(共39张PPT)
1.2 .1直角三角形
直角三角形的性质与判定
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定.
2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.
3.结合具体事例理解互逆命题、互逆定理的概念,并体会原命题成立时，其逆命题不一定成立.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入新知
（2）直角三角形的定义是什么？
（3）三角形内角和的性质是什么？
有一个是直角的三角形叫直角三角形.
三角形内角和等于180°.
思考：（1）三角形的分类？
锐角三角形，直角三角形，钝角三角形.
直角三角形的两个锐角互余.
这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
（4） 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
导入新知
探究新知
知识点 1
直角三角形的性质与判定
思考：
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.
（2）如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°.
求证： △ABC是直角三角形.
在△ABC中，
∵ ∠A +∠B +∠C=180°，
又∠A +∠B=90°，∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.
证明：
如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
证明：
探究新知
性质定理 直角三角形的两锐角互余.
直角三角形的性质与判定
结论
判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
探究新知
直角三角形的性质与判定
素养考点 1
探究新知
例 如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,则∠BAD的度数是 ( )
A.85° B.90°
C.95° D.100°
C
巩固练习
变式训练
直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_________.
30°
知识点 2
勾股定理与逆定理
勾股定理：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
即a2+b2=c2.
a
c
b
勾
弦
股
勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
探究新知
勾股定理的3种证明方法：
b
a
c
b
a
c
方法一：
探究新知
探究新知
方法二：
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 = c2+ ，
a2+2ab+b2 = c2+2ab，
∴a2+b2=c2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 ；
(a+b)2
c2+
探究新知
探究新知
方法三：
c
∵ c2= +(b-a)2，
c2 =2ab+b2-2ab+a2，
c2 =a2+b2，
∴ a2+b2=c2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 ．
c2
+(b-a)2
c
a
c
a
c
b
a
a
b
b
b
探究新知
勾股定理的逆定理：
我们曾用度量的办法得出这个结论.
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
思考：这个命题是真命题吗？为什么？
是否还有其他方法？
探究新知
勾股定理的逆定理的证明：
已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形．
分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？
A
B
C
证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,
DE=AC,FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图),
∴AB2=DF2，∴AB=DF，
∴△ABC≌△DFE（SSS）．
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形．
D
F
E
┏
A
B
C
探究新知
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理与逆定理
结论
逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
探究新知
小结
直角三角形的性质定理:
1.直角三角形的两个锐角互余.
2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定定理:
1.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形的性质与判定
探究新知
勾股定理与逆定理
素养考点 2
探究新知
例 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 ( )
A.30 B.60
C.78 D.不能确定
A
巩固练习
变式训练
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5cm，BC＝3cm，
由勾股定理得AC2＝AB2－BC2，∴AC＝4cm，
又S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD，
CD＝BC·AC÷AB＝2.4cm，
∴CD的长是2.4cm.
探究新知
知识点 3
互逆命题与互逆定理
观察：
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗
与同伴交流．
观察下面三组命题：
探究新知
探究新知
上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置．
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
注意：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!
互逆命题：
探究新知
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们称它们为互逆定理.其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
互逆定理：
注意：（1）逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
（2）每个定理都有逆命题，但每个定理不一定有逆定理.
互逆命题与互逆定理
素养考点 3
探究新知
例 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
条件：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
探究新知
条件：一个三角形是等边三角形.
结论：它的每个角都等于60°.
逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形.
(2)等边三角形的每个角都等于60°.
探究新知
条件：两个三角形是全等三角形.
结论：它们的对应角相等.
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.
(3)全等三角形的对应角相等.
1.下列说法错误的是( )
B
A.任何命题都有逆命题
B.任何定理都有逆定理
C.命题的逆命题不一定是真命题
D.定理的逆定理一定是真命题
返回
（第2题）
2.[2024天津] 如图，在 中，
, ，以点 为圆心，适
当长为半径画弧，交于点，交 于
点；再分别以点,为圆心，大于 的
B
A. B. C. D.
长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在 的内部
相交于点；画射线，与相交于点，则 的大小
为 ( )
返回
3.[2024佛山南海区月考] 如图是由两个直角三角形和三个正
方形组成的图形，其中阴影部分的面积是( )
C
（第3题）
A.169 B.144 C.25 D.16
返回
4.[2024景德镇月考] 在中，，，分别是， ，
的对边，在下列条件中，不能确定 的形状是直角三
角形的是( )
A
A. B.
C. D.
5.如图，在中，， ，
，是边上的中线，则 的
长度为____.
返回
6.如图，在中， ，平分 ，且
，则 的形状是____________.
直角三角形
（第6题）
返回
（第7题）
7.[2024枣庄台儿庄区期中] 将一副直角
三角尺和一把宽度为2的直尺按如图方式
摆放：先把两个三角尺的 和 角
的顶点及它们的直角边重合，再将此直
B
A. B. C.2 D.
角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺的下沿上，这
两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于，两点，则 的长
是( )
返回
（第8题）
8. 如图，在 中，
， ，
，是上一动点，过点
作于点， 于点
，，则 的长是
( )
C
A. B. C. D.不确定
（第8题）
【点拨】设 ，则
，
，
.
，
，解得
（舍去）或 .
， .
连接， ，
.
.
（第8题）
返回
课堂小结
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形
互逆命题与互逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
角的性质
边的性质
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理
互逆命题
互逆定理
谢谢观看！(共33张PPT)
1.2 .2直角三角形
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1. 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.
2. 会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
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课堂检测
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新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入新知
（2）两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三 角形全等吗？
（3）如果其中一组等边所对的角是直角呢？
不一定全等.
思考：（1）我们学过的判定三角形全等的方法？
SSS、 SAS、 ASA 、AAS.
这节课我们一起来探索并证明直角三角形全等的判定.
探究新知
知识点
直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
思考：
C
B
A
如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是AC、BC，斜边是AB.
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
完全适用
A
B
C
A′
B′
C′
（1）两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
（2）两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
（3）两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
探究新知
回答：
全等，AAS
全等，AAS或ASA
全等，SAS
（1）如图，已知AC=DF，BC=EF，
∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
A
B
C
D
E
F
探究新知
思考：
不全等.证明三角形全等不存在SSA定理.
（2）如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？
做一做：
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.
再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,
把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
探究新知
画图思路
（1）先画∠M C′ N=90°.
A
B
C
M
C′
N
探究新知
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
画图思路
探究新知
画图思路
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
探究新知
探究新知
画图思路
（4）连接A′B′.
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
怎样证明你的结论？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′.
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
A
'
B
'
C
'
C
B
A
证明:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,
∴AC2=AB2-BC2(______________).
同理,A′C′2=A′B′2-B′C′2(_____________).
∵AB=A′B′,BC=B′C′,∴AC=A′C′.∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(_____).
勾股定理
勾股定理
SSS
探究新知
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
“斜边、直角边”判定方法
结论
探究新知
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
AB=A′B′,
BC=B′C′,
在Rt△ABC 和 Rt△ A′B′C′ 中，
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF ,
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF.
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
素养考点
探究新知
例1
如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗 请说明你的理由.
巩固练习
解:∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt △ACD中,
∴Rt△ABD≌Rt △ACD（HL），
∴BD=CD.
AB=AC,
∠ADB=∠ADC ,
变式训练
例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是 ( )
A
探究新知
巩固练习
变式训练
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ）
（3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）
（4）两直角边对应相等； （ ）
（5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
HL
×
SAS
AAS
AAS
探究新知
例3 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD .
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
巩固练习
变式训练
如图， ∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
A
B
D
C
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
巩固练习
变式训练
如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分
别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
HL
AC=BD
Rt△ABD≌Rt△BAC
巩固练习
变式训练
如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.
HL
∠ADB=∠CBD
Rt△ABD≌Rt△CDB
AD∥BC
1.如图，，， 要根
据“”判定 ，则需添加一
个条件是( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2.如图,已知中，，高 ，
相交于点，连接 ，图中全等三角形
共有( )
D
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
返回
（第3题）
3. 如图， ，
，请添加一个条件，使
，这个条件可以是
________________________．
（答案不唯一）
返回
4.母题教材P21习题T1 如图，于，于 ，
若，,求证：平分 ．
【证明】, ,
.
在和 中，
, ,
.
在与 中，
, ,
.
平分 .
返回
（第5题）
5.[2024南通期末] 如图，在
中， ，在 中，
，， 边上的高相等，
若，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
【点拨】如图，分别过A,D两点作
，于点, .
在和 中，
.
.
，
，
.
返回
（第6题）
6.[2024武汉模拟] 如图，在四边
形中，， 平分
，作于点 ，
，，则 的长度
为( )
B
A.3 B.2 C. D.
课堂小结
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
“斜边、直角边”
在直角三角形中
内容
前提条件
在直角三角形中，只要有两边对应相等，则直角三角形全等
使用方法
谢谢观看！
