(共33张PPT)
20.1.1 平均数 （第1课时）
第二十章 数据的分析
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解算术平均数的概念.
2.会应用算术平均数的概念进行简单的计算.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
8 月中旬郑州市一周的最高气温如下表所示.
星期 一 二 三 四 五 六 日
气温/℃ 38 38 36 38 36 36 36
你能计算出一周的平均最高气温吗？
课堂导入
问题 一家公司打算招聘一名英文翻译. 对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如表所示：
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩（百分制）.从他们的成绩来看，应该录取谁？
综合能力需要同时对听、说、读、写进行考量，分别计算出甲、乙四项的平均成绩.
甲的平均成绩为： = 80.25.
乙的平均成绩为： = 79.5.
从计算结果来看，甲的平均成绩比乙的平均成绩高，所以应该录取甲.
知识点：算术平均数
新知探究
算术平均数：一般地，如果有 n 个数 x1，x2， ，xn，那么我们把 (x1+x2+ +xn) 叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，记作 ，读作 x 拔，则 =(x1+x2+ +xn).
注意：
（1）一组给定的数据的算术平均数是唯一的；
（2）如果所给的数据带有单位，那么这组数据的算术平均数也要带单位，并且算术平均数所带的单位与数据的单位要一致.
(3)算术平均数的大小与所给数据里的每个数据都有关，其中任何一个数据的变动都会引起算术平均数的变动.
(4)一般地，要了解一组数据的平均水平，计算这组数据的算术平均数即可.但算术平均数容易受极端值的影响，有时它不能代表一组数据的平均水平.
有一组数据为：2，5，5，6，6，6，则这组数据的算术平均数为（ ）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
解析：这组数据的算术平均数为 = 5.
跟踪训练
新知探究
1.已知一组数据 x，y， z， m，n 的平均数为 7，则另一组数据 x+10，y-10， z+10， m-10，n+10 的平均数为（ ）.
A. 6 B. 7 C. 9 D. 12
随堂练习
C
解析：因为x，y， z， m，n 的平均数为 7，所以 x+y+ z+m+n=35.
所以 x+10，y-10， z+10， m-10，n+10 的平均数为
= = = 9.
2.已知数据 x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5 的平均数为 a，则数据 5x1 ，5x2 ，5x3 ，5x4 ，5x5 的平均数为（ ）.
A. a B. 5a C. D. 10a
这组数据的系数有何特点？
B
解析：因为x1 ，x2，x3，x4，x5 的平均数为 a，
所以 x1+x2+x3+x4+x5=5a.
所以 5x1 ，5x2 ，5x3 ，5x4 ，5x5 的平均数为
= = 5a.
3.已知数据 x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5 的平均数为 a，则数据5+x1 ，5+x2 ，5+x3 ，5+x4 ，5+x5 的平均数为（ ）.
A. a B. 5+a C. 5a D. 10a
每一个数据有何变化呢？
B
解析：因为x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5的平均数为a，
所以x1+x2+x3+x4+x5=5a.
所以 5+x1 ，5+x2 ，5+x3 ，5+x4 ，5+x5的平均数为
==5+a.
4.已知数据 x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5 的平均数为 a，则数据5+5x1 ，5+5x2 ，5+5x3 ，5+5x4 ，5+5x5 的平均数为（ ）.
A. 5a B. 5+5a C. 5+a D. 10a
猜想一下这组数据的平均数？
B
解析： x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5 的平均数为 a，所以 x1+x2+x3+x4+x5=5a.
所以 5+5x1 ，5+5x2 ，5+5x3 ，5+5x4 ，5+5x5 的平均数为
= = 5+a.
1.数据7，8，9，13，13的平均数是( )
B
A.12 B.10 C.9 D.8
2.如图是某住宅小区6月1日 月5日每天用水
量的情况，则这5天平均每天的用水量是( )
B
A.25立方米 B.30立方米
C.32立方米 D.35立方米
3. 在一次演唱比赛中，评分办法采用7位评委现
场打分，每位选手的最后得分为去掉最低分、最高分后的平均数.已知7
位评委给某位选手的打分（单位：分）为94，94，93，98，99，98，96，
那么这位选手的最后得分是( )
B
A.94分 B.96分 C.97分 D.98分
4. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能
两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，然后再按控球技能占
，投球技能占 计算选手的综合成绩（百分制）.选手李林控球
技能得90分，投球技能得80分.则李林的综合成绩为( )
B
A.170分 B.86分 C.85分 D.84分
5.某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考
核（考核的满分均为100分），三个方面的重要性之比依次为 .小
王经过考核后所得的分数（单位：分）依次为90，88，83，那么小王的
最后得分是( )
B
A.87分 B.87.6分 C.87.8分 D.88分
6.某校健美操队共有10名队员，统计队员年龄情况的结果如下：13岁3
人，14岁5人，15岁2人，则该健美操队队员的平均年龄为( )
C
A.14.2岁 B.14.1岁 C.13.9岁 D.13.7岁
7.[2024·宿迁] 一组数据6，8，10，的平均数是9，则 的值为____.
12
8.[2024·沧州一模] 某餐厅供应单价为10元、18元、25元三种价格的盒
饭，如图是该餐厅某月三种盒饭销售情况的扇形统计图，根据该统计图
可算得该餐厅这个月销售盒饭的平均单价为____元.
17
9.某校规定英语竞赛成绩85分以上为优秀，老师将85分记为0，并将一
组5名同学的成绩简记为，，0，， ，这5名同学的平均成
绩是( )
B
A.83分 B.87分 C.82分 D.84分
10.一组数据有20个数，有4个数的平均数为20，另外16个数的平均数为
15，则这20个数的平均数为( )
A
A.16 B.17.5 C.18 D.20
11.在数据4，5，6，5中去掉 个数据，若平均数没有发生变化，
则 的值是( )
C
A.1或3 B.2或3 C.1或2或3 D.3或4
[解析] 点拨： ,
在数据4,5,6,5中去掉 个数据,平均数没有发生变化，
去掉的数可能是一个5,或两个5或4和6,或4和一个5和6， 或2或3.
平均数的性质
若一组数据 x1，x2， xn的平均数为，则有：
（1）数据nx1，nx2， nxn的平均数为n；
（2）数据x1+b，x2+b， xn+b的平均数为+b；
（3）数据nx1+b，nx2+b， nxn+b的平均数为n+b.
算术平均数
概念
拓展
=(x1+x2+……+xn).
① nx1, nx2, , nxn的平均数为n;
② x1+b, x2+b, , xn+b的平均数为+b;
③ nx1+b, nx2+b, , nxn+b的平均数为n+b.
课堂小结
谢谢观看！(共35张PPT)
20.1.1 平均数 （第2课时）
第二十章 数据的分析
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解加权平均数的概念.
2.会计算加权平均数并体会权的重要性.
3.会用加权平均数分析一组数据的集中趋势，发展数据分析能力，逐步形成数据分析观念.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
算术平均数：一般地，如果有 n 个数 x1，x2， ， xn，那么我们把 (x1+x2+ +xn) 叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，记作 ，则 =(x1+x2+ +xn).
知识回顾
公务员考试中，张兰的笔试成绩为88分，面试成绩为84分，李凤的笔试成绩为84分，面试成绩为88分，其中笔试成绩占40%，面试成绩占60%.小明认为两个人的总分一样，所以都能录取.
你觉得小明的理解正确吗？
课堂导入
问题 一家公司打算招聘一名英文翻译. 对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如表所示：
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照 2:1:3:4 的比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制），从他们的成绩看，应该录取谁？
听、说、读、写成绩按照 2:1:3:4 的比确定，这说明赋予各项成绩的“重要程度”有所不同.
甲的平均成绩为 =79.5.
乙的平均成绩为 =80.4.
从计算结果来看，乙的平均成绩比甲的平均成绩高，所以应该录取乙.
知识点：加权平均数
新知探究
加权平均数：一般地，若 n 个数 x1，x2， ，xn 的权分别是 w1，w2， ，wn，那么我们把 叫做这 n 个数的加权平均数.
= 80.4
“权”
加权平均数
思考 如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照 3:3:2:2 的比确定，计算那么甲、乙两人谁被录取？
听、说、读、写成绩按照 3:3:2:2 的比确定，这说明倾向于听、说成绩的“重要程度”.
甲的平均成绩为 =80.5.
乙的平均成绩为 =78.9.
从计算结果来看，甲的平均成绩比乙的平均成绩高，所以应该录取甲.
通过上述问题，你能体会到权的作用吗？
所以同样一张应试者的应聘成绩单，由于各个数据所赋予的权数不同，造成的录取结果会截然不同.
数据的权能够反映数据的相对重要程度.
例1 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分.各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）.进入决赛的前两名选手的单项成绩如表所示，请确定两人的名次.
选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果
A 85 95 95
B 95 85 95
解：选手A的最后得分是=90
选手B的最后得分是=91
由上可知选手 B 获得第一名，选手 A 获得第二名.
权是百分数的形式
在求 n 个数的平均数时，如果 x1 出现 f1 次， x2 出现 f2 次， ，xk 出现 fk 次（这里的 f1+ f2+ +fk =n），那么这 n 个数的平均数 = .也叫做 x1，x2 ， ， xk 这 k 个数的加权平均数，其中 f1， f2， ， fk分别叫做 x1，x2， ，xk 的权.
(1)权能够反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大；权越小，该数据所占的比重越小.
(2)权常见的三种表现形式：①数据出现的次数(个数)的形式；②百分数的形式；③连比的形式.
例2 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人.求这个跳水队运动员的平均年龄(结果取整数).
解：这个跳水队运动员的平均年龄为
= ≈14（岁）.
为参加全市中学生足球赛，某中学从全校学生中选拔22 名足球运动员组建校足球队，这 22 名运动员的年龄（岁）如下表所示，该足球队队员的平均年龄是（ ）
A.12岁 B.13岁 C.14岁 D.15岁
年龄/岁 12 13 14 15
人数 7 10 3 2
跟踪训练
新知探究
解析：该足球队队员的平均年龄是 =13（岁）.
年龄/岁 12 13 14 15
人数 7 10 3 2
1.某公司招聘一名前台服务人员，甲、乙两位应试者分别参加了笔试和面试，他们的成绩（百分制）如下表所示.
应试者 笔试成绩/分 面试成绩/分
甲 85 92
乙 88 91
请根据表中的数据回答问题：
随堂练习
（1）公司 HR 认为笔试成绩和面试成绩同等重要，则应该选择甲、乙中的哪个人？
解：甲的平均成绩是 = 88.5（分）.
乙的平均成绩是 = 89.5（分）.
所以通过计算可以知道，乙的成绩更高一些，应该选择乙.
（2）公司 HR 认为招聘岗位为前台服务人员，面试成绩更为重要，并分别赋予权重为 3 和 7，则应该选择甲、乙中的哪个人？
解：甲的平均成绩是 = 89.9（分）.
乙的平均成绩是 = 90.1（分）.
通过计算可以知道，乙的成绩更高一些，应该选择乙.
注意权重奥！
2.请你说一说算术平均数与加权平均数的区别和联系.
区别 联系
算术平均数
加权平均数
算术平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”相同.
加权平均数对应的一组数据中的各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的权不一定相同.
若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际是加权平均数的一种特例.
1.[2024· 宜昌期末] 对一组数据进行分组分析时，其中分的一组为
，则组中值为( )
C
A.11 B.21 C.31 D.41
（第2题）
2.某校八年级学生参加每分钟跳绳的
测试，并随机抽取部分学生的成绩制
成了频数直方图（如图），若取每组
的组中值作为本小组的均值，则抽取
的部分学生每分钟跳绳次数的平均数
（结果取整数）为( )
B
A.87 B.110 C.112 D.120
（第3题）
3. 某校为了解学生课外阅
读情况，随机调查了50名学生各自平均每
天的课外阅读时间，并绘制成条形图
（如图），据此可以估计出该校所有学生
平均每人每天的课外阅读时间为( )
A
A. B. C. D.
4. 小红每天早上都会乘坐某路公交车去上班，她统计了
15次等该路公交车的时间，并把数据分组整理，结果如下表：
时间
次数 4 7 3 1
则小红每天早上上班等该路公交车的平均时间约为（保留1位小数）
( )
D
A. B. C. D.
5.[2024· 茂名高州月考] 小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量
（单位：度），结果如下：9，11，7，10，8.根据这些数据，估计她家6
月份的用电量为( )
D
A.180度 B.210度 C.240度 D.270度
6. 某校开展“节约每一滴水”活动，从八年级的100名
同学中任选20名同学汇总了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据
（每人上报的节水量都是整数）整理如下表：
节水量
人数 6 4 8 2
请你估计这100名同学的家庭一个月节水的总量大约是_____ .
230
7.某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽取10
听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下：
，，0，，0，0，，0，， .估计这批食品罐头平均
每听的质量为( )
C
A.453克 B.454克 C.455克 D.456克
8.学校举办了一分钟跳绳比赛，据统计，
所有参赛学生一分钟的跳绳数均不少于
100次，随机抽取部分学生一分钟跳绳的
次数进行调查统计，并根据成绩分布情况，
若A，B，C，D等级参赛学生一分钟跳绳的平均次数分别为110，130，
150，190，估计该校参赛学生一分钟跳绳的平均次数约是_____.
150
将抽取的全部成绩分成四个等级，并绘制了如下统计图表.
[解析] 点拨：调查总人数为 ，
, 该校参赛学生一分钟跳绳的平均次数约是
.
加权平均数
计算
方法
算术平均数和加权平均数的区别与联系.
=
课堂小结
谢谢观看！(共28张PPT)
20.1.1 平均数 （第3课时）
第二十章 数据的分析
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解组中值的意义，能利用组中值计算一组数据的加权平均数 .
2.理解怎样用样本平均数估计总体平均数.
3.会进行实际的计算.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.算术平均数：一般地，如果有 n 个数 x1，x2， xn，那么我们把(x1+x2+ +xn) 叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，记作 ，则有 =(x1+x2+ +xn).
知识回顾
2.加权平均数：一般地，如果有 n 个数 x1，x2， xn，的权分别为 w1，w2， wn，那么我们把叫做这 n 个数的加权平均数.
在求 n 个数的平均数时，如果 x1 出现 f1 次， x2 出现 f2 次， xk 出现 fk 次（这里 f1+ f2+ +fk =n），那么这 n 个数的平均数 = .也叫做 x1，x2， ， xk 这 k 个数的加权平均数，其中 f1， f2， ，fk分别叫做 x1，x2， ，xk 的权.
已知 A 村一果园中有 100 棵苹果树，在每年收获前果农会先估计一下当年的整体产量，那么应该采取什么样的方法进行估计呢？学习本课，试着找到合适的方法.
课堂导入
例1 为了解 5 路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天 5 路公共汽车每个运行班次的载客量，得到下表.这天 5 路公共汽车平均每班的载客量是多少（结果取整数）？
新知探究
知识点：用样本平均数估计总体平均数
载客量/人 组中值 频数（班次）
1≤x<21 11 3
21≤x<41 31 5
41≤x<61 51 20
61≤x<81 71 22
81≤x<101 91 18
101≤x<121 111 15
频数指相应组中值的权.
思考1 表格中的组中值指什么？如何确定呢？
思考2 频数指什么？
例如，小组1≤x<21的组中值是.
组中值：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数.统计中常以其代表各组的实际数据.
= ≈ 73(人)
频数分布表(图)中的加权平均数的求解思路：
①不同数据组中组中值的确定；
②权的确定.
用样本的平均数估计总体的平均数：当要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.
（1）一般来说，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确，但相应的工作量也越大.因此在实际工作中，样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性及成本；
（2）抽取的样本要有广泛性和代表性，这样有利于估计总体，解决问题.
利用计算器求平均数
一般的计算器有统计功能，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据 x1 ，x2 ， x3 ， ，xk 以及它们的权 f1 ，f2 ， f3 ， ， fk ；最后按动求平均数的功能键，计算器便会求出平均数= 的值.
例2 某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了 50 只灯泡，它们的使用寿命如下表所示，这批灯泡的平均使用寿命是多少？
使用寿命x/h 600≤x<1000 1000≤x<1400 1400≤x<1800 1800≤x<2200 2200≤x<2600
灯泡只数 5 10 12 17 6
你能确定各小组的“组中值”和“权”吗？
分析：抽出的 50 只灯泡的使用寿命组成了一个样本，我们可以利用样本的平均使用寿命来估计这批灯泡的平均使用寿命.
解：由表可以得出每组数据的组中值，则抽出的 50 只灯泡的平均使用寿命为
= = 1672.
从计算结果来看，样本的平均数为 1672，则可估计这批灯泡的平均使用寿命大约是 1672h.
现在你能总结出用样本平均数估计总体平均数的一般步骤吗？
1.先求出每个范围内的组中值；
2.利用加权平均数的计算公式计算.
9.某校为了解全校1 600名学生每周课外体育
活动时间的情况，随机调查了其中的部分学
生，对这些学生每周课外体育活动时间
（单位：小时）进行了统计，
根据所得数据绘制了一幅统计图（如图，每
组只包含右边界），根据以上信息及统计图
解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为____；
50
（2）抽取的这些学生每周课外体育活动时间的平均数为_______；
5小时
[解析] 点拨：由题意可得 （小时），即这50
名学生每周课外体育活动时间的平均数是5小时.
（3）估计全校学生每周课外体育活动时间多于4小时的人数为______.
1184
10.某校为了了解八年级学生一天做数学作业所用时间的情况，抽取了
50名学生进行了调查.如表反映了抽取的50名学生某一天做数学作业所
用时间的情况.
所用时间 组中值 人数
5 4
8
20
35
45 5
55 3
（1）____，____， ____；
15
25
10
（2）估计该校八年级学生一天做数学作业所用的平均时间.
解：, 估计该校八年级学生一天做数学作业所用的平均时间为
.
11.[2024· 临沂期末] 随着经济水平的提升，人们越来越重视身体健康.
目前，国际上常用身体质量指数“ ”作为衡量人体健康状况的一个指
标，其计算公式为表示体重，单位：； 表示身高，单
位：， 数值标准见下表：
的 范围
健康类 型 瘦弱 （不健 康） 偏瘦 正常 偏胖 肥胖
（不健
康）
某学校为了解中学生的健康情况，随机抽取了部分学生体检结果的身高
数据，对身高情况分成4组（每组只包含右边界），绘制了如下两幅的
统计图.
（1）请补全条形统计图，并填空： ________，样本容量是________.
54
40
解：如图.
（2）若取每个组的组中值代表每组学生的平均身高，则此次抽取的样
本中学生的平均身高是多少
解：此次抽取的样本中学生的平均身高是
.
（3）小张身高，值为29，他想通过健身减重使自己的
值达到正常，则他的体重至少需要减掉_____.（结果精确到 ）
15.4
样本估计总体
组中值
样本估计总体
数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值.
当要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.
课堂小结
谢谢观看！
