(共29张PPT)
19.2.1 正比例函数
（第2课时）
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解并掌握正比例函数的概念.
2.正确利用正比例函数的相关知识解决具体问题.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.下列函数关系式的自变量的取值范围是多少？
解： （1） y=3x 中自变量的取值范围是全体实数.
（1）y=3x； （2）y=； （3）y=
（2） y= 中自变量的取值范围是 x≠3.
（3） y= 中自变量的取值范围是 x≥-3.
知识回顾
2.点 A（3，a）在函数 y=x+5 的图象上，则 a 的值为（ ）.
A. 2 B. 8 C. -2 D. -8
B
解析：因为点 A（3，a）在函数 y=x+5 的图象上，所以 a=3+5=8. 故应该选 B.
3.小明买一罐可乐的价格为 3 元，买 x 罐需要花的总价为 y，则函数解析式为 .
4.当 y=3 时，函数 y=2x+1 中自变量 x 的取值为 .
y=3x
1
解析：当 y=3 时，3=2x+1，解得 x=1.
两个变量 x，y 成正比例，且比例系数是 k (k≠0)，你能写出 y 与 x 的关系式吗？
课堂导入
问题1 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1 318 km. 设列车的平均速度为 300 km/h. 考虑以下问题：
知识点：正比例函数的概念
新知探究
（2）京沪高铁列车的行程 y（单位：km）与运行时间 t（单位：h）之间有何数量关系？
(2)京沪高铁列车的行程 y 是运行时间 t 的函数：
y=300t（0≤t≤4.4）
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1 318300
4.4（h）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h 后，是否已经过了距始发站 1 100 km 的南京南站？
解：京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h 的行程，是当t=2.5 时函数 y=300t 的值，即 y=3002.5=750（km），
此时列车尚未到达距始发站 1 100 km 的南京南站.
思考 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化.
（2）铁的密度为 7.9 g/，铁块的质量 m（单位：g）随它的体积 V（单位：）的变化而变化.
l=2r
m=7.9V
（3）每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 的变化而变化.
（4）冷冻一个 0℃ 的物体，使它每分下降 2℃ ，物体的温度 T（单位：℃）随冷冻时间 t（单位：min）的变化而变化.
h=0.5n
T=-2t
上述问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
（1）l=2r ； （2）m=7.9V ；
（3）h=0.5n ； （4）T=-2t.
以上四个函数解析式有什么共同特点？这样的函数解析式怎么定义？
以上四个函数解析式都是常数与自变量的积的形式，这样的函数叫做正比例函数.
概念 ： 一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注意：
（1）正比例函数必须满足两个条件：
①比例系数k是常数，且k≠0；
②两个变量x, y的次数都是1.
（2）一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数，但在实际问题中，还要使实际问题有意义.
1.下列函数中，是正比例函数的是（ ）.
①y=;
②y= ;
③y=2x+3;
④y=5;
⑤y=8x.
A.①② B.②③ C.③④ D.②⑤
D
跟踪训练
新知探究
不是整式
不符合 y=kx（k≠0）的形式
自变量 x 的次数不是 1
符合 y=kx（k≠0）的形式
符合 y=kx（k≠0）的形式
2.判断下列式子是否为正比例函数，是正比例函数的请写出正比例系数.
（1）y=-3x;
（2）y=-3 ;
（3）y=-3x+2 ;
系数是 -3
不符合 y=kx（k≠0） 的形式
自变量 x 的次数不是 1
更多同类练习见RJ八下《教材帮》19.2.1-19.2.2节新知课
1. 下列各函数中，是 的正比例函数的是( )
A
A. B. C. D.
2.若函数是正比例函数，则 的值为( )
C
A. B.1 C. D.2
3.正比例函数 的比例系数是( )
D
A.1 B.3 C. D.
4.下面各组变量中，成正比例关系的是( )
C
A.人的身高与年龄
B.正方形的面积与它的边长
C.平行四边形的一条边长一定，面积和这条边上的高
D.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
5.[2024·湖北] 铁的密度为，铁块的质量（单位： ）与它
的体积（单位：）之间的函数关系式为.当
时，____ .
79
6. 列式表示下列问题中的与 的函数关系，并指出哪些
是正比例函数.
（1）长方形的周长为，长为，宽为 ；
解：与的函数关系式为 .
（2）某食堂每天用面粉，用面粉天数为天，用面粉总量为 .
解：与的函数关系式为 ，是正比例函数.
7.已知与成正比例，且时， .
（1）求关于 的函数解析式；
解：设 ，
把，代入，得，解得 ，
与的函数解析式为 .
（2）当时，求 的值.
解：把代入,得 .
8.若函数是关于 的正比例函数,则( )
A
A. B. C. D.
9.某种正方形合金板材的成本（元）与它的面积 成正比.设其边
长为，当时， .那么当成本为72元时，正方形合金板材
的边长为( )
A
A. B. C. D.
10.与成正比例，比例系数为，将表示成 的函数为_____
_____.
正比例函数
定义
注意
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
①比例系数 k 是常数，且 k≠0；
②两个变量 x，y 的次数都是1.
课堂小结
谢谢观看！(共35张PPT)
19.2.1 正比例函数
（第2课时）
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会画正比例函数的图象.
2.能根据正比例函数图象的规律探究正比例函数的性质.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
正比例函数：一般地，形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
注意：正比例函数必须满足两个条件：
①比例系数k是常数，且k≠0.
②两个变量x，y的次数都是1.
知识回顾
判断下列函数关系式是不是正比例函数.
① y= ；
② y=5x ；
③ y=(k1)x ；
④ y=2x1 ；
不是整式
只有当k-1≠0时才是
符合 y=kx（k≠0） 的形式
不符合 y=kx（k≠0） 的形式
表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.
按照横坐标由小到大的顺序，把所描的各点用平滑的曲线连接起来.
函数图象的画法分哪几步呢？
课堂导入
描点
列表
连线
在坐标系中,以自变量的值为横坐标,对应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点.
例1 画出下列正比例函数的图象.
(1)y=2x ; (2)y=x;
知识点：正比例函数的图象和性质
新知探究
(3)y= 1.5x; (4)y=-4x .
y=2x
如图，在直角坐标系中描出表中 x 和 y 的值对应坐标的点. 将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线. 它就是函数y=2x的图象.
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
解：(1)y=2x 中自变量 x 的取值范围是全体实数，选取 y 与x 的几组对应值.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 0 2 4 …
-4
(2)y= x 中自变量 x 的取值范围是全体实数，选取 y 与 x 的几组对应值.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 …
y=x
O
1
2
1
2
-2
-1
x
y
如图,在直角坐标系中描出表中x 和 y 的值对应坐标的点,将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线.它就是函数 y=x 的函数图象.
-1
y=-1.5x
O
1
2
3
4
-3
3
-4
-3
-2
-1
x
y
(3)y= 1.5x 中自变量 x 的取值范围是全体实数，选取 y 与 x 的几组对应值.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 3 1.5 0 -1.5 -3 …
如图，在直角坐标系中描出表中 x 和 y 的值对应坐标的点，将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数 y=-1.5x 的函数图象.
(4)y= 4x 中自变量 x 的取值范围是全体实数，选取y 与 x 的几组对应值.
x … -1 -0.5 0 0.5 1 …
y … 4 2 0 -2 -4 …
y=-4x
O
1
2
2
4
-2
-1
x
y
-4
-2
如图，在直角坐标系中描出表中x 和 y
的值对应坐标的点，将这些点连接起
来，得到一条经过原点和第二、第四象
限的直线，它就是函数 y=-4x 的函数图象.
以上 4 个函数的图象都是经过原点的直线.
其中函数y=2x 和 y=x 的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；
函数 y= 1.5x 和 y= 4x 的图象经过第二、
第四象限，从左向右下降.
1.正比例函数的图象:一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
通过上述结论，你能归纳出正比例函数图象的定义和性质吗？
2.正比例函数图象的性质
当k>0时，直线 y=kx 经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；
当k<0时，直线 y=kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着 x 的增大 y 反而减小.
注意：正比例函数图象的位置和函数的增减性只与 k 的正负有关.
思考 画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
3.正比例函数图象的画法：因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx（k≠0）的图象.一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数y=kx（k≠0）的图象.
1. 正比例函数 y = (k2)x 的图象如图所示，则 k 的取值范围是（ ）.
A. k>0 B. k<0 C. k>2 D. k<2
D
x
y
O
跟踪训练
新知探究
k2<0
经过第二、第四象限
2.直线 y=(+3)x 的图象经过哪些象限？y 随 x 的增大怎样变化？
解：因为函数 y=(+3)x 中，+3>0 在任意实数范围内都成立，所以函数图象经过第三、第一象限，且 y 随着 x 的增大而增大.
1.下列图象中，表示函数 y= x 的图象的是（ ）.
x
y
O
A
x
y
O
x
y
O
x
y
O
B
C
D
C
随堂练习
2.函数 y=-5x 的图象经过（ ）.
A. 第一、第二象限 B. 第一、第三象限
C. 第二、第四象限 D. 第三、第四象限
C
解析：函数 y=-5x 中的 k=-5<0，所以函数经过第二、第四象限.
3.正确填写下列各空.
（1）函数y=3x的图象经过第 、 象限，经过点（0， ）和点（ ，3），y随x的增大而 .
三
一
0
1
增大
（2）函数y=-2x的图象经过第 、 象限，经过点（0， ）和点（-1， ），y随x的增大而 .
二
四
0
2
减小
1.正比例函数 的大致图象是( )
B
A. B. C. D.
2.[.2024·德阳] 正比例函数 的图象如图
所示，则 的值可能是( )
A
A. B. C. D.
3.若经过原点和点可以画出直线，则点 的坐标可能是( )
A
A. B. C. D.
4.[2024·唐山路南区月考] 已知正比例函数 ，下列结论正确的是
( )
C
A.图象是一条射线 B.图象必经过点
C.图象经过第一、三象限 D.随 的增大而减小
5.在正比例函数中，函数的值随 值的增大而增大，则点
在( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.[2024·北京西城区期中] 点，都在正比例函数
的图象上，则与 的大小关系为( )
B
A. B. C. D.无法确定
7. 若正比例函数是常数， 的图象经过
第一、第三象限，则 的值可以是_________________（写出一个即可）.
1（答案不唯一）
8.[2024·上海] 若正比例函数的图象经过点，则 的值随
的增大而______.（填“增大”或“减小”）
减小
9. 已知函数： ;
;; .
（1）在如图所示的平面直角坐标系中用你
认为最简单的方法画出各函数的图象.
解：图略.
（2）观察这些函数的图象可以发现，随着的增大，直线与 轴所夹
的锐角有何变化（ 指比例系数）？
解：观察这些函数的图象可以发现，随着的增大，直线与 轴所夹的
锐角越来越小.
（3）猜想函数①和④的图象的位置关系.
解：函数①和④的图象互相垂直.
10.在函数中，随 的增大而减小，则下列各点不可能在
该函数图象上的是( )
A
A. B. C. D.
11.若函数 是正比例函数，且图象经过第二、四象限，
则 的值是( )
A
A. B.2 C. D.3
12. 如图表示光从空气进入
水中前与入水后的光路图，若按图象建立平面直角
坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的解析
式分别为，，则关于与 的关
系，正确的是( )
D
A.， B.，
C. D.
正比例函数
图象
性质
一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
与比例系数k的正负有关
画法
一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数y=kx（k≠0）的图象.
课堂小结
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