厦门一中 2024-2025学年第二学期高一年 3月适应性训练
数学
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，考生只须将答题卡交回．
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．向量 AB CB CA
A． 0 B． 2AC C． 2BC D． 2AC
2．已知 i是虚数单位， a,b R ,则“a b 1”是“ (a bi)2 2i”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在VABC中，点 E是 AB上靠近A的三等分点， F 是CE上靠近C的三等分点，则 AF
1 AB 1 AC 2 AB 1
1 2 2 AC AB 2
A． B． C． AC D． AB AC
9 3 9 3 9 3 9 3
4．在VABC中，已知角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，a x，b 2，B 45 ，若三角形有两个解，则 x的
取值范围是
A． x 2 B． 2 x 2 2 C． x 2 D． 2 x 2 3
5．已知向量a (2, 1)，b (1,n)，若 a b，则 a b在b上的投影向量的坐标为
A． (2,1) B． (1,1) C． (1, 2) D． ( 2,1)
6．在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地
面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为 a1 1.00m，之后将小镜子前移
a 6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2 0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为 h 1.75m，
则钟楼的高度大约是
A． 27.75m B． 27.25m C． 26.75m D．26.25m
2
7．已知VABC的三个内角 A、B、C满足 sin2 B 3sin2 A 2sin2C，当 sin A
sin B
的值最大时， 的值为
sin2C
A 2 B 1 C 1 D 1． ． ． 2 ． 4
1
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8．若VABC的三个内角均小于 120°，点M 满足 AMB AMC BMC 120 ，则点M 到三角形三个顶点的
距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知 a是平面内的任意一个向量，向量 b ，c满足b c，
且 b 3， | c | 3，则 | a b | | a c | | a c |的最小值是
A．9 B． 4 3 C．6 D．3 3
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要
求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
z 29．已知复数 ，其中 i为虚数单位，则下列结论正确的是
1 3i
A．复数 z的共轭复数的模为 1 B．复数 z在复平面内对应的点在第一象限
C．复数 z是方程 x2 x 1 0的解 D． z 3 1
10．已知D为VABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是
S 1
A．若 AD
1 AB 1 AC △BCD，则
3 2 S△ABD 6
AB AC
B．若 BC 0，则VABC为等腰三角形
AB AC
C．若DA DB DB DC DC DA，则D为VABC的垂心
AB AC
D．若 AD R ，则点D的轨迹经过VABC的重心
AB sinB AC sinC
11．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其
为“赵爽弦图”．如图 1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图
2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 A B C 拼成的一个大等边三角形 ABC．对．于．图．2．， 下列
结论错．误．的是
A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B．若 BB 3,sin ABB 5 3 ，则 A B 2
14
C．若 AB 2A B ，则 AB 10BB
D．若 A 是 AB 的中点，则VABC的面积是 A B C 面积的 5倍
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知OA 1,2 , AB 4, 2 ，则△OAB的面积为 ▲ ．
13．在VABC中，角 A,B,C的对边分别为a b
asin B
， ， c，且VABC的周长为 ，则角C为 ▲ .
sin A sin B sinC
14. 在VABC AB中，D是 BC的中点，E在边 AB上，BE=2EA，AD与CE 交于O，若 AB AC 6AO EC，则 AC
的值为 ▲ .
2
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题共 13分）已知向量 a m,1 ，b 2,m 1 ，m R ．
(1)若向量a，b能构成一组基底，求实数 m的范围；
(2)若 c 1,3 ，且 c a b ，求向量a与b的夹角大小．
16．（本题共 15分）如图，观测站C在目标A的南偏西 20 方向，经过 A处有一条南偏东 40 走向的公路，在C处
观测到与C相距31km的 B处有一人正沿此公路向 A处行走，走 20km 到达D处，此时测得C ,D相距21km．
(1)求sin BDC；
(2)求D, A之间的距离．
asin A sinC
17．（本题共 15分）在VABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，c 1， sin(A C)，且
a b
a b .
(1)求VABC的外接圆半径；
(2)若VABC为锐角三角形，求VABC周长的取值范围.
3
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18．（本题共 17分）折纸是一项玩法多样的活动．通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、
花卉、船只等．折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识．在纸片VABC中，A，B，C所对的边分
别为 a，b，c，VABC的面积为 S1， a 5．
5sinB sinC
(1)证明： S1 ；2sin A
(2)若8 3S1 sin A 10 3 cos(B C) 5，求 sin A的值；
(3)在（2）的条件下，若b 3，D是 AB的中点，现需要对纸片VABC做一次折叠，使 C点与 D点重合，求折
叠后纸片重叠部分的面积 S2．
19．（本题共 17分）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.其中，双曲余弦函数：
x x x x sinh(x)
cosh(x) e e e e ，双曲正弦函数：sinh(x) ，双曲正切函数： tanh(x) cosh(x) .在VABC中，A，B，2 2
C所对的边分别为 a，b，c. 前两问中，已知 a sinh(x)，b 2， c cosh(x)，其中 x ln2 .
(1) tanh(x) 3若 , 证明： cosh2(x) sinh2(x) 1, 并判断VABC的形状；
2
(2)若 A ,作 AD平分 BAC交 BC于 D点，求 BD的长；
3
(3)若 A(cosh( ),sinh( ))( 0)，B( 2,0) , C( 2,0)，点 I 为VABC的内心，求点 I 的横坐标.
4
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数学参考答案
1.A 2.A 3.C 4.B 5.C 6. D 7. C 8.C 9.AD 10.BCD 11.ACD
2
12． 5 13． 14．
3 3
8.【详解】设 ， ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
所以 ，
因为 为等边三角形，由题意，等边 的费马点为 的中心，此时 取最小值，
所以 ，故选：C.
11.【详解】对于 A，根据题意，题图 2是由三个全等的针角三角形与一个小等边三角形 拼成的一个大等
边三角形 ，故 ，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故 A错误；
对于 B，在 中， ，所以 ，而 ，所以
，由正弦定理得 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，故选项 B正确；对于 C，不妨设 ，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
解得 ，所以 ，故选项 C错误；
对于 D，若 是 的中点， ，所以 ，故选
项 D错误．故选：ACD．
1
14. 【详解】法 1： EC AC－AE=－ AB+AC，设
3 AO 2 AD= AB+ AC
，则 AO 2 AD=3 AE+ AC，
因为 E ,O,C 三点共线， 3 + =1，所以 =
1 1
，所以 AO AD，所以
4 2
1 2 2AB AC－6AO EC AB AC (AB+AC) ( AB+3AC)= 1 － － AB 3－ AC =0 2 2 AB，故 ，所以 = 3 .
2 2 2 AB =3AC AC
法 2：不妨设 AB⊥CE，以 E为原点，EC，EA为 x, y轴正方向建系，设C(2,0)，A(0,a)，B(0, 2a) ，则D(1, a)，
AD：y 2ax a 1 2
则 O( ,0) AB 9aCE y 0 ，所以点 ， 2 AB AC－6AO EC 3a
2－6=0，所以 a2=2，所以 = 3 .
： AC a2 4
1 3
法 3：极化恒等式+中线定理：同解法一知： AO AD，同理可得：OC EC，取CD中点 F ，
2 4
所以， AB AC AD2－CD2 ， 6AO EC 8OD OC 8OF 2－8CF 2 2AC 2－2CD2 ，因为 AB AC 6AO EC，所
以 AD2
AB
CD2 2AC 2 .由中线定理得， AB2 AC2 2(AD2 CD2 ) 4AC2，所以 AB2 3AC 2 ，所以 3 .AC
15. 【详解】（1）若向量 ， 能构成一组基底，
1
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则向量 ， 不共线，则 ，................... ...........................................................................................3分
解得 且 ；.................................... ..............................................................................................................6分
（2）因为 ，所以 ，............................................................................................7分
即 ，解得 ，........................... ................... ....................................................................8分
所以 ， ，
则 ，............................................................................................................................11分
又因为 ，.................................... ............................................................................................................12分
所以 ，即向量 与 的夹角为 ...........................................................................................................13分
16.【详解】（1）由题意知： ， ， ，.................................................................................1分
在 中，由余弦定理 ..................................................4分
所以 sin BDC 4 3 ................................ ...................................................................................................................6分
7
（2） ， ，.................................................7分
由题意知： ，......... ................................................................................................................8分
在 中，由正弦定理得： ，所以 AC 24 ................................................................11分
由余弦定理得： ，即 ，
解得： 或 （舍），............... .............................................................................................................14分
之间的距离为 .............................(注：其他方法得出正确答案不扣分，若未得出答案，酌情扣分)15分
17.【详解】（1）由 可得 ，..................1分
故 ，由于 ，故 由余弦定理得 ....................................3分
由于 ，..............................................................................................................................................................4分
所以 ，........................................ .................. .................. ...................... ........ ............... .....................................5分
，根据 解得 ，所以 的外接圆半径为 ............................................................6分
（2）由（1）知， ， ， ，由正弦定理 ，.......................7分
所以
，...................................................................9分
2
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因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，.......................................12分
所以 ，则 ，.. (未考虑B 导致答案右端取闭区间扣 1分)14分
3
所以 ，则 .所以 周长的取值范围为 ........................................15分
18.【详解】（1）证明：由正弦定理可得 ，.............................................................................................2分
则 ．................................................................................................................................4分
（2）将 代入 ，
得 ，.....................................................5分
即 ，所以 ，即 ．.....................7分
所以 sin A 1 cos 2 A 33 ...................................................................................................................................8分
6
（3）由余弦定理得 ，即 ，解得 ，......................................9分
则 ．..................................................................................................................................10分
设折痕为线段 EF，其中 E在 BC上，F在 AC上，设 ， ，
则 ， ， ， ．................................................................................11分
在 中，由余弦定理得 ，解得 ．....................................13分
在 中，由余弦定理得 ，解得 ．...................................14分
重叠部分的面积为 的面积， ．
因为 ，.............................................................................................................................15分
所以 ．
所以 ．............................. ........................ ..........................................................17分
19【详解】（1） 得证.......... ...........................................................2分
因为 tanh(x)
sinh(x) 3
，代入上式得 cosh(x) 2 ;sinh(x) 3，..........................................................3分
cosh(x) 2
所以三角形为等腰三角形. ........................ ................................................. ..........（直接猜出答案得 1分）......4分
（2）余弦定理得sinh2 (x) b2 cosh2 (x) 2bcosh(x) cos ，又因 cosh2 (x) sinh2 (x) 1，……….5分
3
c cosh(x) 5 a sinh(x) cosh 2(x) 1 21代入解得 ， ..................... ...............................................................6分2 2
3
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法 1：由题可知 CAD BAD 30 ，等面积法求 AD：∵ S ABC S ACD S ABD，∴
1 b ADsin CAD 1 c ADsin BAD 1 bcsin A 10 3代入整理得 AD ..........................................................8分
2 2 2 9
BD2 c2+AD2 -2c AD cos 在 ABD中余弦定理得 ，解得BD 5 21 ..........................................................9分
6 18
法 2：内角平分线， ABD AB BD AC CD AB BD 5中， sin ADB sin ， ACD中， BAD sin ADC sin CAD， ，.........8分AC CD 4
所以 BD 5 BC 5 5 21 a ................................................................(注：未证明角平分线定理扣 1 分) ....9分
5 4 9 18
（3）设 分别长为 .
法 1： ，注意到 ，
故 ，.........................................................................10分
类似地， .故.b c 2 . .......................................................................................................................11分
如图，记内切圆在 上的切点分别为D, E , F ，由于同一点向同一圆引出的两切线长度相等，故 ，
， .......................................................................................................................13分
而 ，
又 ，故 ，而 ，故 ...............................................................16分
又由切线的性质知 ，故点 的横坐标为 1. ................................................................................................17分
法 2：设 坐标为 ， ，
由三角形内心性质，知 ，即 ..........................11分
解得 .③...................................................................................................................................13分
而 ， .
因为 ，故 ，
类似地， ..................................15分
将 取值代入③，得
故点 的横坐标为 1. ....................................................................................（注：利用特殊值猜出答案得 1分）17分
补证 式(学生未证不扣分)：
如图，在 中， 为内心，下证 .
证明：延长 交 于 ，
由角平分线性质 ，故 ，
，
故 ④
又 ，
故 ，⑤
⑤代入④，得 .
4
{#{QQABSYakxgIwkBTACI6qR0VwC0oQkJChJQoEhVCYqAQqwAFABAA=}#}
