2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中面积最大问题（含解析）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中面积最大问题
1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）P是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点P，使△BPC面积S的最大，若存在，请求出最大值及此时P点的坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（4，5），已知抛物线的顶点D的横坐标是1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
（3）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试在线段BC上方抛物线上找一点P，使得△PBC的面积最大，求出最大面积是多少？
（3）直线BC上是否存在两点M、N，使得△MON为以MN为斜边的等腰直角三角形，若存在，请说明理由，并求点M的坐标．
4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（6，0）、C（0，6），点M是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．设点P的横坐标为n，△PCD的面积为S．
①求S与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围；
②求S的最大值．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+3与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当﹣2≤x≤1时，求y的最大值与最小值的差；
（3）D为直线AB上方抛物线上一动点，连接DA、DB、DC、BC，设△DAB的面积为S1，△DBC的面积为S2，求S1+S2的最大值，并求出点D的坐标．
6．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣6），与直线y＝x﹣3交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；
（2）当点P位于直线BD下方时，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若△AHP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．点M在线段BC上，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△BCD面积的最大值；
（3）若点N是平面直角坐标系中的一点，以C，D，M，N为顶点的四边形是正方形，求点N的坐标．
8．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴另一交点为A．
（1）直接写出抛物线的解析式 　 　，点A的坐标 　 　；
（2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接AD，交BC于点N，连接BD，记△BND的面积为S1，△BNA的面积为S2，求的最大值；
（3）若点P（m，y1），Q（m+3，y2）是抛物线图象上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值．
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A、点B，交y轴于点，且a，b，c满足a﹣b+c＝0和9a+3b+c＝0，连接BC．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方（不与B，C重合），连接BP，CP．
①求△BCP面积的最大值；
②若∠OCB＝α，∠PBC＝β，求tan（α﹣β）的取值范围．
10．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设△CPB的面积为S，求S的最大值；
（3）当∠MPA＝2∠PAC时，求直线AP的函数表达式及点P的坐标．
11．综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求此时点Q的坐标及△QBC的面积．
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过点（2，﹣5），交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P是直线AC上方抛物线上一动点，连接PA、PC．求△PAC面积最大值及此时点P的坐标；
（3）将原抛物线沿x轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线y，重抛物线y与x轴的负半轴交于点M，点N为平移后的新抛物线上一动点，当∠NMB＝∠CAB，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
13．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标．
14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图1，连结PA，PC，求△PAC的面积的最大值；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与AC交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
15．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BCP的面积最大值；
（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接BC交对称轴于点Q，如图1，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）过点P作PD⊥x轴于点D．如图2，设点P坐标为（x，x2﹣2x﹣3），
则S＝S梯形OCPD+S△DPB﹣S△OCB
，
∴当时，，
此时，
所以求△BPC面积S的最大值为，P点的坐标．
2．【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标为1，可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+c，
将A（0，﹣3），B（4，5）代入得，
解得：，
则抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）作PQ⊥x轴交直线AB于点Q，
设直线AB的解析式为y＝kx﹣3，
代入B（4，5）得5＝4k﹣3，解得k＝2，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣3，
设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点Q的坐标为（m，2m﹣3），
∴PQ＝2m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝2m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+4m，
∴
＝﹣2（m2﹣4m）
＝﹣2（m﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴当m＝2，即点P的坐标为（2，﹣3）时，S△PAB有最大值，最大值为8；
（3）解：设点C坐标（m，0），
因A（0，﹣3），B（4，5），
则AB2＝（0﹣4）2+（﹣3﹣5）2＝80，
AC2＝m2+32＝m2+9，
BC2＝（m﹣4）2+（0﹣5）2＝（m﹣4）2+25，
①当AB为斜边时，则m2+9+（m﹣4）2+25＝80，
解得：，即点C坐标为：或；
②当BC为斜边时，则m2+9+80＝（m﹣4）2+25，
解得：m＝﹣6，即点C坐标为（﹣6，0）；
③当AC为斜边时，则m2+9＝（m﹣4）2+25+80，
解得：m＝14，即点C坐标为（14，0）；
综上，存在这样的点C，点C的坐标为或或（﹣6，0）或（14，0）．
3．【解答】解：（1）将A、B两点坐标代入抛物线关系式得：
，解得．
故抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
（2）令x＝0，则y＝6，故点C坐标为（0，6）．
由B、C两点坐标通过待定系数法可得直线BC的解析式为：y＝﹣2x+6．
设点P坐标为（m，﹣2m2+4m+6），0＜m＜3.
过点P作x轴的垂线交BC于点Q，则点Q坐标为（m，﹣2m+6）．
∴PQ＝yP﹣yQ＝（﹣2m2+4m+6）﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m．
∵S△PBC＝S△CPQ+S△BPQPQ xPPQ （xB﹣xP）．
把PQ和xB代入得：S△PBC＝﹣3m2+9m＝﹣3（m）2．
∴当m时，S△PBC最大值为．
故△PBC的最大面积为．
（3）如图△MON为等腰直角三角形，OM＝ON，∠MON＝90°.过M、N两点向y轴作垂线，E、F分别为垂足．
∵∠EMO+∠MOE＝∠MOE+∠FON＝90°，
∴∠EMO＝∠FON．
在△EMO和△FON中，∠EMO＝∠FON，∠MEO＝∠OFN＝90°，OM＝ON．
∴△EMO≌△FON（AAS）．
∴EM＝OF，OE＝FN
设点M坐标为（n，﹣2n+6），则点N坐标为（﹣2n+6，﹣n）．
由于点N也在直线BC上，则﹣n＝﹣2（﹣2n+6）+6，解得n．
∴点M坐标为（，），点N坐标为（，）．
因为点M、N位置可以互换，故点M坐标为（，）或（，）．
4．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，B（6，0）、C（0，6），将点B、点C的坐标代入得：
，
解得，
∴二次函数的关系式y＝﹣x2+5x+6；
（2）①由（1）知二次函数的关系式y＝﹣x2+5x+6，
∵点M是抛物线的顶点，
∴，
设直线BM的解析式为y＝kx+b，将点B，点M的坐标代入得：
，
解得，
∴直线BM的解析式为，
∵过点P作PD⊥x轴于点D，点P的横坐标为n，
∴、D（n，0），
∴△PCD的面积为S，
∵、B（6，0），
∴；
②由①知，，
∴
，
∵，n＝3满足，
∴△PCD的面积S有最大值，最大值为．
5．【解答】解：（1）直线y＝kx+3与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，则点B（0，3），
由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，
当﹣2≤x≤1时，
当x＝﹣1时，y取得最大值为4，
当x＝1时，y取得最小值为0，
故y的最大值与最小值的差为4﹣0＝4；
（3）由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+3，
过点D作DE∥y轴交AB于点E，
设点D（m，﹣m2﹣2m+3），则点E（m，m+3），
S1+S2＝S△DAB+（S△ADB+S△ABC﹣S△ADC）＝2S△ABD+S△ABC﹣S△ADC
＝DE×OAAC×OBAC×yD＝（﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3）×34×34×（﹣m2﹣2m+3）
＝﹣（m+2.5）2，
则S1+S2的最大值为，此时m＝﹣2.5，点D（，）．
6．【解答】解：（1）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣6），与直线y＝x﹣3交于B、D两点，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6与直线y＝x﹣3交于B、D两点，联立得：
，
解得或，
∴点D的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）如图1，过点P作PE∥y轴，交BD于点E，
则P（t，t2﹣t﹣6），E（t，t﹣3），
∴PE＝t﹣3﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+2t+3，
∴S△BDP＝S△DPE+S△BPE
＝2（﹣t2+2t+3）
＝﹣2（t﹣1）2+8，
∴当t＝1时，△BDP的面积的最大值为8，
此时P（1，﹣6）；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，
∵PH⊥x轴于H，
∴∠PHA＝90°，
∵△AHP是等腰直角三角形，
∴AH＝PH，
由（2）知P（t，t2﹣t﹣6），
∴点H的坐标为（t，0），
由（1）可知A（﹣2，0），
∴AH＝|t﹣（﹣2）|＝|t+2|，PH＝|t2﹣t﹣6|，
∴|t+2|＝|t2﹣t﹣6|，
∴t+2＝t2﹣t﹣6或t+2＝﹣（t2﹣t﹣6），
即t2﹣2t﹣8＝0或t2﹣4＝0，
当t2﹣2t﹣8＝0时，
解得t＝4或t＝﹣2（舍去），
此时P（4，6）；
当t2﹣4＝0时，
解得t＝2或t＝﹣2（舍去），
此时P（2，﹣4），
综上，点P的坐标为（4，6）或（2，﹣4）．
7．【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：yx2x﹣2；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx﹣2，
过点D作DT∥y轴交BC于点T，设点T（x，x﹣2），则点D（x，x2x﹣2），
则DTxx2x+2x2+2x，
则△BCD面积DT×OB＝2（x2+2x）＝﹣（x﹣2）2+4≤4，
即△BCD面积的最大值为4；
（3）当CM为对角线时，
过点D作x轴的平行线交y轴于点H，交过点M和y轴的平行线于点G，则CD＝MD，
∵∠MDG+∠CDH＝90°，∠CDH+∠HCD＝90°，
∴∠MDG＝∠HCD，
∵∠DHC＝∠MGD＝90°，
∴△DHC≌△MGD（AAS），
则DH＝MG且CH＝DG，
设点D（n，n2n﹣2），点M（m，m﹣2），
∵DH＝MG且CH＝DG，即nmn2n且m﹣nn2n，
解得：m，n，
则点D、M的坐标分别为：（，）、（，），
由中点坐标公式得：点N（，）；
当DM为边时，
则CD⊥CM，
∵直线BC的表达式为：yx﹣2，则直线CD的表达式为：y＝﹣2x﹣2，
联立BC和抛物线的表达式得：﹣2x﹣2x2x﹣2，
解得：x＝0（舍去）或﹣1（舍去），
综上，点N（，）．
8．【解答】解：（1）∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B（4，0），C（0，2），
把B（4，0），C（0，2）代入抛物线解析式，得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
令y＝0，得，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
故A（﹣1，0），
故答案为：；（﹣1，0）．
（2）如图，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，过点A作AF∥y轴，交BC于点F，则DE∥AF，
∴△DEN∽△AFN，
∴，
设，
∵直线的解析式为，
∴，
∴
，
∵A（﹣1，0），
∴，
∴，
∵△BND的面积为S1，△BNA的面积为S2，且两个三角形为同高三角形，
∴
，
∵，
∴有最大值，且当m＝2，取最大值为．
（3）根据题意，得，故抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
当时，，
当时，，点P（m，y1），Q（m+3，y2）在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴点P（m，y1）是最低点，Q（m+3，y2）是最高点，
∴，
整理，得，
解得m1＝﹣6，m2＝0（舍去），
此时m＝﹣6；
当时，，点P（m，y1），在对称轴的左侧，点Q（m+3，y2）在对称轴的右侧，
∵C（0，2），
∴其关于对称轴的对称点为C′（3，2），
∴点Q（m+3，y2）在C′（3，2）上方，
此时点P（m，y1）为最低点，顶点为最高点，
∴，
解得，舍去；
当时，，点P（m，y1），在对称轴的左侧，点Q（m+3，y2）在对称轴的右侧，
∵C（0，2），
∴其关于对称轴的对称点为C′（3，2），
∴点Q（m+3，y2）在C′（3，2）下方，
此时点Q（m+3，y2）为最低点，顶点为最高点，
∴，
解得，符合题意；
当时，，点P（m，y1），点Q（m+3，y2）在对称轴的右侧，
对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
∴点P（m，y1）是最高点，点Q（m+3，y2）为最低点，
∴，
解得m1＝6，m2＝0（舍去），
此时m＝6符合题意；
综上所述，符合题意的m的值为6或﹣6．
9．【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A、点B，交y轴于点，且a，b，c满足a﹣b+c＝0和9a+3b+c＝0，
∴c，
∴二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）①∵二次函数的图象经过点（﹣1，0）和点（3，0），
∴二次函数的表达式可写为y＝a（x+1）（x﹣3）．
∵点在抛物线上，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为．
设直线BC的表达式为y＝kx+n（k≠0），把点B（3，0）和点代入，得：
，
解得：，
∴直线BC的表达式为；
过点P作PR⊥x轴于点R，交BC于点Q，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴PQ
．
∴S△BCP＝S△BPQ+S△CPQ
．
∵动点P在直线BC的上方（不与B，C重合），
∴0＜m＜3．
∴当时，△BCP面积取得最大值，最大值是．
②∵PR⊥x轴，∠OCB＝α，∠PBC＝β，
∴PR∥y轴，
∴∠BQR＝∠OCB＝α．
∴α﹣β＝∠BQR﹣∠PBC＝∠BPR．
∵BR＝3﹣m，，
在Rt△BRP中，
tan（α﹣β）＝tan∠BPR，
∵0＜m＜3，
∴2，
∴．
10．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，把点A，点B坐标代入y＝ax2+bx﹣3得：
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴OC＝3；
∵点B的坐标为（3，0），
∴OB＝OC＝3；
如图1，连接BC，设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），
∵点P在第四象限，
∴PM＝﹣（t2﹣2t﹣3），OM＝t，BM＝OB﹣OM＝3﹣t，
∴S＝S梯形OMPC+S△MBP﹣S△OCB
，
∵0，
∴S存在最大值，
当时，S有最大值；
（3）解：如图2，作AP关于直线AC的对称线段AH，连接PH，设PH中点为G，
由对称的性质可知，∠PAH＝2∠PAC，AP＝AH，
∵∠MPA＝2∠PAC，
∴∠PAH＝∠MPA，
∴AH∥PM，
∵PM⊥x轴，
∴AH⊥x轴；
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），点H的坐标为（﹣1，h），
则点G的坐标为，
∵OC＝3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+m，其中k≠0，把点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3；
把点G的坐标代入直线AC解析式中，得，
∴h＝﹣t2﹣t，
∴AH2＝（t2+t）2＝t2（t+1）2，
∵AP2＝AM2+PM2＝（t+1）2+（t2﹣2t﹣3）2＝（t+1）2[1+（t﹣3）2]，
∵AH＝AP，
∴t2（t+1）2＝（t+1）2[1+（t﹣3）2]，
解得：或t＝﹣1（舍去），
则，
即点P的坐标为，
设直线AP的函数表达式为y＝px+n，p≠0，
把A、P坐标分别代入得：
，
解得：，
即直线AP的函数表达式为．
11．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得，
∴此抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点Q作MQ∥y轴交BC于点M，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
将B（3，0），C（0，3）代入，
得，
∴，
∴y＝﹣x+3，
设Q（t，﹣t2+2t+3），则M（t，﹣t+3）
∴MQ＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴S△BCQ＝S△BMQ+S△CMQ（﹣t2+3t）×3（t）2，
∴当t时，S△BCQ取最大值，最大值为，
∴△BCQ的面积最大时，点Q坐标为（，）；
（3）存在，∵y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为直线x1，
设点P（1，a），
∵B（3，0）、C（0，3），
∴BP2＝4+a2，CP2＝1+（a﹣3）2，BC2＝18，
①BP＝CP，
∴4+a2＝1+（a﹣3）2，
∴a＝1，
∴P（1，1）；
②BP＝BC，
∴4+a2＝18，
∴a＝±，
∴P（1，）或P（1，）；
③CP＝BC，
∴1+（a﹣3）2＝18，
∴a＝3或a＝3，
∴P（1，2）或（1，4）；
综上所述，P（1，1）或（1，）或（1，）或P（1，3）或（1，3）．
12．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过点（2，﹣5），交x轴于点A（﹣3，0）和点B，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交x轴于D，交BC于E，
抛物线y＝﹣x2﹣2x+3（a≠0）交y轴于点C，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝yP﹣yE
＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）
＝﹣m2﹣3m，
∴S△PAC＝S△PAE+S△PCE
，
∵点P是直线AC上方抛物线上一动点，
∴﹣3＜m＜0，
∵，
∴当时，
，
∴，
∴，
故△PAC面积最大值为，此时点P的坐标为；
（3）由题意得：M（﹣1，0），
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴y′＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4，
①当∠N1MB＝∠CAB时，如图2，
∴MN1∥AC，
∴设直线MN1的解析式为y＝x+b1，则有
﹣1+b1＝0，
解得：b1＝1，
∴直线MN1的解析式为y＝x+1，
联立，
解得：，，
∴N1（2，3）；
②当∠N2MB＝∠CAB时，如图3，
∴直线MN1与直线MN2关于x轴对称，
∴直线MN2经过N1关于x轴对称点（2，﹣3），
同理可求直线MN2的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立得，
解得：，，
∴N2（4，﹣5）；
综上所述：N的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．
13．【解答】解：（1）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
当y＝0时，得：，
解得：x＝﹣3，
当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣3，0），C（0，4），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
抛物线y＝ax2+bx+4经过A点，且与x轴的另一个交点为B，将点A，点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴，，
∴，
∴S△ADCDE OA2m2﹣6m，
∵S△ABCAB OC4×4＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8，
∴当时，S最大，
当时，，
∴；
（3）或或或．理由如下：
∵点P在抛物线对称轴上，
∴设P（﹣1，n），
∵以点A，C，P，Q为顶点作菱形，
∴当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴，
∴，
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC，
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ，
∴．
∴当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为边的菱形，
∴PA＝AC，且PQ∥AC
即：PA2＝AC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝（﹣3）2+42，
∴，
∴或；
∵当，即四边形ACQP是菱形，
∴xP+xC＝xQ+xA，yP+yQ＝yA+yC，
∴xQ＝xP+xC﹣xA＝﹣1+0﹣（﹣3）＝2，yQ＝yP+yC﹣yA4﹣0；
此时；
∵当，即四边形ACQP是菱形，
∴xP+xC＝xQ+xA，yP+yQ＝yA+yC，
∴xQ＝xP+xC﹣xA＝﹣1+0﹣（﹣3）＝2，yQ＝yP+yC﹣yA4﹣0；
此时；
∴当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为边的菱形，
∴PC＝AC，且PQ∥AC
即：PC2＝AC2，
∴（﹣1）2+（n﹣4）2＝（﹣3）2+42，
∴，
∴或；
∵当，即四边形ACPQ是菱形，
∴xP+xA＝xQ+xC，yP+yQ＝yA+yC，
∴xQ＝xP+xA﹣xC＝﹣1+（﹣3）﹣0＝﹣4，yQ＝yP+yA﹣yC0﹣4＝2；
此时；
∵当，即四边形ACPQ是菱形，
∴xP+xA＝xQ+xC，yP+yQ＝yA+yC，
∴xQ＝xP+xA﹣xC＝﹣1+（﹣3）﹣0＝﹣4，yQ＝yP+yA﹣yC0﹣4；
此时；
综上所述，或或或．
14．【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+m，把A（﹣3，0）、C（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
过点P作PN⊥x轴交直线AC于点N，如图1，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t，t+3），
∴PN＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△ACP＝S△APN+S△CPN3×PNPN（﹣t2﹣3t），
∴当t时，S△ACP有最大值，最大值为；
（3）当△CPQ∽△ADQ时，如图2，连接AP，
∴∠CPQ＝∠ADQ＝90°，
∴CP∥x轴，
∴点P的纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴P（﹣2，3）；
当△PCQ∽△ADQ时，如图3，过点C作CM⊥PD于M，
∴∠PCQ＝∠ADQ＝90°，
∴C（0，3），A（﹣3，0），PD⊥x轴，
∴OC＝OA＝3，∠OAC＝45°，
∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，
∵PC＝QC，
∵PQ＝2CM，
由（2）得PQ＝﹣t2﹣3t，CM＝﹣t，
∴﹣t2﹣3t＝﹣2t，
解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1，
∴P（﹣1，4），
综上，点P的坐标为（﹣2，3）或 （﹣1，4）．
15．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，得：
，
解得，
∴；
（2）令y＝0，则，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x+8，
过点P作PG∥y轴交BC于G，
设，则G（t，﹣t+8），
∴，
∴，
∴当t＝4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32；
（3）存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴E（3，5），设M（3，m），
∴，，EM＝|m﹣5|，
当BE＝BM时，，
解得m＝5（舍）或m＝﹣5，
∴M（3，﹣5）；
当BE＝EM时，，
解得或，
∴或；
当BM＝EM时，，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
综上所述：M点坐标为（3，0）或（3，﹣5）或或．
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