(共24张PPT)
3.2.1 不等式的基本性质
第3章 一元一次不等式（组）
2024湘教版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解并掌握不等式的基本性质
2.会用不等式的基本性质1、2进行不等式的变形.
学生能够理解一元一次不等式（组）的概念，明确其与一元一次方程的区别与联系。
熟练掌握一元一次不等式（组）的解法，能准确求出其解集，并在数轴上正确表示出来。
过程与方法目标
通过类比一元一次方程的解法探究一元一次不等式（组）的解法，培养学生的类比推理能力和知识迁移能力。
在解决实际问题的过程中，学会将实际问题转化为数学模型，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标
通过小组合作学习，培养学生的团队协作精神和交流表达能力。
让学生在探索知识的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
二、教学重难点
教学重点
一元一次不等式（组）的概念和解法。
用数轴表示不等式（组）的解集。
教学难点
不等式基本性质 3 的理解和应用，在不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变。
确定不等式组的解集，尤其是在解复杂的不等式组时，如何准确找到各个不等式解集的公共部分。
三、教学方法
讲授法：通过清晰的讲解，向学生传授一元一次不等式（组）的基本概念、解法步骤和相关理论知识，使学生对新知识有初步的系统认识。
讨论法：组织学生进行小组讨论，针对一元一次不等式（组）与一元一次方程的异同点、不等式组解集的确定方法等问题展开讨论，激发学生的思维，促进学生之间的思想交流与碰撞，培养学生的合作能力和自主探究能力。
练习法：安排适量的练习题，让学生在练习过程中巩固所学的一元一次不等式（组）的解法，及时发现并解决学生在解题过程中出现的问题，提高学生的解题能力和应用知识的能力。
直观演示法：借助数轴，直观地展示不等式（组）的解集，帮助学生更好地理解和掌握解集的概念，突破教学难点。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探究新知
做一做
已知2<3,先用“>”或“<”填空：
猜一猜：
若a,b,c都是实数，且a你能将它推导出来吗？
则a+c b+c,a-c b-c
证明：
探究新知
设a,b,c都是实数
若 a(a+c)-(b+c)
=a+c-b-c
=a-b<0,
因此
a+c所以 a+(-c)即 a-c若a>b, 同理可得: a+c>b+c,a-c>b-c
总结归纳
不等式的基本性质1：
不等式的两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），
不等号的方向不变.
探究新知
如果a>b，那么 a + c > b + c, a-c > b-c.
例题讲解
例1
（2）因为3＜7，两边都减去x，由不等式基本性质1，
得 3-x＜7-x
用“＞”或“＜”填空：
（2）已知3＜7，则3-x_______7-x.
（1）已知a＞b，则a+ _______b+ ;
解：（1）因为a＞b，两边都加上 ，由不等式基本性质1，
得 a+ ＞b+
＞
＜
探究新知
做一做
猜一猜：
若a,b,c都是实数，且a你能将它推导出来吗？
c>0,则ac bc,
已知3<5,两边同时乘以(或除以)同一个不为0的数，试比较它们之间的关系。
证明：
探究新知
已知aa-b<0
又c>0,于是
(a-b)c<0
从而有
ac-bc<0
因此
ac因为
同理可得
所以
总结归纳
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变.
探究新知
如果a＞b， c ＞0，那么ac＞bc， .
例题讲解
例2
（2）已知a>b，则 _______ .
（1）已知a用“＞”或“＜”填空：
<
>
解：（1）因为a得
（2）因为a>b，两边都乘以 ，由不等式基本性质2，
得
例题讲解
例3
利用：
解：
因为 ，根据不等式的基本性质1得，
即
又因为 ，根据不等式的基本性质2得，
1. [2024·济宁二模] 若 ,则( )
D
A. B.
C. D.
2. 若,则___ .
易忽略 这种情况.
3. 教材P61练习 利用，比较与 的大小.
【解】因为 ，所以根据不等式基本性质1得
，即 .
又因为，所以根据不等式基本性质2得 .
4.利用不等式的基本性质，把下列不等式化成“ ”或“
”的形式.
（1） ；
【解】两边同时减去，得 ,
两边同时除以4,得 .
（2） .
两边同时减去2，得 ,
两边同时乘,得 .
5. [2024·长春] 不等关系在生活中
广泛存在.如图，， 分别表示两名
同学的身高， 表示台阶的高度.图
A
A. 若,则
B. 若,,则
C. 若,，则
D. 若,，则
中两人的对话体现的数学原理是 ( )
6.[2024·苏州高新区期中] 已知关于的不等式 两
边都除以，得，试化简 .
【解】因为关于的不等式两边都除以 ，
得 ，
所以，所以 ，
所以， ，
所以 .
7. 【阅读】
材料一：对于实数，定义一种新运算 ，规定：
（其中， 均为非零常数），等式右边是
通常的四则运算.例如： ，
.
材料二：已知，均为非负数，且满足 ，求
的取值范围.有如下解法：
解：因为，所以 .
所以 .
因为，均为非负数，所以， .
所以，所以 .
所以，所以 .
（1）若，，求， 的值；
【解】由题意得解得
（2）已知，均为非负数，，求 的取
值范围.
因为 ,
所以 .
所以 .
因为, 均为非负数，
所以,.所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
课堂小结
基本性质1
不等式的基本性质
基本性质2
不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变.
不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变.
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3.2.2 不等式的基本性质
第3章 一元一次不等式（组）
2024湘教版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解并掌握不等式的基本性质3; (重点)
2.会用不等式的基本性质1、2、3进行不等式的变形.
3、理解移项
学生能够理解一元一次不等式（组）的概念，明确其与一元一次方程的区别与联系。
熟练掌握一元一次不等式（组）的解法，能准确求出其解集，并在数轴上正确表示出来。
过程与方法目标
通过类比一元一次方程的解法探究一元一次不等式（组）的解法，培养学生的类比推理能力和知识迁移能力。
在解决实际问题的过程中，学会将实际问题转化为数学模型，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标
通过小组合作学习，培养学生的团队协作精神和交流表达能力。
让学生在探索知识的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
二、教学重难点
教学重点
一元一次不等式（组）的概念和解法。
用数轴表示不等式（组）的解集。
教学难点
不等式基本性质 3 的理解和应用，在不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变。
确定不等式组的解集，尤其是在解复杂的不等式组时，如何准确找到各个不等式解集的公共部分。
三、教学方法
讲授法：通过清晰的讲解，向学生传授一元一次不等式（组）的基本概念、解法步骤和相关理论知识，使学生对新知识有初步的系统认识。
讨论法：组织学生进行小组讨论，针对一元一次不等式（组）与一元一次方程的异同点、不等式组解集的确定方法等问题展开讨论，激发学生的思维，促进学生之间的思想交流与碰撞，培养学生的合作能力和自主探究能力。
练习法：安排适量的练习题，让学生在练习过程中巩固所学的一元一次不等式（组）的解法，及时发现并解决学生在解题过程中出现的问题，提高学生的解题能力和应用知识的能力。
直观演示法：借助数轴，直观地展示不等式（组）的解集，帮助学生更好地理解和掌握解集的概念，突破教学难点。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习旧知
1.什么是不等式？
用不等号（>，<，≥，≤，≠）连接而成的式子
2. 不等式的基本性质1、2是什么？
导入新课
不等式的两边都加上（或都减去）同一个数（同一个整式），不等号的方向不变.
不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变.
探究新知
做一做
猜一猜：
若a,b,c都是实数，且a你能将它推导出来吗？
c<0,则ac bc,
先用“>”或“<”填空：
4 ______ 3
-4 _____ -3
4 > 3
-4 < -3
>
>
证明：
探究新知
已知aa-b<0
又c<0,于是
(a-b)c>0
从而有
ac-bc>0
因此
ac>bc
因为
同理可得
所以
类似：若a,b,c都是实数，且a>b,c<0,则ac总结归纳
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变.
探究新知
如果a＞b， c＜0，那么ac＜bc， .
例题讲解
例4
（1）已知a（2）已知a>b，则 _______ .
用“＞”或“＜”填空：
>
<
解：（1）因为a得
（2）因为a>b，两边都乘 ，由不等式基本性质3，
得
例题讲解
例5
（1）10x<3x-7；
把下列不等式化为x＜a或x＞a的形式：
（1）解：根据不等式的性质1，得
10x-3x<3x-7-3x
7x<-7
合并同类项，得
两边都除以7根据不等式的性质2，得
x<-1
为什么不等式两边要减去3x？
例题讲解
例5
（1）10x<3x-7；
把下列不等式化为x＜a或x＞a的形式：
例题讲解
例5
（1）10x<3x-7；
把下列不等式化为x＜a或x＞a的形式：
（2）解：两边都乘 ，
根据不等式的性质3，得
即
（3）解：根据不等式的性质1，得
合并同类项，得
两边都除以-7根据不等式的性质3，得
x＞-56
探究新知
观 察
（1）解：根据不等式的性质1，得
10x-3x<3x-7-3x
7x<-7
合并同类项，得
两边都除以7根据不等式的性质2，得
x<-1
（1）10x<3x-7；
（3）解：根据不等式的性质1，得
合并同类项，得
两边都除以-7根据不等式的性质3，得
x＞-56
观察这两道题的解答过程中的第一步你有什么发现？
把不等式一边的某一项改变符号后移动到另一边的变形称为移项.
1、移项的依据是不等式的性质1。2.移项就要变号。
1. [2024·上海] 如果 ,那么下列正确的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 教材P65习题 以下说法正确的个数为( )
①若，，则 ；
②若，，，则 ；
③若,,,则 .
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.若,且,则 的取值范围是_______.
4. 教材P63例5 将下列不等式化为“”或“ ”的
形式.
（1） ；
【解】不等式两边都乘，得 .
（2） .
不等式两边都减,得 ，
不等式两边都减3，得 ，
不等式两边都除以，得 .
5. [2024·北京大兴区期末] 下列四个说法：①若 ,则
；②若,则；③若,且 ，
则；④若,则 .其中说法正确的
有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】若 ，则由不等式的基本性质1，可得
,所以说法①正确；
若,则仅当时， ,所以说法②不正确；
若，则，因为，所以 ，所以说法③
正确；
若,则，因为，所以 ,所以说
法④正确.故选C.
6.若,且，，设 ,
则 的取值范围为_____________.
【点拨】因为 ,
所以,.所以 .
所以 .
因为，，所以， .
所以 .
所以.所以 .
7. 下列推导过程中竟然推出了 的错误
结果，请你指出问题究竟出在哪里.
已知： .
两边都乘2，得 ，
两边都减去,得 ，
即 .
两边都除以,得 .
【解】最后一步错了.因为,所以 .因为不等式
的两边同时除以一个负数，不等号的方向要改变.所以最后一
步错误.
8.已知整数，，满足 ，且其中任意两数之
和是第三个数的整数倍，求 所有可能的值.
【解】由已知得为整数， 为负整数，且
，
故， ，
所以 ，
所以 .
所以 ，
则所有可能的值是 或0.
9.[2024·北京第一六一中学期中] 对，，定义一种新运算 ，
规定：，其中, 为非负数.若
，，设，求 的取值
范围.
【解】因为， ，
所以
解得
所以
.
因为， 为非负数，
所以， ，
所以 ，
所以 ，
即 .
课堂小结
基本性质1
不等式的基本性质
基本性质2
不等式的两边都加上（或都减去）同一个数（同一个整式），不等号的方向不变.
不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变.
基本性质3
不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向不改变.
把不等式一边的某一项改变符号后移动到另一边的变形称为移项.
1、移项的依据是不等式的性质1。
2.移项就要变号。
谢谢观看！
