第19章章末复习 课件（共55张PPT）
文档属性
| 名称 | 第19章章末复习 课件（共55张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-27 07:48:51 | ||
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文档简介
(共55张PPT)
章末复习
第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
变量和常量
定义
判断
方法
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
①变化过程；
②数值是否改变.
知识梳理
函数
概念
判断
方法
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其相对应.
①一个变化过程；
②两个变量；
③数值对应的关系.
函数自变量的取值范围
概念
判断
方法
使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围.
①整式型；②分式型；③根式型；④零次型；⑤实际问题.
函数解析式和函数值
解析式
函数值
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.
对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，b即为函数值.
函数图象
定义
画法
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
①列表；②描点；③连线.
1.常量和变量
（1）在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
（2）判断一个量是常量还是变量的方法
看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变（或者说是否会取不同的数值），若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量.
2.函数的概念
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其相对应，那么我们就说x是自变量，y 是 x 的函数，也称 y 是因变量.
3.函数自变量的取值范围
（1）自变量的取值范围：使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围.
（2）①整式型：等号右边是整式，自变量的取值范围是全体实数.
②分式型：等号右边的自变量在分母的位置上，自变量的取值范围是使分母不为0的实数.
3.函数自变量的取值范围
（2）③根式型：等号右边是开偶次方的式子，自变量的取值范围是使根号下的式子的值大于或等于0的实数.
④零次型：等号右边的自变量的零次幂或负整数次幂，自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数.
4.函数解析式和函数值
（1）函数解析式 ：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.
（2）函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值 a，函数 y 所对应的值为 b，即当 x=a 时，y=b，则 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值.
5. 函数的图象及画法
（1）函数的图象：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
（2）函数图象的画法：①列表；②描点；③连线.
6. 函数的三种表示方法
（1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
（2）解析式法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式法，其中的等式叫做函数解析式.
（3）图象法：用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法.
1.下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）.
A.圆的半径与圆的面积
B.正方形的周长与正方形的边长
C.在汽车速度一定的情况下，时间与路程
D.等腰三角形的底边长与面积
D
重难点1：变量与函数
重点解析
分析：等腰三角形的面积等于底乘高，还有一个量不确定.
2.函数 中，自变量 x 的取值范围是多少？
解：由函数的形式可知中 x-2≥0 并且 作为分母必须满足≠0.
解得x>2.
所以函数中自变量x的取值范围是 x>2.
小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时间后到达学校，小刚从家到学校行驶路程 s（单位：m）与时间 t（单位：min）之间的函数关系的大致图象是（ ）.
B
重难点2：函数图象及其应用
重点解析
易错警示：
小刚在匀速步行到车站的过程中，s 逐渐变大；
在等公交车的过程中，s 不变；
在乘坐公交车的过程中，s 逐渐变大.
根据实际情境确定函数图象的技巧
（1）自变量变化而函数值不变的图象用水平线段表示；
（2）自变量的变化量相同，而函数值变化越大的
函数图象与 x 轴所成的锐角就越大；
（3）注意确定函数图象的最低点和最高点.
1.求下列函数的自变量的取值范围.
（1）
（2）
（3）
（4）
x≠0.
x≠-1.
x≥2.
x 为任意实数.
深化练习
2.周日下午，小红和小兰相约在某公交车站一起乘车回学校，小红从家出发先步行到车站，等小兰到车站后两人一起乘公交车回到学校.下图表示小红离开家的路程 y（千米）和所用的时间 x（分钟）之间的函数关系.下列哪个说法是错误的（ ）.
A.小红从家到公交车站步行了2千米.
B.小红乘坐公交车用了30分钟.
C.小红在公交车站等小兰用了10分钟.
D.公交车的平均速度是34千米/小时.
y（千米）
x（分）
O
20
30
60
2
17
解：从图上来看，小红出发20分钟后小红从家走到了公交车站，路程变化为2千米；20分~30分之间小红离开家的路程未发生变化，说明此阶段是
在公交车站等小兰；30分~ 60分小
红和小兰一起乘坐公交车到达学校，
用时30分钟，路程为15千米.公交车
速度为15÷0.5=30 （千米/时）.
故选D.
更多同类练习见RJ八下《教材帮》第19章章末提升
正比例函数
定义
注意
一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
①比例系数 k 是常数，且 k≠0；
②两个变量 x，y 的次数都是 1.
知识梳理
正比例函数的图象和性质
定义
画法
一般地，正比例函数 y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线.
性质
① k>0，随着 x 的增大 y 也增大 ；
② k<0，随着 x 的增大 y 反而减小.
一次函数
定义
注意
一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
① k 是常数，且 k≠0；
②正比例函数是特殊的一次函数.
一次函数的图象
定义
画法
一次函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
①两点法：两点确定唯一一条直线.②平移法：由直线y=kx向上或向下平移.
一次函数的性质
当 k>0，b>0 时，图象经过第一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大
当 k>0，b<0 时，图象经过第一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大
当 k<0，b>0 时，图象经过第一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小
当 k<0，b<0 时，图象经过第二、三、四象限，y 随 x 的增大而减小
一次函数的解析式
待定系数法
应用
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法.
①设；②列；③解；④代.
步骤
①已知一次函数解析式
②题目中未给出一次函数解析式
1.正比例函数
（1）正比例函数 一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
（2）正比例函数必须满足两个条件：①比例系数 k
是常数，且 k≠0；②两个变量 x, y 的次数都是 1.
2.正比例函数的图象
（1）正比例函数的图象 一般地，正比例函数 y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
（2）正比例函数图象的画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y=kx（k≠0）的图象.一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即是正比例函数 y=kx（k≠0）的图象.
2.正比例函数的图象
（3）正比例函数图象的性质 一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象，当 k>0 时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升，随着 x 的增大 y 也增大；当 k<0 时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着 x 的增大 y 反而减小.
3.一次函数
一般地，形如 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数. 当 b=0 时，y=kx+b 即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
说明：正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
4.一次函数的图象和性质
（1）一次函数的图象 一次函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b.
（2）一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象可以看作由直线 y=kx（k≠0）沿着 y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移 个单位长度得到，反之，直线 y=kx 也可以通过沿 y 轴平移直线y=kx+b 得到.
①两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线 y=kx+b （k，b是常数，k≠0） 与两坐标轴的交点，即（0，b）和（- ，0）画直线.
②平移法：一次函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是可由直线 y=kx 沿 y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移 个单位长度得到.
4.一次函数的图象和性质
（3）一次函数图象的画法
一次 函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）
k,b的符号 k>0 k<0
b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0
图象
性质
经过的象 限
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
一、二、三
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
5. 待定系数法求一次函数解析式
（1）设：设出一次函数的解析式 y=kx+b（k≠0）.
（2）列：将已知的两组 x，y 的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于 k ，b 的二元一次方程组.
（3）解：解所列的方程组，求出 k ，b 的值.
（4）代：将求出 k ，b 的值代入所设解析式中，得到 所求一次函数的解析式.
1.下列所有解析式中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A.
B
B.
C.
D.
重难点：正比例函数和一次函数
重点解析
既不是一次函数也不是正比例函数
化简得y=2x，是正比例函数
是一次函数但不是正比例函数
是正比例函数
关系
步骤
①从“数”上看；②从“形”上看.
①转化；②画图象；③找交点.
一次函数与
一元一次方程
关系
步骤
①从“数”上看；②从“形”上看.
①一元一次不等式看与x轴交点；
②一元一次不等式组看两个函数的交点.
一次函数与一元一次不等式
一次函数与二元一次方程组
二元一次方程
二元一次方程组
二元一次方程的解对应一次函数图象上的点坐标.
二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标.
1. 一次函数与一元一次方程
从“数”上看
函数 y=kx+b（k≠0）中，当 y=0时，x 的值.
方程 kx+b=0（k≠0）的解.
从“形”上看
函数 y=kx+b（k≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标.
方程kx+b=0（k≠0）的解.
2. 一次函数与一元一次不等式
从“数”的角度来看
不等式 kx+b>0（k≠0）的解集.
在函数 y=kx+b（k≠0）中，当 y>0 时 x 的取值范围.
不等式 kx+b<0（k≠0）的解集.
在函数 y=kx+b（k≠0）中，当 y<0 时 x 的取值范围.
从“形”的角度来看
不等式 kx+b>0（k≠0）的解集.
直线 y=kx+b（k≠0）在 x 轴上方的部分所对应的 x 的取值范围.
不等式 kx+b<0（k≠0）的解集.
直线 y=kx+b（k≠0）在 x 轴下方的部分所对应的 x 的取值范围.
3. 一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数 y=kx+b 的图象上任意一点的坐标都是关于x，y 的二元一次方程 kx-y+b=0 的解；
以二元一次方程 kx-y+b=0 的解为坐标的点都在一次函数 y=kx+b 的图象上.
（2）二元一次方程组 （a1，a2 ，b1 ，
a1 x+b1 y=c1
a2 x+b2 y=c2
b2 都不为0，且a1，a2 ，b1 ，b2 ，c1，c2 都是常数）的解是一次函数 和 图象的交点坐标.
1.一元一次方程 ax-b=0 的解为 x=5，则函数 y=ax-b 与 x 轴的交点坐标是（ ）.
A.（0，5） B.（0 ，-5）
C
C.（5，0） D.（-5 ，0）
解析：ax-b=0 的解就是当函数 y=ax-b 中 y=0 时 x 的值.
重难点1：一次函数与一元一次方程
重点解析
2.如图，一次函数y=2x+1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积是（ ）.
A. B. C. 2 D.4
A
解析：依据题意可知，当x=0时，y=1； y=0时，x=-. 所以A(-，0)，
B(0，1)，则有OA=，OB=1. 则△AOB的面积是.
已知一次函数 y=ax+b 与 x 轴，y 轴的交点坐标分别是（-2，0），（0，4），则关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是（ ）.
A.x>-2 B. x<-2
A
C.x>4 D.x<4
解析：ax+b>0 的解就是当函数 y=ax+b 中 y>0 时的 x 的取值范围.
重难点2：一次函数与一元一次不等式
重点解析
1.已知一次函数 y=ax+b 与 y=mx+n 的图象如图所示，那么根据图象可以得出二元一次方程组 的解是________.
（-1，0）
y=ax+b
y=mx+n
x=-1，
y=0
x
y
O
重难点3：一次函数与二元一次方程（组）
重点解析
更多同类练习见《教材帮》数学RJ八下19.3节作业帮
2.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中画出相应的两个一次函数的图象，则所解的二元一次方程组是（ ）.
x+y-2=0，
3x-2y-1=0
A.
2x-y-1=0，
3x-2y-1=0
B.
2x-y-1=0，
3x+2y-5=0
C.
x+y-2=0，
2x-y-1=0
D.
解析：根据给出的图象上的点的坐标（0，2），（1，1），（0，-1），分别求出图中两条直线的函数解析式为
y=-x+2， y=2x-1，
即x+y-2=0，2x-y-1=0.
易错警示：不能直接验证直线的交点是否满足二元一次方程组而求解，如本题，不能只将交点P（1，1）代入方程组进行验证，这样不够严谨.
易错警示：不能直接验证直线的交点是否满足二元一次方程组而求解，如本题，不能只将交点P（1，1）代入方程组进行验证，这样不够严谨.
由一次函数图象确定二元一次方程组的方法
解决由一次函数的图象确定二元一次方程组的问题，一般先找到直线所经过的点，然后用待定系数法求出两直线的函数解析式，再结合一次函数与二元一次方程组的关系即得所求的二元一次方程组.
谢谢观看！
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第十九章 一次函数
人教版（2024）数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
变量和常量
定义
判断
方法
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
①变化过程；
②数值是否改变.
知识梳理
函数
概念
判断
方法
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其相对应.
①一个变化过程；
②两个变量；
③数值对应的关系.
函数自变量的取值范围
概念
判断
方法
使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围.
①整式型；②分式型；③根式型；④零次型；⑤实际问题.
函数解析式和函数值
解析式
函数值
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.
对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，b即为函数值.
函数图象
定义
画法
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
①列表；②描点；③连线.
1.常量和变量
（1）在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
（2）判断一个量是常量还是变量的方法
看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变（或者说是否会取不同的数值），若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量.
2.函数的概念
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其相对应，那么我们就说x是自变量，y 是 x 的函数，也称 y 是因变量.
3.函数自变量的取值范围
（1）自变量的取值范围：使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围.
（2）①整式型：等号右边是整式，自变量的取值范围是全体实数.
②分式型：等号右边的自变量在分母的位置上，自变量的取值范围是使分母不为0的实数.
3.函数自变量的取值范围
（2）③根式型：等号右边是开偶次方的式子，自变量的取值范围是使根号下的式子的值大于或等于0的实数.
④零次型：等号右边的自变量的零次幂或负整数次幂，自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数.
4.函数解析式和函数值
（1）函数解析式 ：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.
（2）函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值 a，函数 y 所对应的值为 b，即当 x=a 时，y=b，则 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值.
5. 函数的图象及画法
（1）函数的图象：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
（2）函数图象的画法：①列表；②描点；③连线.
6. 函数的三种表示方法
（1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
（2）解析式法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式法，其中的等式叫做函数解析式.
（3）图象法：用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法.
1.下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）.
A.圆的半径与圆的面积
B.正方形的周长与正方形的边长
C.在汽车速度一定的情况下，时间与路程
D.等腰三角形的底边长与面积
D
重难点1：变量与函数
重点解析
分析：等腰三角形的面积等于底乘高，还有一个量不确定.
2.函数 中，自变量 x 的取值范围是多少？
解：由函数的形式可知中 x-2≥0 并且 作为分母必须满足≠0.
解得x>2.
所以函数中自变量x的取值范围是 x>2.
小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时间后到达学校，小刚从家到学校行驶路程 s（单位：m）与时间 t（单位：min）之间的函数关系的大致图象是（ ）.
B
重难点2：函数图象及其应用
重点解析
易错警示：
小刚在匀速步行到车站的过程中，s 逐渐变大；
在等公交车的过程中，s 不变；
在乘坐公交车的过程中，s 逐渐变大.
根据实际情境确定函数图象的技巧
（1）自变量变化而函数值不变的图象用水平线段表示；
（2）自变量的变化量相同，而函数值变化越大的
函数图象与 x 轴所成的锐角就越大；
（3）注意确定函数图象的最低点和最高点.
1.求下列函数的自变量的取值范围.
（1）
（2）
（3）
（4）
x≠0.
x≠-1.
x≥2.
x 为任意实数.
深化练习
2.周日下午，小红和小兰相约在某公交车站一起乘车回学校，小红从家出发先步行到车站，等小兰到车站后两人一起乘公交车回到学校.下图表示小红离开家的路程 y（千米）和所用的时间 x（分钟）之间的函数关系.下列哪个说法是错误的（ ）.
A.小红从家到公交车站步行了2千米.
B.小红乘坐公交车用了30分钟.
C.小红在公交车站等小兰用了10分钟.
D.公交车的平均速度是34千米/小时.
y（千米）
x（分）
O
20
30
60
2
17
解：从图上来看，小红出发20分钟后小红从家走到了公交车站，路程变化为2千米；20分~30分之间小红离开家的路程未发生变化，说明此阶段是
在公交车站等小兰；30分~ 60分小
红和小兰一起乘坐公交车到达学校，
用时30分钟，路程为15千米.公交车
速度为15÷0.5=30 （千米/时）.
故选D.
更多同类练习见RJ八下《教材帮》第19章章末提升
正比例函数
定义
注意
一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
①比例系数 k 是常数，且 k≠0；
②两个变量 x，y 的次数都是 1.
知识梳理
正比例函数的图象和性质
定义
画法
一般地，正比例函数 y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线.
性质
① k>0，随着 x 的增大 y 也增大 ；
② k<0，随着 x 的增大 y 反而减小.
一次函数
定义
注意
一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
① k 是常数，且 k≠0；
②正比例函数是特殊的一次函数.
一次函数的图象
定义
画法
一次函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
①两点法：两点确定唯一一条直线.②平移法：由直线y=kx向上或向下平移.
一次函数的性质
当 k>0，b>0 时，图象经过第一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大
当 k>0，b<0 时，图象经过第一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大
当 k<0，b>0 时，图象经过第一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小
当 k<0，b<0 时，图象经过第二、三、四象限，y 随 x 的增大而减小
一次函数的解析式
待定系数法
应用
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法.
①设；②列；③解；④代.
步骤
①已知一次函数解析式
②题目中未给出一次函数解析式
1.正比例函数
（1）正比例函数 一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
（2）正比例函数必须满足两个条件：①比例系数 k
是常数，且 k≠0；②两个变量 x, y 的次数都是 1.
2.正比例函数的图象
（1）正比例函数的图象 一般地，正比例函数 y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
（2）正比例函数图象的画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 y=kx（k≠0）的图象.一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即是正比例函数 y=kx（k≠0）的图象.
2.正比例函数的图象
（3）正比例函数图象的性质 一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象，当 k>0 时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升，随着 x 的增大 y 也增大；当 k<0 时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着 x 的增大 y 反而减小.
3.一次函数
一般地，形如 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数. 当 b=0 时，y=kx+b 即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
说明：正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
4.一次函数的图象和性质
（1）一次函数的图象 一次函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b.
（2）一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象可以看作由直线 y=kx（k≠0）沿着 y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移 个单位长度得到，反之，直线 y=kx 也可以通过沿 y 轴平移直线y=kx+b 得到.
①两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线 y=kx+b （k，b是常数，k≠0） 与两坐标轴的交点，即（0，b）和（- ，0）画直线.
②平移法：一次函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是可由直线 y=kx 沿 y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移 个单位长度得到.
4.一次函数的图象和性质
（3）一次函数图象的画法
一次 函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）
k,b的符号 k>0 k<0
b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0
图象
性质
经过的象 限
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
一、二、三
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
5. 待定系数法求一次函数解析式
（1）设：设出一次函数的解析式 y=kx+b（k≠0）.
（2）列：将已知的两组 x，y 的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于 k ，b 的二元一次方程组.
（3）解：解所列的方程组，求出 k ，b 的值.
（4）代：将求出 k ，b 的值代入所设解析式中，得到 所求一次函数的解析式.
1.下列所有解析式中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A.
B
B.
C.
D.
重难点：正比例函数和一次函数
重点解析
既不是一次函数也不是正比例函数
化简得y=2x，是正比例函数
是一次函数但不是正比例函数
是正比例函数
关系
步骤
①从“数”上看；②从“形”上看.
①转化；②画图象；③找交点.
一次函数与
一元一次方程
关系
步骤
①从“数”上看；②从“形”上看.
①一元一次不等式看与x轴交点；
②一元一次不等式组看两个函数的交点.
一次函数与一元一次不等式
一次函数与二元一次方程组
二元一次方程
二元一次方程组
二元一次方程的解对应一次函数图象上的点坐标.
二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标.
1. 一次函数与一元一次方程
从“数”上看
函数 y=kx+b（k≠0）中，当 y=0时，x 的值.
方程 kx+b=0（k≠0）的解.
从“形”上看
函数 y=kx+b（k≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标.
方程kx+b=0（k≠0）的解.
2. 一次函数与一元一次不等式
从“数”的角度来看
不等式 kx+b>0（k≠0）的解集.
在函数 y=kx+b（k≠0）中，当 y>0 时 x 的取值范围.
不等式 kx+b<0（k≠0）的解集.
在函数 y=kx+b（k≠0）中，当 y<0 时 x 的取值范围.
从“形”的角度来看
不等式 kx+b>0（k≠0）的解集.
直线 y=kx+b（k≠0）在 x 轴上方的部分所对应的 x 的取值范围.
不等式 kx+b<0（k≠0）的解集.
直线 y=kx+b（k≠0）在 x 轴下方的部分所对应的 x 的取值范围.
3. 一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数 y=kx+b 的图象上任意一点的坐标都是关于x，y 的二元一次方程 kx-y+b=0 的解；
以二元一次方程 kx-y+b=0 的解为坐标的点都在一次函数 y=kx+b 的图象上.
（2）二元一次方程组 （a1，a2 ，b1 ，
a1 x+b1 y=c1
a2 x+b2 y=c2
b2 都不为0，且a1，a2 ，b1 ，b2 ，c1，c2 都是常数）的解是一次函数 和 图象的交点坐标.
1.一元一次方程 ax-b=0 的解为 x=5，则函数 y=ax-b 与 x 轴的交点坐标是（ ）.
A.（0，5） B.（0 ，-5）
C
C.（5，0） D.（-5 ，0）
解析：ax-b=0 的解就是当函数 y=ax-b 中 y=0 时 x 的值.
重难点1：一次函数与一元一次方程
重点解析
2.如图，一次函数y=2x+1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积是（ ）.
A. B. C. 2 D.4
A
解析：依据题意可知，当x=0时，y=1； y=0时，x=-. 所以A(-，0)，
B(0，1)，则有OA=，OB=1. 则△AOB的面积是.
已知一次函数 y=ax+b 与 x 轴，y 轴的交点坐标分别是（-2，0），（0，4），则关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是（ ）.
A.x>-2 B. x<-2
A
C.x>4 D.x<4
解析：ax+b>0 的解就是当函数 y=ax+b 中 y>0 时的 x 的取值范围.
重难点2：一次函数与一元一次不等式
重点解析
1.已知一次函数 y=ax+b 与 y=mx+n 的图象如图所示，那么根据图象可以得出二元一次方程组 的解是________.
（-1，0）
y=ax+b
y=mx+n
x=-1，
y=0
x
y
O
重难点3：一次函数与二元一次方程（组）
重点解析
更多同类练习见《教材帮》数学RJ八下19.3节作业帮
2.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中画出相应的两个一次函数的图象，则所解的二元一次方程组是（ ）.
x+y-2=0，
3x-2y-1=0
A.
2x-y-1=0，
3x-2y-1=0
B.
2x-y-1=0，
3x+2y-5=0
C.
x+y-2=0，
2x-y-1=0
D.
解析：根据给出的图象上的点的坐标（0，2），（1，1），（0，-1），分别求出图中两条直线的函数解析式为
y=-x+2， y=2x-1，
即x+y-2=0，2x-y-1=0.
易错警示：不能直接验证直线的交点是否满足二元一次方程组而求解，如本题，不能只将交点P（1，1）代入方程组进行验证，这样不够严谨.
易错警示：不能直接验证直线的交点是否满足二元一次方程组而求解，如本题，不能只将交点P（1，1）代入方程组进行验证，这样不够严谨.
由一次函数图象确定二元一次方程组的方法
解决由一次函数的图象确定二元一次方程组的问题，一般先找到直线所经过的点，然后用待定系数法求出两直线的函数解析式，再结合一次函数与二元一次方程组的关系即得所求的二元一次方程组.
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