(共35张PPT)
1.1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
回顾全等三角形的判定和性质.
理解并掌握等腰三角形的性质及其推论.
能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题．
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、图中有你熟悉的图形吗 它们有什么共同特点
斜拉桥梁
埃及金字塔
体育观看台架
导入新知
2、在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？
①两点确定一条直线；
②两点之间线段最短；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④同位角相等，两直线平行；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
⑧三边分别相等的两个三角形全等.
导入新知
探究新知
知识点 1
全等三角形的判定和性质
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
在“平行线的证明”这一章中，我们学了8条基本事实定理.运用这些基本事实和已学习的定理，你能证明有关三角形全等的一些结论吗？
比如：
探究新知
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知和求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
思考：证明命题的步骤是什么？
探究新知
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， ∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.
探究新知
结论
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
结论
全等三角形的判定与性质
素养考点 1
探究新知
例 如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠C B.AD=AE
C.BD=CE D.BE=CD
D
方法总结
判定两个三角形全等的一般方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.
注意:AAA,SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角
形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角
必须是两边的夹角.
探究新知
巩固练习
变式训练
如图,在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是( )
A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC，BD=BC
C. ∠B=∠C， ∠BAD=∠CAD
D. ∠B=∠C， BD=DC
D
如图,点B,E,C,F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= .
6
巩固练习
变式训练
探究新知
知识点 2
等腰三角形的性质定理及其推论
你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合.
思考2:你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗
定理:等腰三角形的两个底角相等.
思考1:
探究新知
已知：如图,在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明定理：等腰三角形的两个底角相等.
A
B
C
思考：如何证明两个角相等呢？
在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？
探究新知
可以作一条辅助线，运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
思考：如何构造两个全等的三角形？
探究新知
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中，
方法一：作底边上的中线
探究新知
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 )，
∠BAD=∠CAD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中，
方法二：作顶角的平分线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
探究新知
结论
定理 等腰三角形的两个底角相等.
这一定理可简述为：“等边对等角”.
思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？
探究新知
∵△BAD≌ △CAD，
∴由全等三角形的性质易得
BD=CD,
∠BAD=∠CAD，
∠ADB=∠ADC，
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90°.
A
B
C
D
AD是底边BC上的中线
AD是顶角∠BAC的
角平分线
AD是底边BC上
的高线
3、线段AD的性质
探究新知
结论
推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).
(1)∵AB=AC,AD⊥BC
∴ (三线合一)
(2)∵AB=AC,BD=CD
∴_________________________(三线合一)
(3)∵AB=AC, ∠BAD=∠CAD
∴____________________ (三线合一)
BD=CD,∠BAD=∠CAD
AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
AD⊥BC ,BD=CD
D
C
B
A
等腰三角形的性质定理
素养考点 1
探究新知
例1 (1)若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为_________.
(2)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B=_______°.
36°
70
如图,已知∠AOB=10°，且OC=CD=DE=EF=FG=GH，则∠BGH= ( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
B
巩固练习
变式训练
等腰三角形性质定理的推论
素养考点 2
探究新知
例2 如图,△ABC中，AB=AC，垂足为点D，若∠BAC=70°，则∠BAD= .
35°
巩固练习
变式训练
如图, 在△ABC中，AC=BC，用尺规作CF⊥AB，交AB于 点G，若∠BCG=50°，则∠A的度数为 ( )
A.40° B.45°
C.50° D.60°
A
等腰三角形
性质
等边对等角
课堂小结
推论
三线合一
全等三角形
判定
SSS,SAS,ASA,AAS
性质
对应边相等，对应角相等
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
1.[2024广东实验中学期中] 如图，在 中，
，是的平分线，若 ，则
等于( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
（第2题）
2.母题 教材P4习题T3 如图，在等
腰三角形中， ，
，是 的中线，则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 随着钓鱼成
为一种潮流，如图①所示的便携
式折叠凳成为热销产品，图②是
折叠凳撑开后的侧面示意图，已
知， ，
则凳腿与地面所成的角 为
( )
C
A. B. C. D.
返回
4.如图，在中，，，， 平分
交于点，在上截取，则 的周长
为___.
7
（第4题）
返回
5.[2024内江] 如图，在中， ，
，，则 的度数为______.
（第5题）
返回
6. 如图，点，在的边 上，
, ，请写出图中的一对全等三角形并给予说
明（写一对即可）.
【解】 ，说明如下：
， .
， .
.
（答案不唯一）
返回
（第7题）
7. 如图，在中， ，
点在上，且，则 的度
数是( )
B
A. B. C. D.
（第7题）
【点拨】设 . ，
.
.
， .
， .
，解得 .
. .
返回
谢谢观看！(共32张PPT)
1.1.2 等腰三角形
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.进一步学习等腰三角形的相关性质.
2.了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质.
3.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入新知
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？等腰三角形中有哪些相等的线段？
探究新知
知识点 1
等腰三角形的重要线段的性质
想一想：
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，即顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线.
试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
探究新知
作图观察,我们可以猜想：
等腰三角形两底角的平分线相等；
等腰三角形两腰上的中线相等；
等腰三角形两腰上的高相等．
A
C
B
D
E
A
C
B
M
N
A
C
B
P
Q
你能证明你的猜想吗？
探究新知
A
C
B
E
已知:
求证:
BD=CE.
如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线．
1
2
D
猜想证明：
等腰三角形两底角的平分线相等．
探究新知
∠2= ∠ACB(已知),
∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
证明：
又∵∠1= ∠ABC，
∴∠1=∠2(等式性质)．
在△BDC与△CEB中，
∠DCB=∠ EBC（已知），
BC=CB（公共边），
∠1=∠2（已证），
∴
△BDC≌△CEB（ASA）．
∴
BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
A
C
B
E
1
2
D
探究新知
思考：如图，在等腰三角形ABC中，
（1）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
（2）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
由此你得到什么结论
在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
结论
A
C
B
E
D
探究新知
已知:
求证:
BM=CN.
如图, 在△ABC中, AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线．
猜想证明：
等腰三角形两腰上的中线相等．
A
C
B
M
N
探究新知
又∵CM= ，BN= ，
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
∴CM=BN．
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）．
∴BM=CN.
A
C
B
M
N
探究新知
已知:
求证:
BP=CQ.
如图, 在△ABC中, AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高．
猜想证明：
等腰三角形两腰上的高相等．
A
C
B
P
Q
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB，
∴△BQC≌△CPB（AAS）．
∴BP=CQ.
探究新知
思考：如图，在等腰三角形ABC中，
（1）如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗？
（2）如果AD= AC，AE= AB，那么BE=CE吗？
由此你得到什么结论
在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC，
AE= AB，那么BD=CE.
简述为：两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
结论
A
C
B
E
D
等腰三角形的重要线段的性质
素养考点 1
探究新知
例 如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,求证:DE∥BC.
证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
又∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,
∴∠AEB=∠ADC=90°,
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD,
即∠EBC=∠DCB.
探究新知
在△BEC与△CDB中,
∴△BEC≌△CDB,∴BD=CE,
∴AB-BD=AC-CE,即AD=AE,
∴∠ADE=∠AED.
又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角,
∴∠ADE=∠ABC,
∴DE∥BC.
如图,已知AD,BE分别是△ABC的中线和高,且AB=AC,
∠EBC=20°,则∠BAD的度数为 ( )
A.18° B.20°
C.22.5° D.25°
巩固练习
变式训练
B
巩固练习
变式训练
下列说法:
(1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;
(2)等腰三角形的两腰上的中线长相等;
(3)等腰三角形的腰一定大于其腰上的高;
(4)等腰三角形的一边长为8,一边长为16,那么它的周长是32或40.
其中不正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
知识点 2
等边三角形的性质
想一想：
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
探究新知
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
思考： 怎样证明这一定理？
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
证明：
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
探究新知
已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
A
C
B
证明：在△ABC中，∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
探究新知
等边三角形的性质
素养考点 2
例 如图,△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）
A.25° B.60°
C.85° D.95°
D
如图,等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
B
C
D
A
E
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 =(180°－30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°.
巩固练习
变式训练
（第1题）
1.母题 教材P5议一议 如图，在 中，
，给出的下列条件中，不能使
的是( )
D
A.，
B.，分别为， 的平分线
C.,
D.
返回
（第2题）
2.[2024盐城盐都区期末] 如图，
，以点 为圆心，适当长为半
径画弧交两边于点，，再以点 为
圆心，长为半径画弧，交弧于点 ，
作射线，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.[2024泰安] 如图，直线 ，等边
三角形的两个顶点， 分别落在
直线，上，若 ，则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. 如图，在等边三角形
中，点，分别在边， 上，把
沿直线翻折，使点落在点
处，，分别交边于点， .如
果测得 ，那么 ____.
返回
5.小琳想要证明命题：等腰三角形两腰上的中线相等.请你将
该命题的已知与求证补充完整，并完成证明过程.
已知：如图，在中，____________________， ，
分别为边与 边上的中线，
；
求证： _____________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
【证明】， .
是边上的中线，是 边上的中线，
， .
____________________________________________________
____________________________________________________.
， .
.
返回
6.锐角三角形中，，点，分别在边，
上，连接， .下列说法中，不正确的是( )
A
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
返回
（第7题）
7. 如图，已知等边三角形 ，
点是上任意一点，， 分别与两边
垂直，若的高为1，则 的值为
( )
B
A.0.5 B.1 C.2 D.不确定
【点拨】如图，连接，过点A作
于点D，则 .
，
， ，
.
是等边三角形， .
.
返回
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
课堂小结
等腰三角形重要线段的性质
底角的两条角平分线相等
两条腰上的高相等
两条腰上的中线相等
谢谢观看！(共34张PPT)
1.1.3 等腰三角形
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
掌握等腰三角形的判定定理及其运用.
2. 理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
等腰三角形的两底角相等(简写成 ‘‘等边对等角”)．
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 ‘‘三线合一”)
问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？
题设：一个三角形是等腰三角形
结论：相等的两边所对应的角相等
导入新知
它的逆命题成立吗？
导入新知
2、思考：如图，在△ABC中，如果∠B
=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
3cm
3cm
测量后发现AB与AC相等.
等腰三角形性质定理：______________.
思考：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？
即：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？
等边对等角
C
B
A
探究新知
知识点 1
等腰三角形的判定
位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
探究新知
情景探究
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
AB=AC
做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°.
请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
AB=AC
你能验证你的结论吗？
探究新知
探究新知
已知:
求证:
AB=AC.
如图, 在△ABC中, ∠B=∠C．
猜想证明：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过点A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC是等腰三角形.
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简述为：“等角对等边”
结论
探究新知
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中，
∵∠B=∠C,
应用格式：
∴AB=AC(等角对等边).
A
C
B
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，
因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗
探究新知
等腰三角形的判定
素养考点 1
探究新知
例
已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
巩固练习
变式训练
如图所示,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=4 cm,则CD等于 ( )
A.3 cm B.4 cm
C.1.5 cm D.2 cm
B
如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE相交于点O,给出四个条件:
①OB=OC;②∠EBO=∠DCO;③∠BEO=∠CDO;④BE=CD.
上述四个条件中,选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.6种
C
巩固练习
变式训练
探究新知
知识点 2
反证法
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
即在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.
A
B
C
探究新知
C
A
B
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时, AB与AC要么相等,要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C,
但已知条件是 ∠B≠∠C，“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.
小明是这样想的:
你能理解他的推理过程吗
利用了“反证法”
探究新知
结论
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
探究新知
①假设: 先假设命题的结论不成立;
②归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与
定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
③结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题
的结论正确.
用反证法证题的一般步骤：
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以“∠A和∠B是直角”的假设不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
反证法
素养考点 2
例
探究新知
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
巩固练习
变式训练
用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2=180°.
求证:l1∥l2.
证明:假设l1不平行于l2,即l1与l2相交于一点P.
则∠1+∠2+∠P=180°， 所以∠1+∠2<180°,
这与已知矛盾,故假设不成立.
所以l1∥l2.
巩固练习
变式训练
1.用反证法证明“a>b”时,应假设 ( )
A. a2.用反证法证明命题“四边形的四个内角中至少有一个角大于等于90°”,我们应该假设 ( )
A.四个角都小于90°
B.最多有一个角大于或等于90°
C.有两个角小于90°
D.四个角都大于或等于90°
B
A
课堂小结
等腰三角形的判定和反正法
有两个角相等的三角形是等腰三角形
假设→归谬→结论
等角对等边
反证法
1.用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一
步应假设( )
A
A.两直线不平行 B.同旁内角不互补
C.同旁内角相等 D.同旁内角不相等
返回
2.[2024苏州高新区月考] 如图，等腰三角形共有( )
B
（第2题）
A.4个 B.5个 C.3个 D.2个
返回
3.的三边长，， 满足
，则 是( )
D
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
返回
（第4题）
4. 如图，一条船上午8时从 处
以的速度向北偏西 方向航行，
上午11时到达处，处在灯塔 的正南方向，
从处测得灯塔在北偏西 方向上，则
处离灯塔的距离为____.若船从 处以
60
15
的速度向灯塔航行，当船到达灯塔 时是____时.
返回
5.[2024泰安岱岳区月考] 如图，在中，.点
为边上任意一点，过点作，交于点
是等腰三角形吗？说说你的理由.
【解】 是等腰三角形.
理由：， .
， .
.
是等腰三角形.
返回
6.如图，在中，，点，，分别在 ，
，上，且， .
（1）求证： 是等腰三角形；
【证明】 ，
.
， .
又， .
是等腰三角形.
（2）用反证法证明 不可能是直角三角形.
假设是直角三角形，则 ，
.由（1）知
，
.
.
. .
，与三角形内角和
定理相矛盾.
不可能是直角三角形．
返回
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
谢谢观看！(共34张PPT)
1.1.4 等腰三角形
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
掌握等腰三角形的判定定理及其运用.
2. 掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入新知
观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？
思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？
探究新知
知识点 1
等边三角形的判定
（2） 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
（3）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
三条边相等的三角形是等边三角形（定 义）.
三个角相等的三角形是等边三角形.
（1）等边三角形有哪些性质？
等边三角形的三条边相等，三个角相等，“三线合一”.
思考：
你能证明这些定理吗？
探究新知
A
B
C
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠B,
∴ AC=BC.
∵ ∠B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
证明：
A
B
C
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
∵AB=AC , ∠A= 60 °，
∴∠B＝∠C＝ (180°－∠A)÷2= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
证明：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
证明：
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
探究新知
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是60°.
A
C
B
60°
探究新知
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定方法：
3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵AB＝AC，∠A＝ 60°，∴ △ABC等边三角形.
C
B
A
结论
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等边 三角形 性质 判定的条件
三条边都相等
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
归纳总结
探究新知
三条边都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的判定
素养考点 1
探究新知
例 如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由.
解： △ODE是等边三角形.
理由：∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵OD∥AB,OE∥AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°,
∴△ODE是等边三角形.
探究新知
(2)线段BD,DE,EC三者有什么关系 写出你的判断过程.
解：BD=DE=EC.
理由:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°,
∴∠ABO=∠OBD=30°,
∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°,
∴∠DBO=∠DOB,∴DB=DO,同理,EC=EO,
∵DE=OD=OE,∴BD=DE=EC.
方法总结
探究新知
选用等边三角形判定方法的技巧
(1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定.
(2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三角形来判定.
(3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形来判定.
巩固练习
变式训练
在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是 .
AB＝AC或∠B＝∠C
巩固练习
变式训练
如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
巩固练习
变式训练
上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,
求证：△ADE是等边三角形.
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°.
∵ AD=AE,
∴ △ADE是等腰三角形.
∴ △ADE是等边三角形.
又∵ ∠A=60°.
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知识点 2
含30°角的直角三角形的性质
操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗
猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系
30°
30°
30°
30°
30°角所对的直角边等于斜边的一半.
证明猜想：
在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.
求证:BC= AB.
A
30°
B
C
分析：证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
30°
30°
探究新知
∵ ∠ACB=90° (已知)， ∴∠ACD=90°，
在△ABC与△ADC中，
BC=DC，（作图）
∠ACB=∠ACD，（已证）
AC=AC，（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AB=AD.
∵∠ACB=90°,∠BAC=30° (已知) ， ∴∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形， ∴BC= BD= AB．
30°
A
B
C
D
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD，
探究新知
探究新知
结论
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
A
C
B
推导过程：Rt△ABC中
∵∠A＝30°
∴ BC＝ AB
含30°角的直角三角形的性质
素养考点 2
探究新知
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=15°, CD是腰AB上的高.
求证：CD= AB.
例
求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
C
B
A
D
证明：∵AB=AC,∠B=15°, ∴∠B=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°，
∵∠ADC=90°，∴CD= AC= AB．
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C
B
A
D
1.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为 ，则这
个三角形一定是( )
C
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
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2. 如图，
嘉琪想测量一座古塔 的高度，
在处测得 ，再
B
A. B. C. D.
往前行进到达处，测得 ，点，， 在
同一条直线上，根据测得的数据，可得这座古塔 的高度为
( )
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3.如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线， ，
那么这两条对角线的夹角等于____.
（第3题）
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4.如图，等边三角形纸片的边长为6，，是边 上的
三等分点.分别过点，沿着平行于， 方向各剪一刀，
则剪下的 的周长是___.
6
（第4题）
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5.如图，在中，平分 ，
，且 ，求
证： 是等边三角形.
【证明】平分， .
， ，
， .
又 ， 是等边三角形.
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（第6题）
6. 如图，已知 ，
点在边上，，点，在边
上，.若，则 的长是
( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
【点拨】如图，过点作 于点D，
则 . ，
.
.
， ，
.
.
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（第7题）
7.[2024周口川汇区期末] 如图，点 在
内，点关于， 的对称点分
别为，.连接，若 ，则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】如图，连接， .
（第7题）
点关于，的对称点分别为， ，
， ，
.
.
， .
是等边三角形.
.
.
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课堂小结
等腰三角形的拓展
三条边都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的判定
特殊的直角三角形的性质
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
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