(共32张PPT)
19.2.2 一次函数
（第1课时）
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系.
2.会根据实际问题列出一次函数的解析式.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.正比例函数的图象 一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
2.正比例函数图象的性质 当k>0时，直线 y=kx 经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；当k<0时，直线 y=kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着 x 的增大 y 反而减小.
知识回顾
3.正比例函数图象的画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx（k≠0）的图象.一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即是正比例函数y=kx（k≠0）的图象.
某登山队大本营所在地的气温为 5℃，海拔每升高
1 km 气温下降 6℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. 试用函数解析式表示 y 与 x 的关系.
课堂导入
你知道 y 关于 x 的函数解析式是什么函数关系吗？
分析：y 随 x 变化的规律为从大本营向上，当海拔增加 x km 时，气温从 5℃ 减少 6x ℃.
函数解析式为：y=5-6x，也可以写作 y=-6x+5.
当登山队员由大本营向上登高 0.5 km 时，他们所在位置的气温就是当 x=0.5 时函数 y=-6x+5 的值，即 y=-6×0.5+5=2(℃)
知识点：一次函数的概念
新知探究
函数解析式 y=-6x+5是正比例函数吗？
函数解析式 y=-6x+5 不是正比例函数，因为不满足正比例函数的概念，正比例函数为 y=kx（k是常数，k≠0）.
思考 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）有人发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分鸣叫次数 c 与温度 t（单位：℃）有关，即 c 的值约是 t 的 7 倍与 35 的差.
（2）一种计算成年人标准体重 G（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高值 h，再减常数 105，所得的差是G 的值.
c=7t-35（20≤t≤25）
G=h-105
（3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费 22 元和拨打电话 x min 的计时费（按 0.1元/min 收取）.
（4）把一个长 10 cm、宽 5 cm 的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积 y（单位：）随 x 的变化而变化.
y=0.1x+22
y=-5x+50（0≤x<10）
上述问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
（1）c=7t-35（20≤t≤25）; （2）G=h-105;
（3）y=0.1x+22 ; （4）y=-5x+50（0≤x<10）.
这些函数解析式有哪些共同特征？
（1）c=7t-35（20≤t≤25）;
（3）y=0.1x+22;
（4）y=-5x+50（0≤x<10）.
（2）G=h-105;
-35，-105，22，50 看作“b”
可将c，G，y，y 看作“y”；
7，1，0.1，-5 看作“k”；
t、h、x、x 看作“x”；
以上四个函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式，这样的函数叫做一次函数.
一次函数 一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.当 b=0 时，y=kx+b 即 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注意：一次函数y=kx+b(k≠0)有三个特征:①k≠0;
②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数.
正比例函数是特殊的一次函数，即正比例函数都是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
正比例函数与一次函数有什么关系呢？一次函数是正比例函数吗？
1. 下列函数哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1）y=-4x; （2）y=-; （3）y=2;
解：（4）,（5）是一次函数；（1）,（6）是正比例函数.
（4）y=-x+3; （5）y=2(x+1); （6）y=(x+2)-1;
跟踪训练
新知探究
否
恒等变形
是
b =0
等号两边是否为整式
是否具有y=kx+b
(k,b是常数,k≠0)的形式
一次函数
正比例函数
是
否
不是一次函数
判断一个函数是否为正比例函数或一次函数的方法
2.下列说法正确的是（ ）.
A. 正比例函数是一次函数
C. 一次函数是正比例函数
B. 正比例函数不是一次函数
D. 不是正比例函数就不是一次函数
A
1.下列式子中是一次函数的是（ ）.
A. y = 2+5
D. y = 2
C
随堂练习
B. y =
C. y = 2(x-2)+5
不是整式
k=0
自变量 x 的次数不是 1
y = 2(x-2)+5 =2x+1,符合y= kx+b (k,b 是常数,k≠0)的形式
分析：当是正比例函数时，k-1≠0 且 1=0；
当是一次函数时，k-1≠0 即可.
2.正确填写下列各空.
已知函数 y = (k-1)x+k+1，当k= 时，它是正比例函数；当k 时，它是一次函数.
-1
≠1
3.下列说法正确的是（ ）.
B
A. 已知 y=kx+b，则 y 是 x 的一次函数.
C. 已知 y=k(x-1)+k，则 y 不是 x 的一次函数.
B. 已知 y 与（x-1）成正比例，则 y 是 x 的一次函数.
D. 正比例函数跟一次函数无关系
未说明k≠0时
y=k(x-1)=kx-k
y=k(x-1)+k=kx
1.下列函数是一次函数的是( )
A
A. B. C. D.
2.已知函数是关于的一次函数，则 的取值范围是
( )
B
A. B. C. D. 为任意实数
3.下列说法不正确的是( )
C
A.正比例函数是一次函数的特殊形式
B.一次函数不一定是正比例函数
C. 是一次函数
D. 是正比例函数
4. 在下列函数中，是自变量， 是因变量，则一次函数
有________，正比例函数有______.（填序号）
；；； .
①③④
①③
5. 已知一次函数，当时， ;当
时，，则____, ____.
6.写出下列各题中与之间的函数解析式，并判断是不是 的正比例函
数,是不是 的一次函数.
（1）已知地面气温是,若高度每升高,气温会下降 ,则气温
与高度 的关系；
解：是的一次函数,但不是 的正比例函数.
（2）圆的面积与半径 的关系.
解：,不是的正比例函数，也不是 的一次函数.
7.如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是 ，水面面积是
.现向容器内注水，并同时开始计时.在注水过程中，水面高度
以每秒的速度匀速增加.容器注满水之前，容器内水面的高度 、
注水量随对应的注水时间的变化而变化，则与，与 满足的函数关
系分别是( )
C
A.正比例函数关系，正比例函数关系
B.正比例函数关系，一次函数关系
C.一次函数关系，正比例函数关系
D.都无法确定
8.已知函数，当______时，它为一次函数；当
_____时，它为正比例函数.
9.将若干张长为,宽为 的
矩形白纸按如图所示的方法粘合后
得到一个大矩形,粘合部分的宽是
（1）求与之间的函数解析式，并判断是不是 的一次函数.
解：张白纸粘合,需粘合次,粘合部分的总宽是 ,故
是 的一次函数.
（2）当时，求 的值.
解：当时, .
,设（且是整数）张白纸粘合后的总长度为 .
（3）白纸粘合后的总长度能为 吗？为什么？
解：不能.理由如下:把代入 ，
得,解得 .
为整数， 白纸粘合后的总长度不能为 .
一次函数
定义
注意
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
正比例函数是特殊的一次函数.
课堂小结
谢谢观看！(共35张PPT)
19.2.2 一次函数
（第2课时）
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会画一次函数的图象，并能观察出一次函数图象和正比例函数图象的异同.
2.会根据一次函数图象的性质解决实际问题.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
一次函数 一般地，形如 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数. 当 b=0 时，y=kx+b 即是 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
知识回顾
注意：1.一次函数y=kx+b(k≠0)有三个特征:①k≠0;
②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数.
2.正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
判断下列函数关系式是不是一次函数.
①y=kx+5;
②y=+x;
③y=(k+3);
④y=x;
不是整式
缺少条件k≠0
自变量 x 的次数不是 1
符合y= kx+b (k,b 是常数,k≠0)的形式
思考 我们知道正比例函数是特殊的一次函数，而正比例函数的图象是一条经过原点的直线，那么一次函数的图象会不会也是一条直线？是否也经过原点？一次函数的图象又具有哪些性质？
课堂导入
例1 画出函数 y=-6x+5 ，y=-6x ，y=-6x-5 的图象.
知识点1：一次函数图象及画法
新知探究
分析：三个函数 y=-6x+5 ，y=-6x ，y=-6x-5 的自变量的取值范围是全体实数.列表表示几组对应值.
y
x
O
y=-6x+5
y=-6x-5
y=-6x
5
-5
1
-1
x -1 -0.5 0 0.5 1
y=-6x+5 11 8 5 2 -1
y=-6x 6 3 0 -3 -6
y=-6x-5 1 -2 -5 -8 -11
仔细观察图中三个函数的图象，看看你能发现什么？
思考 根据图象的观察结果正确填写下列各空格.
（1）这三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜的程度 ；
（2）函数y=-6x的图象经过原点，一次函数y=-6x+5的图象与y轴的交点坐标是 ，可以看作是由直线y=-6x向 平移 个单位长度得到的；一次函数y=-6x-5的图象与y轴的交点坐标是 ，可以看作是由直线y=-6x向 平移 个单位长度得到的.
直线
相同
（0，5）
上
5
（0，-5）
下
5
（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx（k≠0）互相平行；
（3）直线y=kx+b（k≠0）可以看作是直线y=kx（k≠0）平移个单位长度得到的，当 b>0 时，表示向上平移 b 个单位长度；当 b<0 时，表示向下平移 b 个单位长度.
（1）一次函数的图象是一条直线；
联系上面结果，你能总结出什么吗？
1.一次函数的图象 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
2.一次函数的图象与正比例函数的图象的关系
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以由直线y=kx（k≠0）沿 y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移 个单位长度得到.
（1）两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y=kx+b（k，b是常数，k≠0）与两坐标轴的交点，即（0，b）与（-，0）画直线.
x
y
O
y=kx+b
(0，b)
(-， 0)
3.一次函数图象的画法
（2）平移法：一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是由直线 y=kx 沿 y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移 个单位长度得到的，反之，直线 y=kx 也可以通过沿 y 轴平移直线 y=kx+b 得到.
x
y
O
y=kx
分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它们.
例2 画出函数 y=2x-1 与 y=-0.5x+1 的图象.
过点(0，-1)与点(1，1)画出
直线 y=2x-1；
过点(0，1)与点(1，0.5)画出直线 y=-0.5x+1.
y=2x-1
y=-0.5x+1
x 0 1
y=2x-1 -1 1
y=-0.5x+1 1 0.5
解：列表表示当 x=0，x=1 时两个函数的对应值.
探究 画出函数 y=x+2 和 y=-x+2 的图象.由它们联想：一次函数解析式 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中 ，k 的正负对函数图象有什么影响？
y=x+2与坐标轴的交点坐标分别为(0，2)和(-2，0) ；
y=-x+2与坐标轴的交点坐标分别为(0，2)和(2，0).
知识点2：一次函数的性质
新知探究
y=x+2的函数图象从左向右上升，y 随 x 的增大而增大；y=-x+2的函数图象从左向右下降，y 随 x 的增大而减小.
y=-x+2
y=x+2
一次 函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）
k,b的符号 k>0 k<0
b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0
图象
性质
经过的象 限
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
一、二、三
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
1. 在直角坐标系中，函数 y=-5x+3 的图象经过（ ）
A. 一、二、三象限
C. 二、三、四象限
B. 一、二、四象限
D. 一、三、四象限
B
-5<0，经过第二、四象限；3>0，经过y的正半轴.
跟踪训练
新知探究
2.下列关于一次函数 y=3x-1与 x 轴、y 轴的交点，y 随着 x 的增大的变化情况叙述正确的是（ ）
A. （0，1），（，0）、增大
C. （0，1），（，0）、减小
B. （0，-1），（，0）、增大
D. （0，-1），（，0）、减小
B
1.已知函数 y=(m+2)x-n 的图象经过第一、第二、第三象限，求 m，n 的取值范围.
解：因为函数 y=(m+2)x-n 的图象经过第一、第二、第三象限，
所以 m+2>0，-n>0，解得 m>-2，n<0.
随堂练习
2. 填空.
已知直线y=4x+1，它是由直线y=4x向 平移 个单位长度得到的；
1
上
已知直线y=x，将它向下平移3个单位长度得到的直线是 ；
向上平移5个单位长度得到的直线是 .
y=x-3
y=x+5
1.一次函数 的大致图象是( )
C
A. B. C. D.
2.一次函数 的图象不经过( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.将直线 向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为( )
D
A. B. C. D.
4.[2024·武汉洪山区期末] 下列一次函数中，随 的增大而减小的函数
是( )
D
A. B. C. D.
5. 对于一次函数 ，下列结论正确的是( )
A
A.它的图象与轴交于点 B.随 的增大而减小
C.当时， D.它的图象经过第一、二、三象限
6.[2024·上海闵行区期中] 如果一次函数的函数值 随
的增大而减小，那么 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
7.[2024·青海] 如图，一次函数 的图象与
轴相交于点，则点关于 轴的对称点是( )
A
A. B. C. D.
8.若直线是由直线平移得到的，则
____,即直线沿 轴向____平移了___个单位长度得到直线
.
上
3
9. 请写出同时满足以下两个条件的一个函数：
____________________________.
①随着 的增大而减小；
②函数图象与 轴正半轴相交.
（答案不唯一）
10.[2024·镇江] 点，在一次函数 的图象上，
则___（用“ ”“”或“ ”填空）.
一次函数图象及画法
图象
画法
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
①两点法：两点确定唯一一条直线.②平移法：由直线y=kx向上或向下平移.
课堂小结
一次函数的性质
k>0
k<0
①b>0，经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；
②b<0，经过一、三、四象限，y随x的增大而增大；
①b>0，经过一、二、四象限，y随x的增大而减小；
②b<0，经过二、三、四象限，y随x的增大而减小；
谢谢观看！(共32张PPT)
19.2.2 一次函数
（第3课时）
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.掌握用待定系数法求函数解析式的方法.
2.会熟练运用待定系数法在函数的实际应用中.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
一次函数 一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数. 当 b=0 时，y=kx+b 即 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的图象 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
知识回顾
已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（-1，2），求这个正比例函数的解析式.
解：∵正比例函数 y=kx（k≠0）经过点（-1，2）,
∴-k=2，解得 k=-2.
∴这个正比例函数的解析式为 y=-2x.
思考1 确定正比例函数解析式 y=kx（k≠0），需要求出几个值？需要知道几个条件？
需要求出 k 的值，知道 1 个条件即可.
课堂导入
正比例函数解析式 y=kx（k≠0）中 x, y 分别代表自变量和函数值，只要求出 k 的值即可确定正比例函数解析式.
思考2 确定一次函数解析式 y=kx+b（k≠0），需要求出几个值？需要知道几个条件？
需要求出 k，b 的值，知道 2 个条件即可.
一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中x，y分别代表自变量和函数值，只要求出k ，b的值即可确定一次函数解析式.
那么该采取什么方法确定函数解析式呢？
小结：在确定函数解析式的时候，需要求出几个系数的值，就需要知道几个条件.
例4 已知一次函数的图象经过点(3，5)与(-4，-9)，求这个一次函数的解析式.
知识点：待定系数法求一次函数解析式
新知探究
分析：求一次函数 y=kx+b 的解析式，关键是求出 k，b 的值.从已知条件可以列出关于
k ，b 的二元一次方程组，并求出 k ，b.
这两点的坐标适合解析式
解：设这个一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0）
∵ y=kx+b 的图象过点（3，5）与（-4，-9）,
3k+b=5,
-4k+b=-9,
∴
∴ 这个一次函数的解析式为 y=2x-1.
k=2,
b=-1,
解得
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.
由上面的例题你能归纳出求函数解析式的方法吗？
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线 l
选取
解出
选取
画出
从数到形
从形到数
设出一次函数的解析式 y=kx+b（k≠0）
解所列的方程组，求出k ，b的值
列
设
解
将已知的两组x，y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k ，b的二元一次方程组
用待定系数法求一次函数解析式的步骤
将求出的k ，b的值代入所设解析式中，得到所求一次函数的解析式
代
一次函数应用的两种类型：
（1）题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解.
（2）题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格和图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质求解.
知识点2：一次函数的简单应用
新知探究
注意：应用一次函数解决实际问题的关键是：
（1）确定函数与自变量之间的解析式；
（2）确定实际问题中自变量的取值范围，即实际问题的答案要符合实际情况.
例5 “黄金1号”玉米种子的价格为 5 元/kg，如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg 部分的种子价格打 8 折.
（1）填写表：
购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
付款金额/元
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
（2）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.
分析：付款金额与种子价格相关，问题中种子价格不
是固定不变的，它与购买量有关.设购买 x kg 种子，当 0≤x≤2 时，种子价格为 5元/kg；当 x＞2 时，其中有 2 kg 种子按 5元/kg 计价，其余的（x-2）kg(即超出 2 kg 部分)
种子按 4元/kg（即8折）计价.因此，写函数解析式与画
函数图象时，应对 0≤x≤2 和 x＞2 分段讨论.
（2）设购买量为 x kg，付款金额为 y 元.
当 0≤x≤2 时，y=5x.
当 x＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2.
函数图象如图所示.
y 与 x 的函数解析式也可以合起来表示为
（1）一次购买 1.5 kg 种子，需付款多少元？
（2）一次购买 3 kg 种子，需付款多少元？
1.55=7.5(元).
34+2=14(元).
7.5
14
思考 你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些问题吗？
1.已知一个正比例函数的图象过点 ，则该函数的解析式是( )
C
A. B. C. D.
2. 已知一次函数的图象经过， 两
点，则， 的值分别为( )
B
A.， B.1，2 C.， D.2，1
3.已知一次函数的图象与直线平行，且过点 ，那么此一
次函数的解析式为( )
C
A. B. C. D.
4.下表中是某个一次函数的自变量与函数 的三组对应值，则这个一次
函数的解析式为( )
1 2
3 0
A
A. B. C. D.
5.已知一次函数，当时， ，且它的图象与
轴交点的纵坐标是 ，那么该函数的解析式为___________.
6.[2024·泰州模拟] 如图，一次函数的图象经过 ，
两点，交轴于点，则 的面积为___.
9
[解析] 点拨：将,的坐标分别代入 ，
得解得
直线的解析式为 .
当时，，解得 ，
点的坐标为， ，
.
7.如图，直线是一次函数 的图象.
（1）求直线 的解析式；
解：把，代入，得解得
直线的解析式为 .
（2）如果直线向上平移3个单位长度后，经过点，求 的值.
解：直线 向上平移3个单位长度后得到的直线的解析式为
,
平移后的直线经过点， .
8. 如图，某物理兴趣小组在研究
光的镜面反射时，为了更加直观地显示光的反射规
律，于是把光的入射与反射路径画在了平面直角坐
标系中，一束光线从点出发，经 轴上的点
反射，沿射线 方向反射出去，则反射光线
所在直线的函数解析式是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 点拨：如图，由题意知,反射光线 上必有一
点与点A关于直线对称,易得该点坐标为 .
设反射光线所在直线的解析式为 ,
将,代入，得
解得
.
一次函数
求一次函数解析式
应用
待定系数法
①设；②列；③解；④代.
①已知一次函数解析式
②题目中未给出一次函数解析式
课堂小结
步骤
谢谢观看！
