴动点M的轨迹是椭圆.
(2)∵|MF1|+|MF2|=4,|F1F2|=4,即|MF1|+|MF2|=|F1F2|,
∴动点M的轨迹是线段,不是椭圆.
(3)∵|MF1|+|MF2|=3,|F1F2|=4,即|MF1|+|MF2|<|F1F2|,
∴动点M的轨迹不存在,不是椭圆.
【点评】 在椭圆的定义中,要深刻理解动点到两个定点的距离之和(记作2a)大于|F1F2|(记作2c),否则轨迹不是椭圆.当2a=2c时,轨迹是线段F1F2;当2a<2c时,轨迹不存在.
【对点练习1】
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是 ( )
A.圆 B.直线 C.射线 D.椭圆
(2)若F1,F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
【答案】
(1)D (由椭圆的定义可知,平面内,与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.故选D.)
(2)A (由椭圆的定义式,|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0),
|MF1|+|MF2|=8=2a,|F1F2|=6,
8>6>0,2a>|F1F2|>0,
动点M的轨迹满足椭圆的定义式,即动点M的轨迹是椭圆.
故选A.)
【解】 选项B中,16>9,y2对应的分母大于x2对应的分母,∴焦点落在y轴上.故选B.
【点评】 椭圆的焦点位于方程中分母较大的变量所在的坐标轴.
【解】 (1)∵9>6,y2对应的分母大于x2对应的分母,∴焦点落在y轴上;
(2)∵25>10,x2对应的分母大于y2对应的分母,∴焦点落在x轴上;
(3)∵26>18,y2对应的分母大于x2对应的分母,∴焦点落在y轴上;
(4)∵36>24,x2对应的分母大于y2对应的分母,∴焦点落在x轴上.
【解】 (1)由已知得a2=25,b2=16,椭圆的焦点在x轴上,
c2=25-16=9,因此c=3,焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0),焦距2c=6.
(2)由已知得a2=100,b2=64,椭圆的焦点在y轴上,c2=100-64=36,
因此c=6,焦点坐标为F1(0,-6),F2(0,6),焦距2c=12.
【点评】 (1)椭圆的焦点位于方程中分母较大的变量所在的坐标轴.
(2)椭圆的标准方程中,三个参数a,b,c满足a2=b2+c2.
【解】 (1)由已知得a2=16,b2=7,
椭圆的焦点在y轴上,c2=16-7=9,因此c=3,
焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),焦距2c=6.
(2)由已知得a2=61,b2=36,
椭圆的焦点在x轴上,c2=61-36=25,因此c=5,
焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),焦距2c=10.
(3)由已知得a2=36,b2=32,
椭圆的焦点在y轴上,c2=36-32=4,因此c=2,
焦点坐标为F1(0,-2),F2(0,2),焦距2c=4.
【点评】 先定位,再定量:椭圆的标准方程是由三个参数a,b,c及焦点位置唯一确定.即只要知道三个参数a,b,c的值,就可以写出椭圆的标准方程.因此我们要求椭圆的标准方程时,先确定焦点位置,再运用待定系数法求a,b的值(其步骤是:先设方程、再求参数、最后写出方程).
【点评】 椭圆的标准方程中,左边是两个分式的平方和,右边是1;焦点的位置由分母的大小来确定,且a>b>0.
【仿真训练】
一、选择题
1.若F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则点M的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
【答案】 A
【答案】 B
【答案】 B
【答案】 C
【答案】 D
【答案】 D
【答案】 C
二、填空题
11.已知椭圆中a=7,b=3,焦点在横轴上,则椭圆的标准方程是 .
12.已知椭圆中b=2,焦点为F1(0,-3),F2(0,3),则椭圆的标准方程为 .
15.已知椭圆中 b=5,焦距为6,焦点在纵轴上,则椭圆的标准方程是 . (共39张PPT)
§8.6 双曲线(1)
【复习目标】
1.理解并掌握双曲线的定义,理解双曲线的第二定义.
2.掌握双曲线的标准方程.
3.掌握a,b,c之间的关系,会由其中的两个求出第三个.
4.能根据a,b,c的值写出双曲线的标准方程.
5.会运用定义法、待定系数法和数形结合等方法解题.
【知识回顾】
1.定义:平面内,与定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(大于0,小于|F1F2|)的点轨迹叫做双曲线.定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
第二定义:平面内,与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹叫做双曲线.定点叫做双曲线的一个焦点,定直线叫做与该焦点对应的准线(双曲线有两个焦点和两条准线).常数e叫做双曲线的离心率.
【说明】 在第一定义中,必须强调差的绝对值(记为2a),不但要小于|F1F2|(记为2c),且要大于零.当2a=2c时,轨迹是两条射线;当2a>2c时,轨迹不存在.
在第二定义中要注意点F不在直线l上,否则轨迹是两条相交直线.若已知双曲线的焦点和准线时,必须说明是否为对应焦点和准线,否则不符合第二定义中的条件.
2.双曲线的标准方程
定义 M为双曲线上的点,||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)
焦点位置 x轴 y轴
图形
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
参数关系 c2=a2+b2(a>0,b>0)
3.双曲线的标准方程的再认识
(1)双曲线的标准方程的形式:左边是两个分式的平方差,右边是1.
(2)双曲线的标准方程中三个参数a,b,c满足c2=a2+b2.
(3)双曲线的标准方程中,a>0,b>0,但a不一定大于b;且当a=b时,称为等轴双曲线.
(4)双曲线的标准方程中,如果x2的系数为正,则焦点在x轴上;如果y2的系数为正,则焦点在y轴上.
【例题精解】
【例1】 用双曲线的定义判断下列动点M的轨迹是否为双曲线.
(1)到F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对值为2的点的轨迹;
(2)到F1(0,-3),F2(0,3)的距离之差的绝对值为6的点的轨迹;
(3)到F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对值为5的点的轨迹.
【解】 (1)因为||MF1|-|MF2||=2,|F1F2|=4,即||MF1|-|MF2||<|F1F2|,
所以动点M的轨迹是双曲线.
(2)因为||MF1|-|MF2||=6,|F1F2|=6,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|,
所以动点M的轨迹是两条射线,不是双曲线.
(3)因为||MF1|-|MF2||=5,|F1F2|=4,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|,
所以动点M的轨迹不存在,不是双曲线.
【点评】 在双曲线的定义中,必须强调差的绝对值(记为2a),不但要小于|F1F2|(记为2c),且要大于零.当2a=2c时,轨迹是两条射线;当2a>2c时,轨迹不存在.
【对点练习1】
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于0,小于|F1F2|)的点的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.直线 C.射线 D.双曲线
(2)若F1,F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足||MF1|-|MF2||=5,则点M的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.直线 C.射线 D.双曲线
【答案】 (1)D (由双曲线的定义可知,平面内,与定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(大于0,小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.故选D.)
(2)D (双曲线的定义式,||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)
||MF1|-|MF2||=5=2a,|F1F2|=6,
0<5<6,0<2a<|F1F2|,
动点M的轨迹满足双曲线的定义式,即动点M的轨迹是双曲线.故选D.)
【解】 选项C中,y2对应的系数为正,x2对应的系数为负,所以是焦点落在y轴上的双曲线.故选C.
【点评】 双曲线的标准方程中,如果x2的系数为正,则焦点在x轴上;如果y2的系数为正,则焦点在y轴上.
【解】 (1)方程x2对应的系数为正,y2对应的系数为负,因此是焦点落在x轴上的双曲线.
(2)方程左边是两个分式的平方和,右边是1,且y2对应的分母大于x2对应的分母,因此是焦点落在y轴上的椭圆.
(3)方程x2对应的系数为负,y2对应的系数为正,因此是焦点落在y轴上的双曲线.
(4)方程左边是两个分式的平方和,右边是1,且x2对应的分母大于y2对应的分母,因此是焦点落在x轴上的椭圆.
【解】 (1)由已知得a2=16,b2=9,
双曲线的焦点在x轴上,且c2=a2+b2=16+9=25,
因此c=5.焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),焦距2c=10.
(2)由已知得a2=10,b2=26,
双曲线的焦点在y轴上,且c2=a2+b2=10+26=36,
因此c=6.焦点坐标为F1(0,-6),F2(0,6),焦距2c=12.
【点评】 (1)双曲线的标准方程中,如果x2的系数为正,则焦点在x轴上;如果y2的系数为正,则焦点在y轴上.
(2)双曲线的标准方程中三个参数a,b,c满足c2=a2+b2.
【点评】 在求双曲线的标准方程时,先定位,再定量,要注意双曲线的参数关系c2=a2+b2与椭圆的参数关系a2=b2+c2是不同的,这一点许多同学在解题时易于混淆,在解题时要多加注意.
【解】 由双曲线标准方程,知a2=16,a=4,b2=9,b=3,
由双曲线定义知,双曲线上的点到两焦点的距离的差的绝对值是2a,
题中点P到较远的焦点距离为10,设到较近焦点的距离为d,
则10-d=2a,即10-d=8,解得d=2.故选A.
另:此题为选择题,由双曲线定义可知,到另一焦点的距离较小,选项中只有A符合.故选A.
【点评】 在双曲线的定义中,双曲线上的点到两焦点的距离的差的绝对值是2a,此题中标明“较远的距离”,所以在运用其定义式解题时灵活地把绝对值符号省略.
【仿真训练】
一、选择题
1.若F1,F2是定点,|F1F2|=8,且动点P满足||PF1|-|PF2||=4,则点P的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.直线 C.射线 D.双曲线
【答案】 D
【答案】 B
【答案】 D
【答案】 C
【答案】 B
【答案】 B
【答案】 B
二、填空题
11.设动点M到两个定点F1(-5,0),F2(5,0)的距离之差的绝对值等于6,则动点M的轨迹方程为 .
【答案】 (0,-6),(0,6) 12
13.焦点在y轴上,焦距等于14,a=6的双曲线的标准方程是 .
【答案】 36(共39张PPT)
第八章 平面解析几何
一、选择题
1.(2021年)过点(1,-1)且与直线3x+y-4=0平行的直线方程为 ( )
A.x+3y+2=0 B.3x-y-4=0
C.3x-3y-4=0 D.3x+y-2=0
【答案】 D
【解析】 设所求直线为3x+y+D=0,
把点(1,-1)代入所设方程得3-1+D=0,解得D=-2.故选D.
考题直通
7.(2024年)过点A(2,1)且与圆x2 +y2=5相切的直线的方程为 ( )
A.x+2y+4=0 B.x+2y-4=0
C.2x+y+5=0 D.2x+y-5=0
【答案】 A
【解析】 依题意知,a2=100,则a=10.
由椭圆的定义,知|AF1|+|AF2|=2a=20,|BF1|+|BF2|=2a=20,
∴△ABF2的周长|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=40.故选A.
【答案】 A
【解析】 ∵双曲线的焦点在x轴上,且a2=17,b2=8,∴c2=a2+b2=17+8=25,
∴c=5,∴双曲线的右焦点为(5,0).故选A.
13.(2020年)抛物线y2=4x的准线方程为 ( )
A.y=1 B.y=-1 C.x=1 D.x=-1
【答案】 D
【解析】 ∵抛物线的焦点坐标为(1,0),∴准线方程为x=-1.故选D.
【答案】 C
【解析】 抛物线的焦点坐标为(1,0),设点A(1,m).把点A(1,m)代入抛物线方程得m2=4,m=±2,∴A(1,2),B(1,-2),|AB|=4.故选C.
二、填空题
17.(2022年)已知两点A(-1,5),B(9,3),则线段AB的垂直平分线的方程为 .
18.(2023年)若直线x-2y+1=0与直线2x+my-1=0平行,则m= .
19.(2019年)以点(2,1)为圆心,且与直线4x-3y=0相切的圆的标准方程为 .
20.(2020年)在平面直角坐标系xOy中,直线x+y-3=0被圆(x-2)2+
(y+1)2=4截得的弦长为 .
21.(2021年)以点M(3,1)为圆心的圆与x轴交于A,B两点,且为△MAB直角三角形,则该圆的标准方程为 .
【答案】 (x-3)2+(y-1)2=2
【解析】 过点M(3,1)作MN垂直于x轴,垂足为点M,
则|MN|=|AN|=1,
r2=|MN|2+|AN|2=1+1=2,
∴圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=2.
(共47张PPT)
§8.6 双曲线(2)
【复习目标】
1.掌握双曲线的几何性质.
2.能利用待定系数法和双曲线的几何性质求出双曲线的标准方程.
3.能根据有关双曲线的知识解决较简单的应用问题.
【知识回顾】
双曲线的标准方程和性质:
定义 M为双曲线上的点,||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)
焦点位置 x轴 y轴
图形
标准方程
参数关系 c2=a2+b2(a>0,b>0)
标准方程
几何性质 范围 |x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R
对称性 对称轴为x轴、y轴;对称中心为原点
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
轴长 实轴长2a;虚轴长2b
准线
渐近线
离心率
【说明】 学习双曲线的知识,要与椭圆的有关知识进行对比,理解并领会双曲线与椭圆的区别在于双曲线有两个分支,涉及双曲线上的点的问题要考虑在哪一支上,双曲线还增加了渐近线的内容.
【例题精解】
【例1】 已知双曲线方程为25x2-16y2=400,求其实轴长,虚轴长,离心率,顶点坐标,焦点坐标,准线方程,渐近线方程.
【点评】 学习双曲线的知识,要与椭圆的相关知识进行对比,理解并领会双曲线与椭圆的异同.
【点评】 在求双曲线的标准方程时,要注意双曲线的参数关系c2=a2+b2与椭圆的参数关系a2=b2+c2是不同的,这一点许多同学在解题时易于混淆,另外,双曲线的性质中有渐近线,而渐近线方程又因焦点在不同的坐标轴而形式不同,在解题时要多加注意.
【点评】 直线与曲线相交,主要运用方程组法,特别是求直线与曲线相交截得的弦长,可以建立方程组,求出两个交点坐标,再利用两点间距离公式即可求解;但解决这类问题常用的方法是运用弦长公式,同时巧用韦达定理能达到简化运算的目的.
【答案】 A
【答案】 D
【答案】 A
【答案】 D
【答案】 A
【答案】 C
【答案】 A
【答案】 B
二、填空题
11.平面直角坐标系中,双曲线的图像关于 对称.
【答案】 22或2
【答案】 D
【答案】 B
【答案】 A
【答案】 D
【答案】 A
【答案】 C
【答案】 B
【答案】 D
【答案】 B
【答案】 C
【答案】 9
【解】 由已知可得a2=16,a=4,
△ABF1的周长看作三条线段|AB|,|AF1|,|BF1|的和,
如图所示,根据双曲线的定义得
|AF1|-|AF2|=2a=8①,
|BF1|-|BF2|=2a=8②,
①+②得|AF1|+|BF1|-|AF2|-|BF2|=16,
|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=16,
即|AF1|+|BF1|=16+(|AF2|+|BF2|)=16+|AB|=16+8=24,
∴△ABF1周长L=|AF1|+|BF1|+|AB|=24+8=32.
