19.3 课题学习 选择方案 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
19.3 课题学习 选择方案
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会建立实际问题的数学模型，将实际问题转化为数学问题.
2.会综合运用一次函数的图象和性质、方程（组）和不等式（组）等知识解决方案设计问题.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
做一件事情，有时有不同的实施方案.比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的.在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数.
让我们一起学习如何运用一次函数选择最佳方案吧！
课堂导入
问题1 怎样选取上网收费方式？
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min)
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限时
下表中给出A，B，C三种上宽带网的收费方式.
选择哪种方式能节省上网费用？
新知探究
思考1 上表中哪些方式上网费用是变化的，哪些是不变的？
思考2 A，B 方式中上网费用是怎样构成的？
解：A，B 方式的上网费用是随着时间的变化而变化的，C 方式的上网费用是不变的.
解：A, B 方式的上网费用是由月使用费用 + 超时费用构成的.
思考3 设上网时间为 x h，则 A, B, C三种方式的上网费用分别为 y1, y2 , y3,其中y1, y2都是关于 x 的函数，比较以上三种方式哪种方式更优惠应该怎么比较？
分析：x 代表上网时间，则需要比较在 x>0 的范围内，
y1, y2 , y3的大小关系，费用最少的，即为最优惠的.
解：从表中可以看出：当 0≤x≤25 时， y1=30.
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min)
A 30 25 0.05
当 x>25 时， y1=30+0.0560(x-25)=3x-45.
30, (0≤x≤25)
3x-45, (x>25)
A 方式的函数解析式为： y1=
从表中可以看出：当 0≤x≤50 时， y2=50.
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min)
B 50 50 0.05
当 x>50 时， y2=50+0.0560(x-50)=3x-100.
50, (0≤x≤50)
3x-100, (x>50)
B 方式的函数解析式为： y2=
从表中可以看出：C方式无论上网时间多久，每月只用交一次费用即可.
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min)
C 120 不限时
C 方式的函数解析式为： y3= 120 (x≥0)
在同一坐标系中分别画出A, B, C三种方式的函数图象，并进行比较：
从图中可以看出：在直线 l1的左侧，A 方式最省钱.
A 方式和 B 方式在直线 l1上有交点，此时有
3x-45=50，解得 x=31.
0
30
50
25
50
120
y1
x
上网时间/h
y
上网
费用/元
l1
y3
y2
l2
从图中可以看出：在直线 l1和直线 l2 之间，B 方式最省钱.
B 方式和 C 方式在直线 l2 上有交点，此时有 3x-100=120，解得 x=73.
0
30
50
25
50
120
y1
x
y
l1
y3
y2
l2
上网
费用/元
上网时间/h
从图中可以看出：在直线 l2
的右侧，C 方式最省钱.
0
30
50
25
50
120
y1
x
y
l1
y3
y2
l2
上网
费用/元
上网时间/h
（1）当上网时间为 0≤ x ≤ 31 时，选择A方式最省钱；
（2）当上网时间为 31< x ≤ 73时，选择B方式最省钱；
（3）当上网时间 x >73 时，选择C方式最省钱.
问题2 怎样租车？
甲种客车 乙种客车
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
某学校计划在总费用 2 300 元的限额内，租用汽车送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有 1 名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：
思考1 租车方案有哪几种？
解：①单独租用甲种客车；
②单独租用乙种客车；
③同时租用甲种客车和乙种客车.
思考2 如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？
解：若单独租用甲种客车，则需要240 ÷45=5,
即至少需要6辆；
若单独租用乙种客车，则需要240 ÷30=8,
即至少需要8辆.
又每辆汽车上至少要有 1 名教师，共6名教师，
所以最多租用汽车6辆，综上，合租车辆为6辆.
解：设租用甲种客车 x 辆，则租用乙种客车 (6-x) 辆.
租车总费用为 y 元.
从人数上：6 名教师和 234 名学生共计 240 人，所以甲种客车和乙种客车总共的载客量要≥240.
从费用上：学校计划的费用是 2 300 元，所以甲种客车和乙种客车总共的费用要≤2 300.
思考3 请给出最节省费用的租车方案.
45x+30(6-x)≥240，
400x+280(6-x)≤2 300.
由题意可得，
解得4≤ x ≤ 5.
甲种客车 乙种客车
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
设租用甲种客车 x 辆，则租用乙种客车 (6-x) 辆.
虽然 4≤ x≤ 5，但是根据实际意义，x只能取4或5.
由题意可得 y=400x+280(6-x)=120x+1680(x=4或5)
设租车总费用为 y 元.
方案一：当 x=4 时, 即需租用甲种客车 4 辆, 乙种客车 2 辆.
此时 y=1204+1 680=2 160元.
方案二：当 x=5 时, 即需租用甲种客车5 辆, 乙种客车 1 辆.
此时 y=1205+1 680=2 280元.
你能不计算就得出结论吗？
综上，选择方案一更划算.
由 y=120x+1680 (x=4或5) ,可以看出函数值 y 随着自变量 x 的增大而增大. 因为 5>4, 所以当 x=4 时，费用更少.
可通过一次函数的性质来判断
选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的，在没有学习函数之前，一般是将全部方案一一列举出来，然后根据题意选择一个最佳方案；学习函数之后，我们可以利用函数的性质，直接求出最佳方案.
用一次函数选择最佳方案的一般步骤
1.析：分析题意，弄清数量关系.
2.列：列出函数解析式、不等式或方程.
3.求：求出自变量取不同值对应的函数值的大小，或函数的最大（小）值.
4.选：结合实际需要选择最佳方案.
归纳：
解决含多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
一家电信公司提供两种手机月通话方式供用户选择，其中一种有月租，另一种无月租，这两种收费方式的通话费用 y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系如图所示.
请你判断下列叙述是否正确.
y
x
l2
400
O
20
400
l1
随堂练习
（1）l1描述的是无月租费用的收费方式.
（2）l2描述的是有月租费用的收费方式.
（3）当每月的通话时间超过 400 分钟的时候选择有月租的收费方式更省钱.
y
x
l2
400
O
20
400
l1
提示：由图可知，超过 400 分钟后， 直线l1 在l2 的下面，即l1所描述方式的费用小于l2 所描述的方式的费用.
1.如图， 反映了某公司产品的销售收入与销售
量的关系， 反映了该公司产品的销售成本与
销售量的关系，根据图象判断该公司不盈利、
不亏损时的销售量( )
B
A.小于4件 B.等于4件
C.大于4件 D.大于或等于4件
（第2题）
2.如图，某电信公司提供了A，B两种方
案的移动通讯费用 （元）与通话时间
之间的关系，若通话时间超过
，则B方案比A方案便宜____元.
12
[解析] 点拨：当时，A方案与 的函数解析式为
，B方案
与 的函数解析式为
,
,
当通话时间超过 时，B方案比A方案便宜12元.
（第3题）
3.某单位常有集体外出学习的活动，因此准
备与出租车公司签订租车协议，现有甲、乙
两家出租车公司供选择.设每月行驶 ，
应付给甲公司元，应付给乙公司 元，
，分别与 之间的函数关系如图所示，
若该单位估计每月需要行驶的路程为
，则为了省钱，该单位应与____
公司签订租车协议.
甲
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