(共30张PPT)
19.2.3 一次函数与方程、不等式
（第1课时）
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解一次函数与一元一次方程的关系.
2.会根据一次函数图象求解一元一次方程.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
解下列一元一次方程：
（1）3x+1=0;
（2）5y-2=3;
解：3x+1=0
3x=-1.
x=-.
解：5y-2=3
5y=2+3.
y=1.
知识回顾
5y=5
解下列一元一次方程：
（3）
（4）3(y-2) +1=2y
解：
2(2x+1)-3x=6，
4x-3x=6-2,
x=4.
解：3(y-2) +1=2y
3y-6+1=2y，
3y-2y=6-1,
y=5.
下面 3 个方程有什么共同点和不同点？
(1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1.
不同点：等号右边不同
相同点：等号左边都是 2x+1.
课堂导入
你能从函数的角度对解这 3 个方程进行解释吗？
(1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1.
这三个方程相当于在一次函数 y=2x+1 的函数值分别为 3，0，-1 时，求自变量 x 的值.
还能怎么解释呢？
也可以看成在直线 y=2x+1 上取纵坐标分别为 3，0，-1 的点，看它们的横坐标分别为多少.
y=2x+1
(1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1.
你能从函数的角度对解这 3 个方程进行解释吗？
P
思考 观察函数 y=x+3 的图象，并确定它与 x 轴的交点坐标.
y=x+3
直线 y=x+3与 x 轴交点坐标为(-3，0)，说明方程 x+3=0的解是 x=-3.
知识点1：一次函数与一元一次方程的关系
新知探究
1.从“数”上看
函数 y=kx+b（k≠0）中，当 y=0时，x 的值.
方程 kx+b=0（k≠0）的解.
2.从“形”上看
函数 y=kx+b（k≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标.
方程kx+b=0（k≠0）的解.
y=2x-2
思考 观察下列函数图象，你能说出一元一次方程的解吗？
y=-x-2
知识点2：利用一次函数图象解一元一次方程
新知探究
一元一次方程-x-2=0
的解为 x=-2.
y=-x-2
y=2x-2
一元一次方程2x-2=0
的解为 x=1.
利用一次函数的图象解一元一次方程kx+b=0的步骤：
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数.
（2）画图象：画出一次函数的图象.
（3）找交点：找出一次函数图象与 x 轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解.
拓展：
方程 kx+b=n (k≠0) 的解 函数 y=kx+b (k≠0) 中，
y=n 时 x 的值.
方程 kx+b=n (k≠0) 的解 函数 y=kx+b (k≠0) 的图象与直线 y=n 的交点的横坐标.
1.已知一元一次方程 ax+b=0 的解为 x=4，则一次函数 y=ax+b的图象与 x 轴的交点坐标为 .
解：∵ 一元一次方程 ax+b=0 的解为 x=4,
∴ 当 x=4 时，一次函数 y=ax+b 的函数值为 0,
∴ 一次函数图象与 x 轴的交点坐标为（4，0）.
（4，0）
跟踪训练
新知探究
2.已知一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为
（-3，0），则一元一次方程 kx+b=0 的解为 .
解：∵ 一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为（-3，0），
∴ 当 x=-3 时，一次函数 y=kx+b 的函数值为0，
∴ x=-3 为kx+b=0 的解.
x=-3
1.如图，若一次函数 y=kx+b 的图象经过点（2，0）和（0，-3），则方程 kx+b=0 的解为（ ）
A. x=0 B. x=2
C. x=-3 D. 不能确定
B
随堂练习
方程kx+b=0（k≠0）的解是函数 y=kx+b（k≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标.
2.一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则方程 kx+b=0 的解为 ，方程 kx+b=2 的解为 .
x=-1
x=0
直线 y=kx+b 与 x 轴的交点的横坐标
直线 y=kx+b 与直线 y=2交点的横坐标
3.利用图象法解方程 6x-3 = x+2.
解：将方程 6x-3=x+2 变形为 5x-5=0，
画出函数 y=5x-5 的图象.
由图象可知，直线 y=5x-5 与 x 轴的
交点为（1，0）
即 x=1 是方程的解.
y
x
O
1
-5
1.[2024· 广州白云区期末] 若是方程 的解，则直线
与 轴交点的坐标为( )
A
A. B. C. D.
2.已知一次函数，为常数,的与 的部分对应值如
下表：
0 1 2 3
6 4 2 0
那么关于的方程 的解是( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
3.[2024· 深圳南山区期中] 函数
，为常数，的图象如图所示，则关于
的不等式 的解集为( )
D
A. B. C. D.
4.[2024· 黄冈期末] 如图，已知直线，则关于 的方程
的解是( )
C
（第4题）
A. B. C. D.
（第5题）
5.如图，直线经过点，则关于 的不
等式 的解集是( )
B
A. B. C. D.
（第6题）
6.如图，直线经过， 两点，
则关于的不等式 的解集为( )
C
A. B. C. D.
7.[2024·广东] 已知不等式的解集是 ，则一次函数
的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
8.[2024·扬州] 如图，已知一次函数的图象分别与 ，
轴交于点，，若，，则关于的方程 的解
为________.
（第8题）
关系
利用一次函数图象解一元一次方程
①从“数”上看；
②从“形”上看.
①转化；
②画图象；
③找交点.
课堂小结
一次函数与一元一次方程
谢谢观看！(共34张PPT)
19.2.3 一次函数与方程、不等式
（第2课时）
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解一次函数与一元一次不等式的关系.
2.会根据一次函数图象求解一元一次不等式.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.解下列一元一次不等式：
（1）3x+1>0；
（2）5y-2≤3.
解：3x+1>0,
3x>-1,
x>-
解：5y-2≤3,
5y ≤ 5,
y≤1.
知识回顾
2.利用函数图象解方程：5x-1=2x+8.
解：将方程 5x-1=2x+8 变形为 3x-9=0
画出函数 y=3x-9 的图象.
由图象可知,直线 y=3x-9 与 x 轴的
交点为（3，0）,
即 x=3 是方程的解.
y
x
O
3
-9
y=3x-9
方程kx+b=0的解是函数 y=kx+b的图象与 x 轴交点的横坐标.
解一元一次不等式：3x+2>0.
当自变量x的值为多少时，一次函数y=3x+2的函数值大于0？
课堂导入
解一元一次不等式：3x+2<0.
当自变量x的值为多少时，一次函数y=3x+2的函数值小于0？
解一元一次不等式：kx+b>0(k≠0)， kx+b<0(k≠0).
当自变量x的值为多少时，一次函数y=kx+b的函数值大于0，小于0？
仔细观察以上三组例子，你能发现什么？
从以上三组例子可以看出：每一组看似是两个问题，其实结果一样，只是表达方式不一样.我们分别比较解一元一次不等式和判断一次函数的函数值的正负性，探究二者之间的关系.
知识点：一次函数与一元一次不等式的关系
新知探究
根据一次函数 y=4x+2 的函数图象可以看出，当 x>- 时，直线上的点都在x 轴的上方，也即说明此时 y=4x+2>0.
所以一元一次不等式4x+2>0的解集为x>-.
y
x
O
2
-
y=4x+2
根据一次函数 y=4x+2 的函数图象可以看出，当 x<- 时，直线上的点都在x 轴的下方，也即说明此时 y=4x+2<0.
所以一元一次不等式 4x+2<0 的解集为x<-.
y
x
O
2
-
y=4x+2
因为任何一个以 x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为 kx+b>0（k≠0）或 kx+b<0（k≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作是求一次函数 y=kx+b 的函数值大于 0 或小于 0 时，自变量 x 的取值范围.
1.从“数”的角度来看
不等式 kx+b>0（k≠0）的解集.
在函数 y=kx+b（k≠0）中，当 y>0 时 x 的取值范围.
不等式 kx+b<0（k≠0）的解集.
在函数 y=kx+b（k≠0）中，当 y<0 时 x 的取值范围.
2.从“形”的角度来看
不等式 kx+b>0（k≠0）的解集.
直线 y=kx+b（k≠0）在
x 轴上方的部分所对应的 x 的取值范围.
不等式 kx+b<0（k≠0）的解集.
直线 y=kx+b（k≠0）在
x 轴下方的部分所对应的 x 的取值范围.
P
y
x
O
y1=k1x+b1
y2=k2x+b2
拓展
直线 y1=k1x+b1 与直线y2=k2x+b2 的交点的横坐标即
是方程 k1x+b1=k2x+b2的解；
不等式 y1>y2（或 y1解集就是直线 y1=k1x+b1 在
直线 y2=k2x+b2上（或下）方
部分对应的 x 的取值范围.
1.根据下列一次函数的图象，直接写出一元一次不等式的解集.
（1）一元一次不等式 x+1>0 的解集为： .
（2）一元一次不等式 x+1<0 的解集为： .
x>-2
x<-2
y
x
O
1
-2
y=x+1
跟踪训练
新知探究
2.函数 y=-x+3 的图象如图所示，请正确填写以下空格.
（1）当x取 时，函数图象在x 轴下方.
（2）当x取 时，函数图象在x 轴上方.
x>3
x<3
y
x
O
3
3
y=-x+3
1.已知函数 y=2x+3，当 x= 时，函数的值为 0；
当x 时，函数的值 >0；当 x 时，函数的值 <0.
-
>-
<-
解析：当函数的值为0时，即 y=2x+3=0，解得 x=-；当函数的值 >0时，也即 y=2x+3 > 0，解得 x > -；当函数的值 <0时，也即 y=2x+3 < 0，解得 x < -.
随堂练习
2.如图所示，直线 l1 ：y=x+6 与直线 l2 ：y=-x-2 交于点 P（-2，3），不等式 x+6 > -x-2 的解集是（ ）.
C. x<-2
A
D. x≤-2
A. x>-2
B. x≥-2
解析:不等式 x+6 > -x-2的解集就是直线
l1 在直线 l2上方部分对应的 x 的取值范围.
注意：不要弄错交点两侧直线的位置关系
1.下列图象中，直线上每个点的坐标都是二元一次方程 的解
的是( )
B
A. B. C. D.
2.已知直线与交于点 ，则方程组
的解是( )
A
A. B. C. D.
3.若直线与的交点坐标为，则解为
的方程组是( )
C
A. B.
C. D.
4.[2024·佛山三水区期中] 如图，直线
与相交于点，若点的横坐标为 ，
则关于的不等式 的解集是( )
B
A. B. C. D.
5.点在直线上，坐标 是二元一次方程
的解，则点 在( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6. 当函数与 的值相等时，其自变
量 的值是____.
7.[2024·重庆长寿区期末] 如图，已知一次函数
与正比例函数 的图象
相交于点，则关于的不等式
的解集是______.
[解析] 点拨：在的图象上， ，
解得，即点 的横坐标为1，
由题图可得关于的不等式的解集是 .
8.如图，直线经过点， .
（1）求直线 的解析式；
解： 直线经过点， ，
解得
直线的解析式为 .
（2）求直线与直线的交点 的坐标；
解：解方程组得
点的坐标为 .
（3）根据图象，直接写出关于的不等式组 的解集.
解： .
9.已知直线与直线的交点在第四象限，则 的
取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 点拨：联立方程组解得
直线与直线 的交点在第四象限，
解不等式①得，解不等式②得 ，
的取值范围是 .
（第10题）
10.若函数和 的图象如图所示，则
关于的不等式 的解集是( )
B
A. B. C. D.
一次函数与一元一次不等式
关系
步骤
①从“数”的角度；
②从“形”的角度.
①解出一次函数图象与x轴的交点的横坐标；
②判断两个一次函数图象的位置关系
课堂小结
谢谢观看！
