(共24张PPT)
19 1.1 变量与函数
（第1课时）
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.探索数量关系和变化规律.
2.了解变量、常量的意义，能正确区分变量和常量.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
在这个过程中，哪些量变化了？哪些量没变？
汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h.
这些量有什么关系呢？
课堂导入
思考1 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h. 请填写下表，其中路程 s 随行驶时间 t 的变化而变化吗？
t/h 1 2 3 4 5
s/km
60
120
180
240
300
不变的量
变化的量
知识点：常量和变量
新知探究
变化的量
变化的量和不变的量分别是什么？
用含有t 的式子表示s，则有______.
这个过程反映出路程 s 随时间 t 的变化而变化.
s=60t
思考2 电影票的售价为10元/张，第一场售出150张，第二场售出205张，第三场售出310张，三场电影的票房收入分别为多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元， y 的值随 x 的变化而变化吗？
解:第一场电影的票房收入为15010=1500（元）;
第二场电影的票房收入为20510=2050（元）;
第三场电影的票房收入为31010=3100（元）.
变化的量
变化的量
不变的量
变化的量和不变的量分别是什么？
用含有x的式子表示y，则有______.
y=10x
这个过程反映出y的值随x的变化而变化.
思考3 风吹动水面产生的圆形水波（即涟漪）慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径 r 分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的变化而变化吗？
解：当半径为10 cm时，圆的面积为100；
当半径为20 cm时，圆的面积为400；
当半径为30 cm时，圆的面积为900.
变化的量
变化的量
变化的量和不变的量分别是什么？
用含有r的式子表示S，则有______.
S=
不变的量是圆周率π.
这个过程反映出S 的值随 r 的变化而变化.
在一个变化过程中，有些量的数值是变化的，有些量的数值是始终不变的.
s=60t
y=10x
S=
y=5-x
l=15+0.5x
从以上5个问题中，你可以得出什么样的结论？
知识点
常量与变量
1
定义：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
说明：(1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v 就是一个常量.
(2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程 中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量. 如在s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量.
(3)变量与字母的指数没有关系，如在y＝2x2中，x是变量，而不能说x2是变量.
返回
1．[2024承德期末]刘师傅到加油站加油，如图是刘师傅所用加油机上的数据显示牌，其中的常量是( )
A．金额
B．单价
C．数量
D．金额和数量
B
返回
A
返回
C
返回
4．[2024宿州期中]夏天马上到了，进入5月份后，温度(T)随着日期(d)的变化而逐渐升高，在这个过程中，变量是____________．
日期和温度
返回
5．[2024莱州期末]如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可以自由转动．在转动过程中，下面的量是常量的为( )
A．∠BAC的度数
B．AB的长度
C．BC的长度
D．△ABC的面积
B
返回
6．下列说法不正确的是( )
A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a
B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量
C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量
D．如果a＝b，那么a，b都是常量
D
7. 指出下列问题中的变量和常量：
(1)某地手机通话费为0.3元/min.李明在手机话费卡中存入50元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为w元．
返回
(2)铁的密度ρ为7.8 g/cm3，记铁的质量为m(g)，体积为V(cm3)．
【解】根据物理知识，得铁的质量m＝铁的密度ρ×铁的体积V，ρ＝7.8 g/cm3，所以m和V是变量，ρ是常量．
8．某工厂有一个容积为280立方米的水池，现用3台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时抽水15立方米．
(1)抽水两小时后，水池中还有________立方米的水．
190
【点拨】由题意得280－3×15×2＝190(立方米)，即抽水两小时后，水池中还有190立方米的水．
返回
(2)在这一变化过程中哪些是变量？哪些是常量？
【解】在这一变化过程中，水池的容积、抽水机的台数、每台抽水机每小时抽水的体积是常量；抽水时间、水池中水的体积是变量．
变量和常量
定义
判断
方法
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
1.看是否在某一个变化过程中；
2.看数值是否发生改变.
课堂小结
谢谢观看！(共23张PPT)
19 1.1 变量与函数
（第2课时）
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解并掌握函数的概念.
2.会根据函数的概念判断变量之间是否具有函数关系.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
知识回顾
2.判断一个量是常量还是变量的方法:
看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变（或者说是否会取不同的数值），若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则次量是变量.
思考1 下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标 x 表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量. 在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应吗？
课堂导入
思考2 下表是我国人口数统计表，年份与人口可以分别记作两个变量 x 与 y，对于表中的每一个确定的年份 x，都对应着一个确定的人口数 y 吗？
年份 人口数/亿
1984 10.34
1989 11.06
1994 11.76
1999 12.52
2010 13.71
那么，对于这样的关系我们该怎样定义呢？x 和 y 又分别代表什么含义呢？
我们发现：在上述两个思考问题的变化过程中，都有两个变量 x 与 y ，并且对于x的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应.
知识点
函数
1
函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
特别提醒
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同.
2.判断一个关系是否是函数关系的方法
（1）看是否在一个变化过程中；
（2）看是否存在两个变量；
（3）看每当变量取定一个值时，另外一个变量是否都有唯一确定的值与其相对应.
三个条件缺一不可！
返回
1．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是( )
D
返回
A
返回
B
返回
4. 据史书记载，漏刻(如图)是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位h(cm)与时间t(min)满足h＝0.4t＋2，当h的
值为8时，时间t的值为( )
A．4.4 B．10
C．15 D．20
C
返回
5. 某水池内有水150 m3，水泵每小时抽水20 m3，设水池内剩余水量为y(m3)，抽水时间为t(h)，则y关于t的函数解析式是______________，t的取值范围是________．
y＝150－20t
0≤t≤7.5
6. 对所有实数x，y，若函数y＝f(x)满足f(xy)＝f(x)·f(y)，且f(0)≠0，则f(2 025)＝______．
1
【点拨】∵对所有实数x，y，函数y＝f(x)满足f(xy)＝f(x)·f(y)，∴取y＝0，有f(0)＝f(x)·f(0)．
又∵f(0)≠0，∴f(x)＝1.
∴当x＝2 025时，f(2 025)＝1.
返回
7. “十一”期间，小华一家人开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶60千米时，发现油箱余油量为39升(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的)．
(1)求该车的平均耗油量．
(2)写出余油量Q(升)与行驶路程x(千米)之间的关系式．
(3)当油箱中余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？
【解】Q＝45－0.1x(0≤x≤450)．
200×2＝400(千米)，
当x＝400时，Q＝45－0.1×400＝5(升)．
∵5升＞3升，∴他们能在汽车报警前回到家．
返回
返回
D
返回
C
10.[2024德州模拟]下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是________．(填序号)
m －3 －2 －1 1 2 3
n －2 －3 －6 6 3 2
④如图，曲线表示y是x的函数．
①②③
返回
11.如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的x为1，则输出的y是________．
11
函数
概念
判断
方法
在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其相对应.
1.看是否在一个变化过程中；
2.看是否存在两个变量；
3.看每当变量取定一个值时，另外一个变量是否都有唯一确定的值与其相对应.
课堂小结
谢谢观看！(共16张PPT)
19 1.1 变量与函数
（第3课时）
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解自变量的取值范围的概念.
2.会根据不同类型的函数关系式，正确地求出自变量的取值范围.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数，也称 y 是因变量.
判断一个关系是否是函数关系的方法
①看是否在一个变化过程中；
②看是否存在两个变量；
③看每当变量确定一个值时，另外一个变量是否都有唯一确定的值与之相对应.
知识回顾
请用含有自变量的式子表示下列问题中的函数关系.
（2）多边形的边数为 n，内角和度数为 y.
（1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t，行驶的路程为 s.
s = 60 t
y =180 (n-2)
思考：（1）中， t 取 -2 时有实际意义吗？
（2）中， n 取 2 时有实际意义吗？
函数关系式中自变量的取值范围应该怎样规定呢？
课堂导入
知识点
函数自变量的取值范围与函数值
3
1. 自变量的取值范围
(1)定义：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围.
(2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义.
(3)不同类型的函数自变量取值范围的确定
类型 特征 举例 取值范围
整式型 等式右边是关于自变量的整式 y＝2x2＋3x－1 全体实数
分式型 等式右边是关于自变量的分式 y＝ 使分母不为0的实数
1.整式型 等号右边是整式，自变量的取值范围是全体实数，例如：.
2.分式型 等号右边的自变量在分母的位置上，自变量的取值范围是使分母不为0的实数，例如：.
不同类型函数自变量取值范围的确定
3.根式型 等号右边是开偶次方的式子，自变量的取值范围是使根号下的式子的值大于或等于0的实数，例如：.
4.零次型 等号右边是自变量的零次幂或负整数次幂，自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数，例如：
.
8. 一辆车的电池有100度电，该车行驶时每小时
耗电20度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间 （小时）之间的
函数解析式为_______________，自变量的取值范围为__________.
9.[2024·济宁邹城市模拟] 在函数中，自变量 的取值范围是
( )
C
A.且 B.
C. D.且
10.根据如图所示的程序计算函数
的值，若输入的 值是8和1时，输出
的值相等，则 等于( )
B
A.5 B. C.7 D.3
11.如图，圆柱的底面半径是，当圆柱的高 发生变
化时，圆柱的体积 随之发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是
____________.
圆柱的高
圆柱的体积
（2）这个变化过程中，圆柱的体积与高 之间的关系式为_________.
（3）当由变化到时， 是怎样变化的？
解：当时， ；
当时， .
当由变化到时，由变化到 .
12.[2024·郑州期末] 近年来，付费自习室受到越来越多年轻人的青睐.下
表反映了某学员在某付费自习室的卡内余额（元）与自习天数 （天）
之间的关系：
自习天数 天 0 1 2 3 4 …
卡内余额 元 1 000 975 950 925 900 …
（1）在上述关系中，自变量是__________，因变量是__________；
自习天数
卡内余额
（2）直接写出该学员在该付费自习室的卡内余额（元）与自习天数
（天）之间的函数解析式；
解：与之间的函数解析式为（，且 为
整数）.
（3）若该学员持此卡在该付费自习室持续自学了30天，且期间没有充
值，则该学员的卡内余额为_____元.
250
函数自变量的取值范围
概念
不同类型函数自变量取值范围的确定
使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫做自变量的取值范围.
①整式型（全体实数）；
②分式型（使分母不为0的实数）；③根式型（使根号下的式子的值大于或等于0的实数）；
④零次型（使幂的底数不为0的实数）
课堂小结
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19 1.1 变量与函数
（第4课时）
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解自变量的取值范围的概念.
2.会根据不同类型的函数关系式，正确地求出自变量的取值范围.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.函数自变量的取值范围 使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围.
1.整式型 自变量的取值范围是全体实数.
2.不同类型函数自变量的取值范围
2.分式型 自变量的取值范围是使分母不为0的实数.
3.根式型 自变量的取值范围是使根号下的式子的值 大于或等于0的实数.
4.零次型 自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数.
知识回顾
写出下列函数中自变量的取值范围.
（1）y = 5x+1
（2）
（3）
全体实数.
x2.
x.
请写出下列问题中的函数解析式.
（1）大货车以 80 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t，行驶的路程为 s.
（2）正方形的边长 x，周长为 y.
解：（1）s = 80t;
根据以上式子你能总结出函数解析式的定义吗？
（2）y = 4x.
课堂导入
1. 定义：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式.
2. 特点：(1)函数解析式是等式.
(2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数.
知识点
函数解析式
4
找
认真审题，根据题意找出各个量之间的数量关系.
根据数量关系写出含有两个变量的等式.
写
变
将等式变形为用含自变量的式子表示因变量的形式.
确定函数解析式的步骤
2.函数值 对于自变量 x 在取值范围内的某个确定的值 a，函数 y 所对应的值为 b，即当 x=a 时，y=b，则 b叫做当自变量的值为 a 时的函数值.
注意：当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个.
(1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
解: (1)行驶路程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x 的函数，它们的关系为 y= 50-0.1x.
例 汽车油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L)随行驶路程 x(单位：km)的增加而减少，耗油量为 0.1 L/km.
(2)指出自变量 x 的取值范围；
解: (2) 仅从式子 y=50-0.1x 看，x 可以取任意实数. 但考虑到 x 代表的实际意义，因此 x 不能取负数.
行驶中的耗油量为 0.lx，它不能超过油箱中原有汽油量，即 0.l x ≤50，
因此，自变量 x 的取值范围是 0≤ x ≤500.
(3)汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少汽油？
解: (3)汽车行驶 200 km 时，油箱中的汽油量是函数 y=50-0.lx 在 x=200 时的函数值.
将 x=200 代入 y=50-0.1x，得 y=50-0.1×200=30.
汽车行驶 200 km 时，油箱中还有 30 L 汽油.
更多同类练习见RJ八下《教材帮》19.1节方法帮
1.拖拉机开始工作时，油箱中有油 36 L，如果每小时耗油4 L，那么油箱中剩余油量 y L 与工作时间 x h 之间的函数解析式是 ，自变量 x 的取值范围是 ，当 x=4 时，函数值 y= .
跟踪训练
新知探究
y = 36- 4x
0 ≤ x ≤ 9
20
分析：x h的耗油量为4x，则
剩余油量=总油量-已经消耗的油量,即y = 36- 4x .
由题意知，0≤ 36- 4x ≤36.
当x=4 时， y= 36-4 ×4=20.
知4－练
等腰三角形ABC 的周长为10 cm，底边BC 的长为 y cm，腰AB 的长为x cm.
(1)写出y 关于x 的函数解析式；
(2)求x 的取值范围.
例 5
解题秘方：紧扣“函数解析式的特点”，结合几何相关性质求解.
知4－练
解：(1)由题意可得2x＋y＝10，所以y关于x的函数解析式为y＝10－2x.
(2)由题意可得x>0，y>0，即10－2x>0 .
再由三角形的三边关系，得2x>y，即2x>10－2x.
所以自变量x应满足
解这个不等式组，得知4－练
5－1. 黄老师某次加油时，加油站的加油表显示屏的部分读数如图所示，则加油金额y(元)与加油量x(0 ≤ x ≤ 60)(L)的关系式为_______．
y＝6x
知4－练
5－2. 已知一个直角三角形的两条直角边的和为10 cm，若设此直角三角形的面积为S cm2，其中一条直角边为x cm，则S 与x 的函数关系式为____________，自变量的取值范围是________.
0＜x＜10
7.[2024·常州] 若等腰三角形的周长是10，则底边长与腰长 的函数解
析式为____________.
8. 一辆车的电池有100度电，该车行驶时每小时
耗电20度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间 （小时）之间的
函数解析式为_______________，自变量的取值范围为__________.
9.[2024·济宁邹城市模拟] 在函数中，自变量 的取值范围是
( )
C
A.且 B.
C. D.且
10.根据如图所示的程序计算函数
的值，若输入的 值是8和1时，输出
的值相等，则 等于( )
B
A.5 B. C.7 D.3
11.如图，圆柱的底面半径是，当圆柱的高 发生变
化时，圆柱的体积 随之发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是
____________.
圆柱的高
圆柱的体积
（2）这个变化过程中，圆柱的体积与高 之间的关系式为_________.
（3）当由变化到时， 是怎样变化的？
解：当时， ；
当时， .
当由变化到时，由变化到 .
12.[2024·郑州期末] 近年来，付费自习室受到越来越多年轻人的青睐.下
表反映了某学员在某付费自习室的卡内余额（元）与自习天数 （天）
之间的关系：
自习天数 天 0 1 2 3 4 …
卡内余额 元 1 000 975 950 925 900 …
（1）在上述关系中，自变量是__________，因变量是__________；
自习天数
卡内余额
（2）直接写出该学员在该付费自习室的卡内余额（元）与自习天数
（天）之间的函数解析式；
解：与之间的函数解析式为（，且 为
整数）.
（3）若该学员持此卡在该付费自习室持续自学了30天，且期间没有充
值，则该学员的卡内余额为_____元.
250
解析式
函数值
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.
对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，b即为函数值.
函数解析式和函数值
课堂小结
谢谢观看！
