(共24张PPT)
2.1.1 平方根
——平方根与算术平方根
第1章 整式的乘法
2024湘教版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解平方根、算术平方根的概念，并会用根号表示非负数的平方根、算术平方根.（重点）
2.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求平方根（难点）
学生能清晰阐述单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的运算法则，并能准确运用这些法则进行运算。
熟练掌握整式乘法的运算技巧，能够对复杂的整式乘法式子进行化简和求值，确保计算结果的准确性。
（二）过程与方法目标
经历整式乘法运算法则的推导过程，培养学生观察、归纳、类比、推理的能力，提升逻辑思维水平。
引导学生在解决整式乘法问题的过程中，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想方法，增强分析和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
通过自主探究与合作交流，激发学生对数学的探索热情，培养学生勇于创新和团队协作的精神。
让学生感受整式乘法运算的简洁美和规律性，体会数学在实际生活中的广泛应用，增强学习数学的兴趣和自信心。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘运算法则的推导过程。
熟练运用整式乘法运算法则进行准确计算，包括单项式、多项式的乘法运算及混合运算。
（二）教学难点
理解多项式与多项式相乘时，乘法分配律的运用以及如何准确合并同类项。
灵活运用整式乘法运算法则解决复杂问题，避免在计算过程中出现符号错误和运算顺序错误。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
小明将一个长为 2、宽为 1 的长方形纸片，按下面方法剪拼成一个正方形。由此你能发现这个正方形的面积是多少？它的边长呢？
探究新知
议一议
展开铺平
剪开拼图
沿虚线对折
沿虚线对折
1
1
1
1
1
1
1
1
正方形的面积是2，但不知道边长。
由 S正方形 = 边长2
S正方形 = 2
( ？ )2 = 2
这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数。
如果有一个数r,使得r2=a， 那么r叫作a的一个平方根，也叫二次方根.
平方根的定义：
探究新知
抽 象
22 = ( )
( -2 )2 = ( )
是 的一个平方根
是 的一个平方根
4
4
4
4
-2
2
若r2=a，则r 是a 的一个平方根
探究新知
探 究
4 的平方根除了 2 和 －2 以外，还有其他的数吗？
因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以比 2 大的数都不是 4 的平方根.
边长小于 2 的正方形，它的面积一定小于4，从而比 2 小的正数都不是 4 的平方根.
所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2.
互为相反数
由于 (－b)2 = b2，因此，大于 －2 或小于－2 的负数都不是 4 的平方根.
0 显然不是 4 的平方根.
总结归纳
如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与－r.
正数a的正平方根叫作a的算术平方根
记作：
读作：
根号a
正数a
正的平方根表示为：
读作：根号a
负的平方根表示为：
读作：负根号a
即 a的平方根表示为：
正、负根号 a
探究新知
思 考
0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
因为02 = 0，所以零的平方根就是0本身。
由于任何一个数的平方都不会是负数，因此，负数没有平方根
0的平方根也叫做0的算术平方根。
记作：
平方根与算术平方根的区别与联系：
类别 名称
平方根 算术平方根
区别 定义不同
个数不同
表示方法不同
结果不同
联系 具有包含关系
存在条件相同
一般地，如果一个数 r的平方等于 a，即 r2 = a，那么这个数 r 就叫作 a 的平方根.
一般地，如果一个正数 r 的平方等于 a，即 r2 = a，那么这个正数 x 就叫作 a 的平方根.
两个，且互为相反数
一个
一正一负
正数
平方根包含了算术平方根
被开放数为非负数，0 的平方根与算术平方根都是 0.
求一个非负数a的平方根的运算，叫做开平方.
这个非负数a叫做被开方数
可以理解为一种运算符号
开平方
(±3)2 = 9，
9 的平方根是 ±3；
(±)2 = 5，
5 的平方根是 ±；
平方与开平方
为互逆运算！
平方
开平方
探究新知
例题讲解
例1
分别求下列各数的平方根：
（1）36；（2） ；（3）1.21.
解：（1）由于 (±6)2 = 36，因此 36 的平方根是 6 与－6，即 .
（2）由于 (± )2 = ，因此 的平方根是 与－ ，
即 .
（3）由于 (±1.1)2 = 1.21，因此 1.21 的平方根是 1.1 与－1.1，即 .
分别求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2）1.96；（3） .
解：（1）因为 102 = 100，
所以 .
（2）因为 1.42 = 1.96，所以 .
（3）因为 ( )2 = ，所以 .
正数越大，它的算术平方根也越大.
例题讲解
例2
观察说说你发现了什么规律？
1. [2024·南阳宛城区月考] “3的算术平方根”可用数学式子表
示为( )
A
A. B. 3 C. D.
2. 如果数没有平方根，那么 可以是( )
A
A. B. C. D.
3. 的算术平方根是( )
D
A. B. C. D. 0.64
4. [2024·长沙校级月考] 下面语句中正确的是( )
D
A. 64的平方根是 B. 的平方根是
C. 的平方根是 D. 的算术平方根是
5. [2024·广东] 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正
方形的边长是( )
B
A. 2 B. 5 C. 10 D. 20
6. 教材P33习题 求下列各式的值：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） .
.
7.[2024·深圳耀华实验学校月考] 求下列各式中 的值：
（1） ；
【解】，, ,
解得 .
（2） .
，， ，
解得或 .
8. 如果是一个整数，那么整数 可取的值
共有( )
A
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
9. 如图，一个大正方形被分割成四部分，
其面积分别为，，， ，则
大正方形的边长为( )
D
A. B. C. D.
【点拨】因为大正方形被分割成四部分，其面积分别为
，，， ,所以大正方形的面积为
.
又因为，，所以大正方形的边长为 .
10. 我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给
出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为，常数
（为整数）和满足， ，则
+… ，用该公式
求87的算术平方根，则公式中的____， ____.
10
13
11.已知，， 是两两不等的数，且满足下列等式：
，则
的值为___.
0
【点拨】因为
且，， 是两两不等的数，
所以，，， ，
即 ，
所以且 ，
所以 ，
平
方
根
正数 的平方根
负数的平方根
0的平方根
负平方根
算术平方根
正平方根
没有
平方根
就是0本身
课堂小结
谢谢观看！(共39张PPT)
2.1.2 平方根
——无理数
第1章 整式的乘法
2024湘教版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
2.借助计算器估计无理数的近似值
学生能清晰阐述单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的运算法则，并能准确运用这些法则进行运算。
熟练掌握整式乘法的运算技巧，能够对复杂的整式乘法式子进行化简和求值，确保计算结果的准确性。
（二）过程与方法目标
经历整式乘法运算法则的推导过程，培养学生观察、归纳、类比、推理的能力，提升逻辑思维水平。
引导学生在解决整式乘法问题的过程中，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想方法，增强分析和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
通过自主探究与合作交流，激发学生对数学的探索热情，培养学生勇于创新和团队协作的精神。
让学生感受整式乘法运算的简洁美和规律性，体会数学在实际生活中的广泛应用，增强学习数学的兴趣和自信心。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘运算法则的推导过程。
熟练运用整式乘法运算法则进行准确计算，包括单项式、多项式的乘法运算及混合运算。
（二）教学难点
理解多项式与多项式相乘时，乘法分配律的运用以及如何准确合并同类项。
灵活运用整式乘法运算法则解决复杂问题，避免在计算过程中出现符号错误和运算顺序错误。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
整数
正整数：如：1，2，3，…
零：0
负整数：如-1，-2，-3，…
分数
正分数：如 , , 5.2, …
负分数：如 ， ，-3.5, …
有理数
什么叫有理数？
除了有理数外还有没有其他的数呢？
导入新课
探究新知
思 考
观察下列结果：
12 = 1，
1.42 = 1.96，
1.412 = 1.9881，
1.4142 = 1.999396，
1.41422 = 1.99996164，
…
22 = 4，
1.52 = 2.25，
1.422 = 2.0164，
1.4152 = 2.00225，
1.41432 = 2.00024449，
…
（1）分别根据上述结果，估计 2 的算术平方根 的大致范围；
（2）若将 写成一个小数，则它是一个怎样的小数？
（1）由于 12 < 2，2 < 22，所以 1 < < 2.
由于 1.42 < 2 < 1.52，所以 1.4 < < 1.5.
表示 介于 1 与 2 之间
探究新知
思 考
观察下列结果：
12 = 1，
1.42 = 1.96，
1.412 = 1.9881，
1.4142 = 1.999396，
1.41422 = 1.99996164，
…
22 = 4，
1.52 = 2.25，
1.422 = 2.0164，
1.4152 = 2.00225，
1.41432 = 2.00024449，
…
（1）分别根据上述结果，估计 2 的算术平方根 的大致范围；
（2）若将 写成一个小数，则它是一个怎样的小数？
（2）若将 写成一个小数，则由（1）可以猜测
它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数.
= 1.414213562…
它是一个无限不循环小数，不可写成分数.
探究新知
无理数的定义：
若一个数是无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数
π = 3.141592653…
= 1.732050807…
= 2.236067977…
= 2.645751311…
无理数
总结归纳
无理数
正无理数
负无理数
， ，π
－ ，－ ，－π
探究新知
议一议
下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由.
（1）无限小数都是有理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数；
（4）无理数都是带根号的小数.
小数
有限小数
无限小数
无限循环小数
无限不循环小数
（有理数）
（有理数）
（无理数）
×
√
×
×
根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个无理数.
例如π=3.14159265…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位， …，得到π≈3.14， π≈3.142， …，我们称3.14，3.142是π的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.
3.14，3.142，3.1416，…都是π的近似值，称它们为近似数.
探究新知
用计算器求下列各式的值.
（1） ；
（2） （结果精确到小数点后面第三位）.
解：（1）依次按键：
显示结果：32.
所以， .
不同型号的计算器，操作可能不同.
例题讲解
例3
用计算器求下列各式的值.
（1） ；
（2） （结果精确到小数点后面第三位）.
“精确到小数点后面第三位”也可以说成“精确到0.001”或“保留三位小数”.
（2）依次按键：
显示结果：2.828427125
所以， .
例题讲解
例3
例题讲解
成立吗？若不成立，请举例说明.
做一做
当 a 为负数时不成立.
由于 ( )2 = a，则对于任意一个非负数 a，先开平方，然后再平方，最后的结果仍等于 a.
( )2 = a成立吗？
无理数的大小估算
对于带根号的无理数的估算，可以运用“夹逼法”。
夹逼法
1、确定整数部分
2、确定小数部分
5.1 ＝26.01
5 ＜ ＜6
5.2 ＝27.04
5.3 ＝28.09……
探究新知
(1)开方开不尽的数,如,-等;
(2)具有特定意义的数,如π等;
(3)具有特殊结构的数,如1.252252225…(相邻两个5之间依次多一个2)等.
无理数的三种表现形式:
总结归纳
1. [2024·福建] 下列各数中，无理数是( )
D
A. B. 0 C. D.
2. 用计算器求3.489，结果为（精确到 ）( )
C
A. 1.867 B. C. 1.868 D.
3. 有一个无理数,且，则 可以是
__________________.
（答案不唯一）
4. 教材P34习题 把下列各数填在相应的大括号
内：，，，0，，， ，
（相邻两个1之间依次多1个 ）.
有理数：{ }；
无理数：{ }.
【解】有理数： ；
无理数：，， （相邻两个1之间
依次多1个0）， .
5. 下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②无理数是无
限不循环小数；③无理数包括正无理数、零、负无理数.其中
正确的说法的个数是( )
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
6. 如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的 等于
( )
B
A. 8 B. C. D. 4
7.[2024·长沙芙蓉区期中] 已知 的整数部分是1，则小数部
分是.若的小数部分为,则 _________.
8.我们用表示不大于的最大整数，如： ，
， .
（1） ___；
（2）若，则 的取值范围是__________.
1
9.学完《平方根》一节后，小明同学写了以下5个结论：
①任何无理数都是无限不循环小数；
②平方根等于它本身的数是 和0；
③在1和3之间的无理数有且只有，，， 这4个；
④ 是分数，是有理数；
⑤由四舍五入得到的近似数7.30表示大于或等于 ，而小
于7.305的数.
其中正确的有______（填序号）.
①⑤
10. 为了培养学生的爱国主义情怀，激发青
少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，某
校举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动.小芳制作了一张面
积为 的正方形贺卡.现有一个长方形信封，长、宽之
比为，面积为 ，小芳能将这张贺卡不折叠就放入
此信封吗？请通过计算说明你的判断.
【解】因为正方形贺卡的面积为 ，
所以正方形贺卡的边长为 .
设长方形信封的长为，宽为 .
因为长方形信封的面积为 ，
所以 .
所以，解得 （负值已舍去）.
所以长方形信封的宽为 .
因为，所以.所以 .
所以小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
11.【阅读理解】定义：可以表示为两个互质整数的商的形式
的数称为有理数，整数可以看作分母为1 的有理数；否则为
无理数.如不能表示为两个互质的整数的商，所以 是无
理数.
可以这样说明：设，,是互质的两个整数，且 ，
则，即 ①.
因为是整数且不为0，所以 是不为0的偶数.
设（是整数，且），则 .
所以②.所以也是偶数，与， 是互质的整数矛盾.
所以 是无理数.
【解决问题】
（1）写出①②表示的代数式，使说明过程完整；
; .
（2）试说明： 是无理数.
【解】设，，是互质的两个整数，且 ，则
，
所以 .
因为是整数且不为0，所以 为7的倍数且不为0.
设是整数，且，所以 ，
所以 ，
所以也是7的倍数，与， 是互质的整数矛盾，
所以 是无理数.
12. 教材P31思考 小华在利用计算器求算术平方根的过
程中发现了如下现象：， ，
， ，小华进一步探索发
现：，， ，
， ，于是他得出如下结论：
当被开方数的小数点向右移动两位时，算术平方根的小数点
向右移动一位.随后他又进行了如下的运算： ，
，， ，于是他又
得出结论：当被开方数的小数点向左移动两位时，算术平方
根的小数点向左移动一位.在一次测验中，小华忘记带计算器，
他只记得 ，现要求下列各式的值：
（1）；（2）；（3） .
他顺利地求出了结果，请你在不利用计算器的情况下将结果
也写出来.
【解】（1） .
（2） .
（3） .
13. 如图，边长为1的
正方形网格中有一条数轴.
（1）以 为边的格点正方形的面积
是___，由此可知，以原点为圆心，
长为半径画弧，与数轴正半轴的交
点 表示的数为____；
2
（2）按照（1）中的思路，在正方形网格中设计图形，求出
线段 的长.
【解】如图，构造以为边的格点正方形 ，
则格点正方形的面积为 ，所
以，所以 .
14. 若无理数的被开方数（ 为正整数）
满足（其中为正整数），则称无理数
的“青一区间”为；同理规定无理数 的“青一区
间”为.例如：因为，所以 的“青一
区间”为，的“青一区间”为 .请回答下列问
题：
（1）的“青一区间”为______， 的“青一区间”为
_________；
（2）,满足关系式： ，
求 的“青一区间”.
【解】因为 ，
所以 ，
即 .
所以， .
所以 .
因为 ，
所以的“青一区间”为 .
无限不循环小数叫作无理数。
1.无理数的定义：
无理数
开方不尽的数:与 类似的数，
①
类似0.101001000100001···
（两个1之间多一个0）的数
③
2.无理数的分类：
②
圆周率π和与π相关的数，如π ，π+1， …
课堂小结
谢谢观看！
