2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数定值定点问题（含解析）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数定值定点问题
1．综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3），点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：mn是一个定值．
2．已知二次函数y＝ax2+6的图象经过点P（4，2），直线AB与抛物线相交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若直线AB的解析式为y＝kx﹣4k﹣3，且△PAB的面积为35，求k的值；
（3）如图2，若∠APB＝90°，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标．
3．已知如图1，平面直角坐标系中，O为原点，经过点（4，﹣8）的抛物线交x轴正半轴于点A（12，0），与直线l1：y＝﹣x+p有两个交点B，C，它们的横坐标为m，n（m＜n），且n﹣m＝4．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图2，将抛物线C1的顶点平移到原点O，得新抛物线L2，直线l2：y＝k（x+2）+1（k＜0）交抛物线L2于点D，E（点E横坐标小于﹣2），若l1与l2的交点为F，过点F作y轴平行线交抛物线L2于点G，试说明直线EG总经过定点，并求这个定点的坐标．
4．如图，二次函数y＝x2+2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线的顶点为点D．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），连接AD，BD，点P为抛物线上一点，使，求点P的坐标；
（3）如图（2），过定点H（﹣2，﹣1）的直线与抛物线相交于M，N两点（点M在y轴左侧，点N在y轴右侧），过点M的直线y＝﹣2x+b与抛物线交于点Q，求证：直线NQ必过定点．
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3）．
（1）直接写出此抛物线的解析式为 　 　；
（2）如图1，在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△ACP为锐角三角形？若存在，求点P横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，E、F、G为抛物线上的点，且AF、EG交y轴于点（0，1），点P是直线EF和直线AG的交点，当点E在抛物线上运动（不与A、F重合）时，点P是否在定直线上运动？若是，求出此直线解析式；若不是，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（6，0），B（0，2），D（4，2）三点，且与x轴交于另一点F．
（1）求抛物线的对称轴方程；
（2）如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接BC，直线BC交抛物线于另一点H，P为直线BC下方抛物线上的点，连接DH、HP，若∠DHB＝∠BHP，求P点坐标；
（3）如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线y＝mx+n（n＞0）与抛物线交于第四象限内一点N，连接FM、FN，分别交y轴于点D、E，且|OD| |OE|＝4，求证：直线MN恒经过一定点，并求出定点坐标．
7．已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
8．如图1、抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是x轴上一动点，将顶点D绕点P顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标；
（3）如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线BG、BH与y轴分别交于S，T两点，若OS OT＝9，试探究直线GH是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是，请说明理由．
9．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，PD⊥BC于点D，求PD的最大值；
（3）如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y＝2x﹣9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．
10．已知抛物线G1：ybx+c的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C（0，2），点B（0，﹣2）为y轴上一点．
（1）求抛物线G1的解析式；
（2）如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且∠ABE∠BAC，BE与x轴交于点D，求点E的横坐标；
（3）点P是G1上的一个动点，连接BP，取BP的中点P′，设点P′构成的曲线是G2，直线y＝m与G1，G2的交点从左至右依次为P1，P2，P3，P4，则P3P4﹣P1P2是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
11．抛物线y＝ax2+2ax+3（a＜0）交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）已知AB＝4．
①如图1，点D在第二象限抛物线上，BD交AC于点E．若BE＝2DE，求点D的坐标；
②如图2，过点T（﹣1，t）（t＞0）分别作直线l1：y＝k1x+b1（k1＞0）和直线l2：y＝k2x+b2（k2＜0），直线l1交抛物线于F，G两点，直线l2交抛物线于M，N两点．设线段FG，MN的中点分别为P，Q，若k1 k2＝﹣2t，且k1+k2≠0，求证：直线PQ必经过一定点．
12．如图1，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）点P是抛物线上的一点，当∠BCP＝45°时，求点P的坐标；
（3）如图2，将直线AC向下平移与抛物线交于M、N两点，直线AM、CN交于Q点，请问点Q的横坐标是否为定值，并说明理由．
13．如图1，已知y＝ax2﹣bx﹣3a过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在第一象限抛物线上是否存在一点P，使得∠PAB+∠BCO＝45°，请求出P点的坐标；
（3）如图2所示，对称轴交x轴于点M，顶点为点D，在第二象限抛物线上有一动点Q，直线AQ，BQ与对称轴分别相交于点E、F，当点Q运动时，试探究的值是否为一个定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
14．抛物线y＝x2﹣6x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝x2﹣6x沿x轴水平向左平移a个单位（a＞0），新的抛物线与x轴交于E，F两点．点M为第一象限抛物线上的一个动点，连接EM，作EM关于x轴对称的直线EN交抛物线于点N，连接MN，过F点作y轴的平行线HF交MN于点H，当M点运动时，的值是否变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
15．已知抛物线L：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+1（m为常数），顶点为M．
（1）求M的坐标（用含m的式子表示）；
（2）若抛物线L与直线y＝x有唯一公共点P，求PM的长．
（3）如图，若抛物线L的对称轴为y轴，顶点为C，过y轴正半轴上一定点F（点F在点C上方）的任意直线交抛物线L于点A，B，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点D，E，连OA，OB．
①直接写出抛物线L的解析式；
②若记△AOB，△AOD，△BOE的面积分别为S1，S2，S3，当为定值时，求定点F坐标．
参考答案
1．【解答】（1）解：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3），把点A（﹣3，0）和点B（0，3）的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：如下图所示，过点P作PH∥y轴，交AB于点H，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A和点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为﹣x2﹣2x+3，
∴点H的横坐标为x，点H的纵坐标为x+3，
∴PH＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∵S△APB＝S△APH+S△BPH，
整理得：S△APBx，
∴可知当时，△APB的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点P的坐标为；
（3）证明：设直线MN的解析式为y＝hx，
解方程组，
可得：﹣x2﹣2x+3＝hx，
整理得：x2+（2+h）x﹣3＝0，
一元二次方程x2+（2+h）x﹣3＝0中，
Δ＝b2﹣4ac＝（2+h）2+12＞0，
∴一元二次方程x2+（2+h）x﹣3＝0有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为m、n，
则有，
∴mn是一个定值．
2．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+6的图象经过点P（4，2），
∴16a+6＝2，
解得a，
∴抛物线的解析式为：yx2+6；
（2）已知直线AB的解析式为y＝kx﹣4k﹣3，
令x＝4，则y＝﹣3，
∴直线AB过定点D（4，﹣3），
∵P（4，2），
∴PD∥y轴，PD＝5，
∴S△ABP PD |xB﹣xA|＝35，
∴|xB﹣xA|＝14，
令x2+6＝kx﹣4k﹣3，整理得x2+4kx﹣16k﹣36＝0，
∴xB+xA＝﹣4k，xB xA＝﹣16k﹣36，
∴|xB﹣xA|2＝（xB+xA）2﹣4xB xA＝142，
整理得16k2+64k﹣52＝0，
解得k＝﹣2或k＝﹣2；
（3）设A（m，m2+6），B（n，n2+6），如图2，过点P作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，
∵∠APB＝90°，△PAN∽△BPM，
∴AN：PM＝PN：BM，
∴，即，
∴（m+4）（n+4）＝﹣16，
∴mn+4（m+n）+32＝0①，
联立方程组，
∴x2+tx+b﹣6＝0，
∴m+n＝﹣4t，mn＝4b﹣24②，
将②代入①，得化简，得
b＝4t﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝tx+4t﹣2，即y＝t（x+4）﹣2，
∴直线AB经过定点C（﹣4，﹣2）．
3．【解答】解：（1）∵抛物线经过点（4，﹣8）和点（12，0），
∴，
解得：，
∴抛物线C1的解析式为yx2﹣3x；
（2）∵抛物线与直线l1：y＝﹣x+p有两个交点B，C，它们的横坐标为m，n（m＜n），
联立得：x2﹣3x＝﹣x+p，
整理得：x2﹣8x﹣4p＝0，
∴m+n＝8，
又∵n﹣m＝4，
∴m＝2，n＝6，
∴B（2，﹣5），C（6，﹣9），
把B（2，﹣5）代入y＝﹣x+p，得：﹣5＝﹣2+p，
解得：p＝﹣3，
∴直线l1：y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，
解得：x＝﹣3，
∴直线l1：y＝﹣x﹣3与x轴交于点M（﹣3，0），如图，
∵A（12，0），B（2，﹣5），C（6，﹣9），
∴AM＝12﹣（﹣3）＝15，
∴S△ABC＝S△ACM﹣S△ABMAM |yC|AM |yB|15×915×5＝30；
（3）∵抛物线C1：yx2﹣3x（x﹣6）2﹣9，顶点坐标为（6，﹣9），将抛物线C1的顶点平移到原点O，得新抛物线L2，
∴新抛物线L2：yx2，
联立直线l2与新抛物线的解析式，得x2＝k（x+2）+1，
解得：xD＝﹣2，xE＝4k+2，
联立直线l1与l2的解析式，得：k（x+2）+1＝﹣x﹣3，
解得：x，
∵FG∥y轴，交抛物线L2于点G，
∴G（，），
设直线EG的解析式为：y＝k′x+b′，则x2＝k′x+b′，
整理得：x2﹣4k′x﹣4b′＝0，
∴xE+xG＝4k′，xE xG＝﹣4b′，
∴k′（xE+xG）（4k+2），
b′xE xG（4k+2）（），
∴直线EG的解析式为yx，
当x＝﹣2时，y（﹣2）3，
∴直线EG经过定点（﹣2，3）．
4．【解答】（1）对于y＝x2+2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，令y＝0，则x＝1或﹣3，
则点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）；
（2）由抛物线的表达式知，点D（﹣1，﹣4），
过点D作DE∥y轴交x轴于点E，
由函数的对称性值，∠ADE∠ADB，
由点A、D的坐标得，tan∠ADEtan∠PAO，
则直线PA的表达式为：y＝±（x+3），
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3±（x+3），
解得：x＝﹣3（舍去）或或，
即点P（，）或（，）；
（3）证明：设M（p，p2+2p﹣3），N（q，q2+2q﹣3），
由点M、N的坐标得，直线MN解析式为y＝（p+q+2）x﹣pq+3，
∵直线MN过定点（﹣2，﹣1），
∴﹣2（p+q+2）﹣pq﹣3＝﹣1，
∴pq＝﹣2p﹣2q+6，
∵直线y＝﹣2x+b过M（p，p2+2p﹣3），
∴P2+2P﹣3＝﹣2P+b，
∴b＝P2+4q﹣3，
∴y＝﹣2x﹣P2+4P﹣3，
由﹣2x﹣P2+4P﹣3＝﹣x2+2x+3得：x＝P或x＝﹣P﹣4，
∴G（﹣P﹣4，P2+6P+5），
由N、Q的坐标得，直线NQ解析式为y＝（﹣p﹣4+q+2）x﹣（﹣p﹣4）q﹣3，
∵pq＝﹣2p﹣2q+6，
则y＝（﹣p+q﹣2）x﹣2p+2q﹣9，
当x＝﹣2时，y＝﹣2（﹣p+q﹣2）﹣2p+2q﹣9＝﹣5，
∴直线MG必过定点（﹣2，﹣5）．
5．【解答】解：（1）由题意可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3），得3＝a×1×（﹣3），解得a＝﹣1，
∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在点P，使得△ACP为锐角三角形，理由如下：
作P'C⊥AC于点C交抛物线于点P'，过点C作DE∥x轴，P'E⊥DE于点E，AD⊥DE于点D，如图1所示，
设P'（m，﹣m2+2m+3），
∵∠DCA+∠ECP'＝90°，∠DCA+∠DAC＝90°，
∴∠ECP'＝∠DAC，
从而tan∠ECP'＝tan∠DAC，即，
∴，解得m或0（舍去）；
作P''A⊥CA于点A交抛物线于点P''，作P''F⊥DA的延长线于点F，
设P''（m，﹣m2+2m+3），
同理可证tan∠AP''F＝tan∠DAC，即，
∴，解得m，
故点P横坐标的取值范围为．
（3）解法一（点参法）：
∵A（﹣1，0），H（0，1），
∴由待定系数法可得直线AG的解析式为y＝x+1，
与抛物线y＝﹣x2+2x+3联立可得x+1＝﹣x2+2x+3，解得xF＝2，
故F（2，3）．
设E（m，﹣m2+2m+3），G（n，﹣n2+2n+3），A（﹣1，0），
则由待定系数法可得直线EG的解析式为y＝（2﹣m﹣n）x+3+mn，
∵直线EG过点H（0，1），
∴1＝3+mn，mn＝﹣2，
同理得直线AG的解析式为y＝（3﹣n）x+3﹣n，
直线EF的解析式为y＝﹣mx+2m+3，
联立直线AG与直线EF得﹣mx+2m+3＝（3﹣n）x+3﹣n，
得x，即xP，
∴yP＝（3﹣n）（x+1）
＝（3﹣n）
＝5+2xP．
故点P在直线y＝2x+5上．
解法二（线参法）：
∵直线EF过点F（2，3），直线AG过点A（﹣1，0），
故设直线EF解析式为y＝k（x﹣2）+3，直线AG解析式为y＝m（x+1），
联立直线EF和抛物线y＝﹣x2+2x+3，可得x2+（k﹣2）x﹣2k＝0，由韦达定理知xE+2＝2﹣k，
故xE＝﹣k，则E（﹣k，﹣k2﹣2k+3），
联立直线AG与抛物线y＝﹣x2+2x+3，可得x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0，由韦达定理知xG+（﹣1）＝2﹣m，
故xG＝3﹣m，则G（3﹣m，﹣m2+4m），
由待定系数法可得直线EG的解析式为y＝（k+m﹣1）x+k（m﹣3）+3，
又∵直线EG过点H（0，1），
则k（m﹣3）+3＝1，即km＝3k﹣2，
联立直线EF与直线AG，可得（k﹣m）x＝m+2k﹣3，解得x，
即xP，
故yP＝m（x+1）
＝m
＝5+2xP，
故点P在直线y＝2x+5上．
6．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过B（0，2），D（4，2），
∴抛物线的对称轴方程为直线x．
（2）∵对称轴为直线x，
∴b＝﹣4a，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+2，代入点A（6，0），得6a＝﹣1，
解得a，
∴抛物线解析式为yx2x+2．
∵点C为抛物线对称轴与x轴的交点，
∴C（2，0），
又∵B（0，2），
由待定系数法可知直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
联立y＝﹣x+2与yx2x+2，得x2﹣10x＝0，
解得x＝10或0（舍去），
即H（10，﹣8）．
如图1所示，设PH交y轴于点F，
∵OB＝OC＝2，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵BD∥OC，
∴∠DBC＝∠OCB＝45°，
当∠DHB＝∠BHP时，
在△BFH和△BDH中，
∵，
∴△BFH≌△BDH（ASA），
∴BF＝BD＝4，
故F（0，﹣2），
则由待定系数法可得直线HF的解析式为y，
联立直线HF解析式与抛物线解析式可得5x2﹣38x﹣120＝0，
解得x＝10或，
故P点坐标为（，）．
（3）证明：如图2所示，设M（m，），N（n，），
故由待定系数法可得直线MN的解析式为y＝[（m+n）]x2．
∵A（6，0），再由抛物线对称性可知F（﹣2，0），
同理可得直线FM的解析式为y＝[（m﹣2）]x+2，
则OD2，
同理可得直线FN的解析式为y＝[（n﹣2）]x+2，
则OE，
∵|OD| |OE|＝4，即（2）（）＝4，化简整理可得（6﹣m）（n﹣6）＝36，
进而可得mn＝6（m+n）﹣72①，
把①式代入直线MN的解析式中，得：
y＝[（m+n）]x2
＝[（m+n）]x
，
令，解得x＝6，此时y＝﹣6，
故直线MN恒过定点（6，﹣6）．
7．【解答】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，
则c＝9，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9；
（2）证明：令y＝﹣x2+9，则x＝±3，则点B（3，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P、Q、D的表达式分别为：（x1，9）、（x2，9）、（x1，﹣x1+3），
则S△PDQPD×（xQ﹣xP）（9+x1﹣3）（x2﹣x1）（x1+6），
同理可得：S△ADCCD×（xD﹣xA）（x1+6），
则3为定值；
（3）解：点P、Q的坐标分别为：（x1，9）、（﹣2x1，﹣49），
由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）9＝xx1﹣29，
则MN＝yM＝（x1﹣1）x1﹣29＝﹣（x1）2，
故MN的最大值为：．
8．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（t，0），过点E作EF⊥x轴于点F，设抛物线的对称轴交x轴于点K，如图1，
则∠DKP＝∠PFE＝90°，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），K（1，0），
∴PK＝1﹣t，DK＝4，
设E（e，﹣e2+2e+3），则F（e，0），
∴EF＝﹣（﹣e2+2e+3）＝e2﹣2e﹣3，PF＝e﹣t，
由旋转得：PE＝PD，∠DPE＝90°，
∴∠DPK+∠EPF＝90°，
∵∠DPK+∠PDK＝90°，
∴∠EPF＝∠PDK，
∴△PEF≌△DPK（AAS），
∴EF＝PK，PF＝DK，
∴，
解得：，，
∴点P的坐标为（，0）或（，0）；
（3）直线GH经过定点（﹣1，1）．理由如下：
设G（m，﹣m2+2m+3），H（n，﹣n2+2n+3），
设直线GH的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线GH的解析式为y＝（﹣m﹣n+2）x+mn+3，
同理可得：直线BG的解析式为y＝﹣（m+1）（x﹣3），
直线BH的解析式为y＝﹣（n+1）（x﹣3），
令x＝0，则yS＝3（m+1），yT＝3（n+1），
∴OS＝3（m+1），OT＝3（n+1），
∵OS OT＝9，
∴3（m+1）×3（n+1）＝9，
∴m+n＝﹣mn，
代入直线GH的解析式得y＝（mn+2）x+mn+3，
∵当x＝﹣1时，y＝1，
∴直线GH经过定点（﹣1，1）．
9．【解答】（1）解：对于y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）；
（2）解：过点P作PE⊥x轴于E，交BC于点F，如图1：
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则F（x，x﹣3），
∴PF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵PE⊥x轴，
∴PE∥y轴，
∴∠PFD＝∠BCO，
∵∠PDF＝∠BOC＝90°，
∴△PDF∽△BCO，
∴，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝3，OC＝3，
∴BC＝3，
∴，
∴PDx2x，
∴当x时，PD最大为；
（3）证明：如图2，设点M（xM，yM），N（xN，yN），
直线MN：y＝k′x+b′，直线CM：y＝k1x+b1，直线BN：y＝k2x+b2，
将点C（0，﹣3）代入直线CM的解析式得：b1＝﹣3，
将点B（3，0）代入直线BN的解析式得：b2＝﹣3k2，
联立直线MN与抛物线的解析式得：，
整理得：x2﹣（k′+2）x﹣b′﹣3＝0，
则xM+xN＝k′+2，xM xN＝﹣b′﹣3，
同理：xM+xC＝k1+2，xN+xB＝k2+2，
∵xC＝0，xB＝3，
∴xM＝k1+2，xN＝k2﹣1，
∴k′＝xM+xN﹣2＝k1+2+k2﹣1﹣2＝k1+k2﹣1，
b′＝﹣xM xN﹣3＝﹣（k1+2）（k2﹣1）﹣3＝﹣k1k2﹣2k2+k1+2﹣3＝﹣k1k2﹣2k2+k1﹣1，
联立直线CM与直线BN的解析式得：，
解得：，
∵直线BN与直线CM的交点始终在直线y＝2x﹣9上，
∴29，
化简得：k1k2＝3k1﹣2，
∴b′＝﹣k1k2﹣2k2+k1﹣1＝﹣3k1+2﹣2k2+k1﹣1＝﹣2k1﹣2k2+1＝﹣2（k1+k2）+1＝﹣2（k′+1）+1＝﹣2k′﹣1，
∴直线MN：y＝k′x﹣2k′﹣1＝k′（x﹣2）﹣1，
∴不论k′为何值，均有x＝2时，y＝﹣1，
即：直线MN恒过定点P（2，﹣1）．
10．【解答】解：（1）将点A（4，0），C（0，2）代入抛物线G1，
得到，
解得，
∴抛物线G1的解析式为，
（2）∵A（4，0），B（0，﹣2），C（0，2），
∴OA＝4，OB＝OC＝2，
又∵OA⊥BC，
∴AC＝AB，
∴OA平分∠BAC，
∵，
∴∠ABE＝∠OAB，
∴BD＝AD，
设OD＝m，则AD＝BD＝4﹣m，
在Rt△OBD中，OD2+OB2＝BD2，
∴m2+22＝（4﹣m）2，
解得，，
∴，
设直线BD解析式为y＝kx﹣2，代入点D，则，
解得，
∴直线BD解析式为，
联立抛物线G1与直线BD，
∴，
得，x2＝﹣6（舍去），
∴点E的横坐标为；
（3）P3P4﹣P1P2为定值，理由如下：
设点P′（x，y），作P′M⊥y轴于M，作PN⊥y轴于N，则P′M∥PN，M（0，y），如图2，
又∵P′为PB中点，
∴P′M为△PBM中位线，
∴PN＝2P′M，M为BN中点，
∴xP＝2x，yP﹣y＝y﹣（﹣2），
∴yP＝2y+2，
∴P（2x，2y+2），
将点P代入抛物线G1，
∴，
化简得，
设P1，P2，P3，P4的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，
则P3P4﹣P1P2＝（x4﹣x3）﹣（x2﹣x1）＝（x4+x1）﹣（x2+x3），
由得x4+x1＝2，
由得x2+x3＝1，
∴P3P4﹣P1P2＝2﹣1＝1定值．
11．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+3
∴抛物线的对称轴为：直线 x1；
（2）①过点D作DP∥y轴交AC于点P，过点B作BQ∥y轴交AC的延长线于点Q．
∴DP∥BQ，
∴△DPE∽△BQE，
∴，
∵BE＝2DE，
∴BQ＝2DP，
∵AB＝4，抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴a＝﹣1，AC：y＝x+3，
∴Q（1，4），
∴BQ＝4，DP＝2，
设D（t，﹣t2﹣2t+3），则P（t，﹣t2﹣2t+1），
∵直线y＝x+3经过点P，
∴t+3＝﹣t2﹣2t+1，
解得：t1＝﹣1，t2＝﹣2，
∴D点的坐标为（﹣1，4）或 （﹣2，3）；
②联立得x2+（k1+2）x+b1﹣3＝0，
∴xF+xG＝﹣k1﹣2，
∴，
联立得x2+（k2+2）x+b2﹣3＝0，
同理可得：，
∵l1，l2经过点T（﹣1，t），
∴﹣k1+b1＝t，﹣k2+b2＝t，
即：b1＝k1+t，b2＝k2+t，
∴l1：y＝k1x+k1+t+t，l2：y＝k2x+k2+t，
∴，Q（），
∵k1 k2＝﹣2t，
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线PQ的解析式为y＝（k1+k2）x+（k1+k2），
∴直线PQ恒过定点（﹣1，0）．
12．【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2+3x﹣4①；
（2）由抛物线的表达式知，点B（1，0），
则tan∠OBC＝4，
设直线CP交x轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
在△BCH中，BC，
设HN＝4x＝CN，则HN＝x，
则BHx，BC＝BN+CN＝5x，
则x，则BHx，
则点H（，0），
由点C、H得，直线CH的表达式为：yx﹣4②，
联立①②得：x2+3x﹣4x﹣4，
解得：x＝0（舍去）或，
则点P（，）；
（3）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
则设直线MN的表达式为：y＝﹣x+t③，
联立①③并整理得：x2+4x﹣（t+4）＝0，
则m+n＝﹣4，
设点M、N的坐标分别为：（m，m2+3m﹣4）、（n，n2+3n﹣4），
由点A、M得，直线AM的表达式为：y＝（m﹣1）（x+4），
同理可得，直线CN的表达式为：y＝（n+3）x﹣4，
联立上述两式得：（m﹣1）（x+4）＝（n+3）x﹣4，
解得：x2．
即Q的横坐标是否为定值，为﹣2．
13．【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AP交y轴于点H，过点H作HN⊥AC于点N，
在Rt△OCB中，tan∠OCB，
由OC＝OA＝3知，∠ACH＝45°＝∠CAO，
∵∠HAO+∠CAO＝45°，∠PAB+∠BCO＝45°，
∴∠CAH＝∠OCB，则tan∠CAH＝tan∠OCB，
在△ACH中，∠ACH＝45°，tan∠CAH＝tan∠OCB，AC＝3，
故设NH＝x＝CN，则AH＝3x，CHx，
则AC＝4x＝3，则x，
则CHx，则点H（0，），
由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：yx，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2﹣2x+3x，
解得：x＝﹣3（舍去）或，
即点P（，）；
（3）是定值，理由：
由抛物线的表达式知，点D（﹣1，4），即MD＝4，
设点Q（m，﹣m2﹣2m+3），
由点A、Q的坐标得，直线AQ的表达式为：y＝（1﹣m）（x+3），
则点E（﹣1，2﹣2m），
同理可得：点F（﹣1，2m+6），
则ME+MF＝2m+6+2﹣2m＝8，
则2为定值．
14．【解答】解：（1）联立两个函数表达式得：x2﹣6x＝x，
解得：x＝7，即B（7，7）；
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝3，
当x＝3时，y＝x2﹣6x＝9，即D（3，﹣9）；
（2）如图，过点D作 DE⊥y轴于点E，
∴DE＝3，OE＝9，
∴，
∵，
∴∠DOE＝∠PDO，
①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图，
∴P（3，0），
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG 是等腰三角形，
∴OG＝DG，设OG＝t，则 DG＝t，GE＝9﹣t，
在Rt△DGE 中，t2＝32+（9﹣t）2，
解得t＝5，
∴G（0，﹣5），
∴直线DG的解析式为：
令y＝0，则
解得 ，
综上，点P的坐标为（3，0）或 ；
（3）的值不变，理由如下：
由E（﹣a，0），F（6﹣a，0）知平移后的新的抛物线解析式为：y＝（x+a）（x+a﹣6），
设直线EM的解析式为：y＝k（x+a）
令（x+a）（x+a﹣6）＝k（x+a），
解得：xE＝﹣a，xM＝k﹣a+6，
同理可得：xN＝﹣k﹣a+6，
延长HF，过M，N分别作 MQ⊥FQ，NP⊥FP，垂足分别为Q，P，
∴QM＝k﹣a+6﹣（6﹣a）＝k，
PN＝6﹣a﹣（﹣k﹣a+6）＝k，
∴QM＝PN，
由△MQH∽△NPH 得：．
15．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣m+1＝（x﹣m）2+（1﹣m），
∴M的坐标是（m，1﹣m）；
（2）抛物线L与直线y＝x有唯一公共点P，依题意得：
，
∴x2﹣2mx+m2﹣m+1＝x，
∴x2﹣（2m+1）x+m2﹣m+1＝0，
∴Δ＝0，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣m+1）＝0，
解得：，
∴M的坐标是，
当时，，
∴点P的坐标是，
∴；
（3）①∵抛物线的对称轴是y轴，
∴m＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2+1；
②设过点F的直线解析式为：y＝kx+b，
由得：x2﹣kx+1﹣b＝0，
∴xA+xB＝k，xA xB＝1﹣b，
记△AOB，△AOD，△BOE的面积分别为S1，S2，S3，
∵，
，
设，
整理得：（4﹣S） （1﹣b）b2＝[S（1﹣b）+b2] k2，
∵S是定值，b是定值，
∴4﹣S＝0，[S（1﹣b）+b2] k2＝0，
∴S＝4，4（1﹣b）+b2＝0，
∴b＝2，
∴F（0，2）．
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