(共29张PPT)
20.2 数据的波动程度
（第1课时）
第二十章 数据的分析
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解方差的概念及统计学的意义.
2.会计算一组数据的方差.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
现有甲、乙两名射击选手，教练需要从中挑选一位成绩稳定的参加全市运动会.
课堂导入
甲、乙两名射击选手的测试成绩如下表所示：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的命中环数 7 8 8 8 9
乙的命中环数 10 6 10 6 8
你能帮助教练选出合适的人选吗？
思考1 分别计算两名射击选手的平均成绩.
甲选手的平均成绩为： = 8环.
乙选手的平均成绩为： = 8环.
知识点：方差
新知探究
思考2 请根据这两名射击选手的成绩在图中画出折线统计图.
0
1
2
3
4
5
成绩/环
射击顺序
2
4
6
8
10
乙
甲
思考3 假如你是教练，你认为选择哪一位射击选手更合适？
甲、乙两名选手的平均成绩一样，但从图表来看，甲的成绩上下浮动性小，相对稳定，所以选择甲更合适.
例1 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题，为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如表所示.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
上面两组数据的平均数分别是甲=7.537，=7.515.
为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，我们把这两组数据画成下图：
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
比较上面两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，乙种甜玉米在各试验田的产量比较集中地分布在平均产量附近.
从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？
设有 n 个数据 x1，x2， ，xn，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是
，，
我们用这些值的平均数，即用
来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 .
方差可以反映数据的波动程度：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
甲、乙两组数据的方差分别是：
≈0.010.
≈0.002.
∵∴乙种甜玉米的产量比较稳定.
综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区适合种植乙种甜玉米.
求方差的一般步骤：（1）求原始数据的平均数；
（2）求原始数据中各数据与平均数的差；
（3）将所得的差分别平方；
（4）求（3）中所得数据的平均数.
拓展：方差的简化计算公式为：
.
例2 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）如表所示.
甲 163 164 164 165 165 166 166 167
乙 163 165 165 166 166 167 168 168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是
=166.
=165.
1.5.
.
由可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
方差分别是
用计算器求方差
使用计算器的统计功能求方差时，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1， x2， ， xn最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差的值.
1.方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据,,, , ，可用
如下算式计算方差：
，其中“5”
是这组数据的( )
B
A.最小值 B.平均数 C.中位数 D.众数
2.一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为( )
D
A.1 B.0.8 C.0.6 D.0.5
4.[2024 上海] 已知某人要种植培育的种子有四种类型，分别是甲、乙、
丙、丁，对于每一种种子，发芽天数与稳定性（方差）如下表所示，在
同时考虑稳定性和快速发芽的情况下，他应该选择的种子类型是( )
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
B
A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类
5.[2024 宜宾] 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学
生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟） ，67，75，65，
75，80，75，88，78，80.对这组数据判断正确的是( )
B
A.方差为0 B.众数为75 C.中位数为77.5 D.平均数为75
6. 在一次芭蕾舞比
赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演
了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表
演的8位女演员身高的折线统计图如
下.则甲、乙两个团女演员身高的方
差， 大小关系正确的是( )
B
A. B. C. D.无法确定
7. 为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活
动，已知甲班10名学生测试成绩的方差是 ，乙班10名学生测
试成绩的方差是 ，两班学生测试成绩的平均分都是96分，学校
根据平均分和方差判定甲班比较稳定，则 的值可以是______________
_______.
（答案不唯一）
8.一组数据，，， ， 的平均数为4，方差为
2，则数据，，， ， 的平均数和方差
分别是( )
B
A.14，8 B.11，18 C.11，2 D.14，18
[解析] 点拨：数据,,, , 的平均数为4，方差
为2，
数据,,, , 的平均数为3，方差为2，
数据,,, ,的平均数为 ，
方差为 .
9.[2024 重庆黔江区期末] 一组数据的方差计算公式为
，下列关于这组数据
的说法错误的是( )
D
A.平均数是9 B.中位数是8.5 C.众数是8 D.方差是1
方差
概念
意义
….
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
课堂小结
谢谢观看！(共27张PPT)
20.2 数据的波动程度
（第2课时）
第二十章 数据的分析
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.可以通过样本的方差推断出总体的方差.
2.能根据方差的计算结果做出简单的判断和预测.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识回顾
设有 n 个数据 x1，x2， ，xn，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是
，，
我们用这些值的平均数，即用
来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 .
什么情况适合用样本的方差去估计总体的方差呢？
让我们通过本节课的学习来寻找答案吧！
课堂导入
例1 A县的“味加味”快餐店销售的奥尔良鸡腿非常受大众的欢迎，需要大量的鸡腿供货.现有甲、乙两个供货商到“味加味”推销自己的鸡腿，目前来看两家的鸡腿价格相同，品质也相近，快餐店经理决定通过检查鸡腿的质量来确定哪家鸡腿能够满足他们的需求.
知识点：用样本方差估计总体方差
新知探究
（1）快餐店可以通过哪些数据来体现鸡腿的质量？
每个鸡腿的质量；鸡腿质量的稳定性.
（2）鸡腿的数量较多，无法进行一一的测量比较，你能帮助快餐店经理想出解决办法吗？
采取抽样调查，利用样本来估计总体.
甲 79 72 73 72 75 73 71 76 78 78 77 74 75 80 71
乙 72 77 74 74 73 75 73 76 76 78 74 74 75 76 73
（3）快餐店员工从甲、乙两家鸡腿中各随机抽取15 个，将它们的质量记录在下表，请你根据表中的数据确定选择哪家供货商？
利用什么数值确定呢？
解：甲供货商 15 个样品的平均数是 ≈ 75.
乙供货商 15 个样品的平均数是 ≈ 75.
从甲、乙供货商提供样本的平均数来看，鸡腿的质量相近，无法判断出各家的好坏.
甲 79 72 73 72 75 73 71 76 78 78 77 74 75 80 71
乙 72 77 74 74 73 75 73 76 76 78 74 74 75 76 73
甲供货商15个样品的方差是 ≈ 8.
从甲、乙供货商提供样本的方差来看，乙供货商提供的鸡腿质量更稳定，所以应该选择乙.
乙供货商15个样品的方差是 ≈ 3.
归纳：用样本估计总体是统计的基本思想，类似于用样本的平均数估计总体的平均数，考察总体方差的时候，如果考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，实际中常常会用样本的方差来估计总体的方差.
例2 某跳远队准备从小明、小刚两人中选取成绩稳定的一个参加市级比赛，已知小明 10 次的测验成绩为 5.85，5.93，6.07，5.91，5.99，6.13，5.98，6.05，6.00，6.19；小刚 10 次测验的成绩为 6.11，6.08，5.83，5.92，5.84，5.81，6.18，6.17，5.85，6.21. 试通过计算判断应该选择谁参加比赛.
如何确定呢？
解：小明 10 次成绩的平均数是
= 6.01.
小刚 10 次成绩的平均数是
= 6.00.
从小明、小刚 10 次成绩的平均数来看，小明的平均成绩更好一些.
小明 10 次成绩的方差是=0.00954.
通过比较方差，小明的成绩更稳定，所以综合考虑应该选择小明参加市级比赛.
小刚 10 次成绩的方差是=0.02434.
为了考察甲、乙两种农作物的生长趋势，分别从中抽取了10 株苗，测得苗高（单位：cm）如下表：
请你根据题意回答下列问题.
甲 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11
乙 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
跟踪训练
新知探究
（1）分别计算两种农作物的平均苗高.
解：甲种农作物苗高的平均数
=13（cm）.
乙种农作物苗高的平均数
=13（cm）.
（2）哪种农作物长势比较整齐？
解：甲种农作物的方差 = 3.6（cm ）.
乙种农作物的方差
= 15.8 （cm ）.
从方差可以看出甲种农作物长势比较整齐.
1.[2024 深圳南山区二模] 教练组对运动员正式比赛的前5次训练成绩进
行分析，判断谁的成绩更加稳定，一般要考查这5次成绩的( )
D
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
2.[2024 长沙] 为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随
机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，
并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，， ，由
此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”“乙”或“丙”）.
甲
3.某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣,现有甲、乙两个厂家提
供货源,它们的价格相同,品质也相近.质检员从两厂产品中各随机抽取15
盒进行检测,测得它们的平均质量均为200克,每盒红枣的质量如图所示,
则产品更符合规格要求的是____厂家（填“甲”或“乙”）.
甲
4.[2024 西安西咸新区期末] 为发展乡村经济，某村根据本地特点创办了
辣椒粉加工厂.该厂计划从甲、乙两种品牌的分装机中选择一种.为检验
分装效果，该厂对这两种品牌的分装机分装的成品进行了随机抽样
（每种品牌各抽5袋，设定标准质量为每袋 ），其结果统计如下：
根据信息解答下列问题：
（1）甲品牌分装机抽检质量的中位数为____ ，乙品牌分装机抽检质量
的众数为____ .
50
50
（2）已知甲品牌分装机抽检质量的平均数为，方差为 ，请计算
乙品牌分装机抽检质量的平均数和方差，并判断工厂应选购哪种品牌的
分装机，为什么？
解：乙品牌分装机抽检质量的平均数为
，
方差为 .
工厂应选购乙品牌的分装机，理由如下：
甲、乙两种品牌分装机抽检质量的平均数相等，甲品牌的方差 乙
品牌的方差，
乙品牌的分装机抽检的质量比较稳定，
工厂应选购乙品牌的分装机.
5. 体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，
下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选____参加比赛.
甲 8 8 7 9 8
乙 6 9 7 9 9
甲
作用
步骤
比较数据的稳定性.
先计算样本数据的平均数，然后计算样本方差，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
课堂小结
用样本方差估计总体方差
谢谢观看！
